1、2016-2017学年湖北省武汉外国语学校高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若ab0，cd0，则一定有（）A0B0CD2观察下列各式：m+n=1，m2+n2=3，m3+n3=4，m4+n4=7，m5+n5=11，则m9+n9=（）A29B47C76D1233不等式x2的解集是（）A（，0）（2，4）B0，2）4，+）C2，4D（，2（4，+）4设a，b（，0），则（）A都不大于2B都不小于2C至少有一个不大于2D至少有一个不小于25函数f（x）=（3x2）ln|x|的大致图象为（）ABCD6函
2、数y=ln（3xx3）的单调递增区间是（）A（0，1）B（1，1）CD7做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为（）ABCD8已知a0，b0，则的最小值为（）A4BC8D169已知函数f（x）=xlnxax2有两个极值点，则实数a的取值范围为（）A（，0）B（0，+）C（0，）D（0，1）10设函数f（x）是定义在（，0）上的可导函数，其导函数为f（x），且有3f（x）+xf（x）0，则不等式（x+2017）3f（x+2017）+27f（3）0的解集是（）A（2020，2017）B（，2017）C
3、（2018，2017）D（，2020）11已知a2，f（x）=x3+3|xa|，若函数f（x）在1，1上的最大值和最小值分别记为M，m，则Mm的值为（）A8Ba33a+4C4Da3+3a+212已知函数，x1，x2为两不同实数，当f（x1）=f（x2）时，有（）Ax1+x20Bx1+x20Cx1+x2=0D无法确定二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13设曲线处的切线与直线x+ay+1=0垂直，则a=14若函数f（x）=x3+6x2+m的极大值为12，则实数m=15已知函数f（x）的导函数f（x）=3+cosx，x（1，1），且f（0）=0，如果f（1x）+f（1x2）0，则实数
4、x的取值范围为16有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知a，b，c都是正数，求证：abc18设，先分别求f（0）+f（1），f（1）+f（2），f（2）+f（3），然后归纳猜想一般性结论，并给出证明19已知函数f（x）=，g（x）=af（x）|x1|（）当a=0时，若g（x）|x2|+b对任
5、意x（0，+）恒成立，求实数b的取值范围；（）当a=1时，求g（x）的最大值20设函数f（x）=aex（x+2），g（x）=x2+bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线（1）求函数f（x），g（x）的解析式；（2）求函数f（x）在t，t+1（t4）上的最小值21已知函数f（x）=xax2ln（1+x），其中aR（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）在0，+）上的最大值是0，求a的取值范围22已知函数f（x）=（ax+1）lnxax+3，aR，g（x）是f（x）的导函数，e为自然对数的底数（1）讨论g（x）的单调性；（2）当ae时，证明：g（ea）0；（3）当ae时，判断函数f（x）零点
6、的个数，并说明理由2016-2017学年湖北省武汉外国语学校高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若ab0，cd0，则一定有（）A0B0CD【考点】71：不等关系与不等式【分析】利用不等式的性质即可得出【解答】解：cd0，cd0，ab0，acbd，故选：D2观察下列各式：m+n=1，m2+n2=3，m3+n3=4，m4+n4=7，m5+n5=11，则m9+n9=（）A29B47C76D123【考点】F1：归纳推理【分析】由题意可得到可以发现从第三项开始，右边的数字等于前两项的右边
7、的数字之和，问题得以解决【解答】解：1+3=4，3+4=7，4+7=11，7+11=18，11+18=29，18+29=47，29+47=76可以发现从第三项开始，右边的数字等于前两项的右边的数字之和，m9+n9=76，故选：C3不等式x2的解集是（）A（，0）（2，4）B0，2）4，+）C2，4D（，2（4，+）【考点】7E：其他不等式的解法【分析】将原不等式转化为或，再由二次不等式和一次不等式的解法，即可得到解集【解答】解：不等式x2即为，即有0，即为或，即有或，即0x2或x4，则解集为0，2）4，+）故选B4设a，b（，0），则（）A都不大于2B都不小于2C至少有一个不大于2D至少有一个
8、不小于2【考点】FD：反证法的应用【分析】利用反证法证明，假设都大于2，然后找出矛盾，从而得到结论【解答】解：假设都大于2，即a+2，b+2，将两式相加，得a+b+4，又因为a+2，b+2，两式相加，得a+b+4，与a+b+4，矛盾所以至少有一个不大于2故选C5函数f（x）=（3x2）ln|x|的大致图象为（）ABCD【考点】3O：函数的图象【分析】判断函数的奇偶性，排除选项，利用特殊值，判断即可【解答】解：函数f（x）=（3x2）ln|x|是偶函数，排除A，D选项，（3x2）ln|x|=0，当x0时，解得x=1，或x=，是函数f（x）=（3x2）ln|x|在x0时的两个零点，当x=时，f（）
9、=（3（）2）ln|=0，可得选项B不正确，故选：C6函数y=ln（3xx3）的单调递增区间是（）A（0，1）B（1，1）CD【考点】6B：利用导数研究函数的单调性【分析】令t=3xx30，求得函数的定义域，本题即求函数t在定义域内的增区间再利用导数研究函数的单调性，从而得出结论【解答】解：令t=3xx30，求得函数的定义域为x|x，或 0x，且y=lnt，即求函数t在定义域内的增区间t=33x2，令t=0，求得x=1，由t的符号可得t的减区间为（，1）、（1，+）；增区间为（1，1）再结合函数的定义域可得函数t在定义域内的增区间为（0，1），故选：A7做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材
10、料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为（）ABCD【考点】5D：函数模型的选择与应用【分析】设锅炉的高h与底面直径d的比为k=，运用圆柱的表面积公式和体积公式，结合导数，求得极值点且为最值点，即可得到【解答】解：设锅炉的高h与底面直径d的比为k=，由V=h=kd=kd3，可得d=，h=kd=，设造价为y，则y=2（）2a+dhb，则y=+令y=0，解得k=，可得此时y取得最小值故当造价最低时，锅炉的高与底面直径的比为故选C8已知a0，b0，则的最小值为（）A4BC8D16【考点】7F：基本不等式【分析】先求出ab=1，从而求出的最小值
11、即可【解答】解：由，有ab=1，则，故选：B9已知函数f（x）=xlnxax2有两个极值点，则实数a的取值范围为（）A（，0）B（0，+）C（0，）D（0，1）【考点】6D：利用导数研究函数的极值【分析】方法一：求导，由题意可知g（x）=0在区间（0，+）上有两个实数根则根据函数的单调性求得g（x）的极大值，则g（）=ln0，即可求得实数a的取值范围方法二：先求导函数，函数f（x）=xlnxax2有两个极值点，等价于f（x）=lnxax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=ax1的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象由图可求得实数a的取值范围【解答】解：方法一：f（x）=xlnx
12、ax2（x0），f（x）=lnx+1ax令g（x）=lnx+1ax，函数ff（x）=xlnxax2有两个极值点，则g（x）=0在区间（0，+）上有两个实数根g（x）=a=，当a0时，g（x）0，则函数g（x）在区间（0，+）单调递增，因此g（x）=0在区间（0，+）上不可能有两个实数根，应舍去当a0时，令g（x）=0，解得x=，令g（x）0，解得0x，此时函数g（x）单调递增；令g（x）0，解得x，此时函数g（x）单调递减当x=时，函数g（x）取得极大值当x趋近于0与x趋近于+时，g（x），要使g（x）=0在区间（0，+）上有两个实数根，则g（）=ln0，解得0a1实数a的取值范围是（0，1）
13、故选：D方法二：解：由题意，f（x）=lnx+1ax，令f（x）=lnxax+1=0得lnx=ax1，函数f（x）=xlnxax2有两个极值点，等价于f（x）=lnxax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=ax1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=ax1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0a1时，y=lnx与y=ax1的图象有两个交点则实数a的取值范围是（0，1）故选：D10设函数f（x）是定义在（，0）上的可导函数，其导函数为f（x），且有3f（x）+xf（x）0，则不等式（x+2017）3f（x+2017）+27f（3）0的解集是（）A（202
14、0，2017）B（，2017）C（2018，2017）D（，2020）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论【解答】解：由3f（x）+xf（x）0，（x0），得：3x2f（x）+x3f（x）0，即x3f（x）0，令F（x）=x3f（x），则当x0时，得F（x）0，即F（x）在（，0）上是增函数，F（x+2017）=（x+2017）3f（x+2017），F（3）=27f（3），即不等式等价为F（x+2017）F（3），F（x）在（，0）是增函数，由F（x+2017）F（3）得，x+20173，即x2020，
15、而x+20170，故x2017，故选：A11已知a2，f（x）=x3+3|xa|，若函数f（x）在1，1上的最大值和最小值分别记为M，m，则Mm的值为（）A8Ba33a+4C4Da3+3a+2【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值【分析】根据a1，结合1，1，化简f（x）=x3+3|xa|的解析式，运用导数，判断单调性，进而根据函数的单调性，即可求Mm【解答】解：a1，x1，1，xa0，f（x）=x3+3|xa|=x33x+3a，f（x）=3x23，当x1，1时，f（x）0恒成立，故函数f（x）在1，1上为减函数，故Mm=f（1）f（1）=1+3+3a（13+3a）=4，故选：C12已知函
16、数，x1，x2为两不同实数，当f（x1）=f（x2）时，有（）Ax1+x20Bx1+x20Cx1+x2=0D无法确定【考点】53：函数的零点与方程根的关系【分析】构造函数，利用导数证明函数的单调性，即可得出结论【解答】解：当x1时，由于0，ex0，得到f（x）0；同理，当x1时，f（x）0当f（x1）=f（x2）（x1x2）时，不妨设x1x2由题意可知：x1（，0），x2（0，1）下面证明：x（0，1），f（x）f（x），即证（1x）ex0令g（x）=（1x）ex，则g（x）=xex（e2x1）当x（0，1）时，g（x）0，g（x）单调递减，g（x）g（0）=0即（1x）ex0x（0，1），f
17、（x）f（x）而x2（0，1），f（x2）f（x2）从而，f（x1）f（x2）由于x1，x2（，0），f（x）在（，0）上单调递增，x1x2，即x1+x20故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13设曲线处的切线与直线x+ay+1=0垂直，则a=1【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数处的导数，即为曲线在此点的切线斜率，再利用两直线垂直的性质求出a【解答】解：y= 的导数为 y=，当x=时，y=1，故y=在点（，2）处的切线斜率为1，故与它垂直的直线 x+ay+1=0 的斜率为=1，a=1，故答案为：114若函数f（x）=x3+6x2+m的极大值为12
18、，则实数m=20【考点】6D：利用导数研究函数的极值【分析】根据函数的极值是12，对函数求导使得导函数等于0，验证函数在这两个数字左右两边的导函数值，看出在x=4处取得极值，代入得到结果【解答】解：函数y=x3+6x2+m的极大值为12，y=3x2+12x=0，x=0，x=4，函数在（0，4）上单调递增，在（4，+）上单调递减，64+96+m=12，m=20，故答案为：2015已知函数f（x）的导函数f（x）=3+cosx，x（1，1），且f（0）=0，如果f（1x）+f（1x2）0，则实数x的取值范围为（1，）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系；3F：函数单调性的性质【分析】由导函数可求
19、原函数f（x），判断函数f（x）单调性和奇偶性，利用奇偶性将不等式f（1x）+f（1x2）0 等价于f（1x）f（x21）利用单调性去掉函数符号f 即可解得所求，注意自变量本身范围【解答】解：f（x）=3+cosx，知f（x）=3x+sinx+c，而f（0）=0，c=0即f（x）=3x+sinx，易知此函数是奇函数，且在整个区间单调递增，因为f（x）=3+cosx在x（1，1）恒大于0，根据奇函数的性质可得出，在其对应区间上亦是单调递增的由 f（1x）+f（1x2）0 可得 f（1x）f（1x2），即：f（1x）f（x21），解得解得：x（1，），故答案为：（1，）16有6名选手参加演讲比赛，
20、观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是丁【考点】F4：进行简单的合情推理【分析】若甲猜对，则4号或5号选手得第一名，那么乙也猜对了，不符合题意，所以甲没猜对，得第一名的是1，2，3或6号，若乙猜对，则1，2或6号得了第一名，那么丙也猜对了，所以乙没有猜对，3号没有得第一，所以得第一的是3号，所以丙也没猜对，丁猜对了【解答】解：假设甲猜对，则乙也猜对了，所以假设不成立；假设乙猜对，则丙、丁中必有一人对
21、，所以假设不成立；假设丙猜对，则乙一定对，假设不成立；假设丁猜对，则甲、乙、丙都错，假设成立，故答案为：丁三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知a，b，c都是正数，求证：abc【考点】R6：不等式的证明【分析】利用基本不等式，再相加，即可证得结论【解答】证明：a，b，c都是正数，a2b2+b2c22ab2c，a2b2+c2a22a2bc，c2a2+b2c22abc22（a2b2+b2c2+c2a2）2ab2c+2a2bc+2abc2a2b2+b2c2+c2a2ab2c+a2bc+abc2abc18设，先分别求f（0）+f（1），f（1）+f（2）
22、，f（2）+f（3），然后归纳猜想一般性结论，并给出证明【考点】F1：归纳推理；3T：函数的值【分析】利用条件，求f（0）+f（1），f（1）+f（2），f（2）+f（3），归纳猜想一般性结论，利用指数的性质给出证明【解答】解：f（0）+f（1）=，同理可得：f（1）+f（2）=，f（2）+f（3）=一般性结论：或写成“若x1+x2=1，则f（x1）+f（x2）=”证明： =，19已知函数f（x）=，g（x）=af（x）|x1|（）当a=0时，若g（x）|x2|+b对任意x（0，+）恒成立，求实数b的取值范围；（）当a=1时，求g（x）的最大值【考点】3H：函数的最值及其几何意义；3R：函数恒
23、成立问题【分析】（）当a=0时，若g（x）|x2|+b对任意x（0，+）恒成立，b|x1|+|x2|，求出右边的最小值，即可求实数b的取值范围；（）当a=1时，g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）单调递减，即可求g（x）的最大值【解答】解：（）当a=0时，g（x）=|x1|，|x1|x2|+b，b|x1|+|x2|，|x1|+|x2|x1+2x|=1，b1，b1（）当a=1时，可知g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）单调递减 g（x）max=g（1）=120设函数f（x）=aex（x+2），g（x）=x2+bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线（1）求函数f（x），g（x）的
24、解析式；（2）求函数f（x）在t，t+1（t4）上的最小值【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求导函数，利用两函数在x=0处有相同的切线，可得3a=b，f（0）=2a=g（0）=2，即可求函数f（x），g（x）的解析式；（2）求导函数，确定函数的单调性，再分类讨论，即可求出函数f（x）在t，t+1（t4）上的最小值【解答】解：（1）函数f（x）=aex（x+2），g（x）=x2+bx+2可得f（x）=aex（x+3），g（x）=2x+b，由题意，两函数在x=0处有相同的切线f（0）=3a，g（0）=b，3a=b，f（0）=2a=g（0）=2，a=1，b=3，f（x）=ex
25、（x+2），g（x）=x2+3x+2；（2）f（x）=ex（x+3），由f（x）0得x3，由f（x）0得x3，f（x）在（3，+）单调递增，在（，3）单调递减，t4，t+13，当4t3时，f（x）在t，3单调递减，3，t+1单调递增，f（x）的最小值为f（3）=e3；当t3时，f（x）在t，t+1单调递增，f（x）的最小值为f（t）=et（t+2）综上可得，当4t3时，f（x）的最小值为e3；当t3时，f（x）的最小值为et（t+2）21已知函数f（x）=xax2ln（1+x），其中aR（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）在0，+）上的最大值是0，求a的取值范围【考点】6B：利用导数研
26、究函数的单调性；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（1）对a分类讨论，利用导数与函数单调性的关系即可得出；（2）通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合题意求出a的范围即可【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=，故f（x）的单调增区间是（0，+）；单调减区间是（1，0）当a0时，f（x）=1ax=，令f（x）=0，得x1=0，或x2=1，当0a1时，f（x）与f（x）的情况如下：x（1，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+）f（x）0+0f（x）f（x1）f（x2）所以，f（x）的单调增区间是（0，1）；单调减区间是（1，0）和（1，+）当a=1时，f（x）的单调减区间是（1
27、，+）当a1时，1x20，f（x）与f（x）的情况如下：x（1，x2）x2（x2，x1）x1（x1+）f（x）0+0f（x）f（x2）f（x1）所以，f（x）的单调增区间是（1，0）；单调减区间是（1，1）和（0，+）当a0时，f（x）的单调增区间是（0，+）；单调减区间是（1，0）（2）由（1）知a0时，f（x）在（0，+）上单调递增，由f（0）=0，知不合题意当0a1时，f（x）在（0，+）的最大值是f（1），由f（1）f（0）=0，知不合题意，当a1时，f（x）在（0，+）单调递减，可得f（x）在0，+）上的最大值是f（0）=0，符合题意，所以，f（x）在0，+）上的最大值是0时，a的取
28、值范围是1，+）22已知函数f（x）=（ax+1）lnxax+3，aR，g（x）是f（x）的导函数，e为自然对数的底数（1）讨论g（x）的单调性；（2）当ae时，证明：g（ea）0；（3）当ae时，判断函数f（x）零点的个数，并说明理由【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；54：根的存在性及根的个数判断【分析】（1）求导，由导数与函数单调性的关系，即可求得g（x）的单调区间；（2）由g（ea）=a2+ea，构造函数h（x）=x2+ex，求导，当xe时，h（x）0，函数单调递增，即可求得h（x）=x2+exe2+ee0，（3）由（1）可知，函数最小值为g（）=0，故g（x）恰有两个零点x1，x
29、2，则可判断x1，x2是函数的极大值和极小值，由函数零点的存在定理，求得函数f（x）只有一个零点【解答】解：（1）对函数f（x），求导得g（x）=f（x）=alnx+，g（x）=，当a0时，g（x）0，故g（x）在（0，+）上为减函数；当a0时，（x）0，可得x，故g（x）的减区间为（0，），增区间为（，+）；（2）证明：g（ea）=a2+ea，设h（x）=x2+ex，则h（x）=ex2x，易知当xe时，h（x）0，函数h（x）单调递增，h（x）=x2+exe2+ee0，g（ea）0；（3）由（1）可知，当ae时，g（x）是先减再增的函数，其最小值为g（）=aln+a=a（ln+1）0，而此时g（）=1+，g（ea）0，且ea，故g（x）恰有两个零点x1，x2，当x（0，x1）时，f（x）=g（x）0；当x（x1，x2）时，f（x）=g（x）0；当x（x2，+）时，f（x）=g（x）0，f（x）在x1，x2两点分别取到极大值和极小值，且x1（0，），由g（x1）=alnx1+=0，知a=，f（x1）=（ax1+1）lnx1ax1+3=lnx1+2，lnx10，lnx1+2，但当lnx1+=2时，lnx1=，则a=e，不合题意，所以f（x1）0，故函数f（x）的图象与x轴不可能有两个交点函数f（x）只有一个零点2017年5月25日
