1、函数零点一、 单选题1已知定义在上的函数,若函数恰有2个零点,则实数的取值范围为A,B,C,D,解:作出函数的图象,如图示:考虑直线,与曲线相切,由直线与曲线的位置关系可得:当,时有两个交点,即,时函数恰有两个零点故选:2集合,2,3,是到的函数,方程恰好有两个不同的根,且(1)(2)(3)(4),则函数的零点个数为A1B2C1或2D4解:函数是到的函数,意思为,分别与,中的某一个对应,又(1)(2)(3)(4),当是或或这三种情况,比如1对2,2对2,3对3,4对3,即(1)(1),(3)(3),有(2),(3)两个零点,当是或这两种情况,比如1对4,2对2,3对2,4对2,则(3)(3),
2、(4)(4),此时只有(2)一个零点,故选:3函数有两个零点,则的取值范围为ABCD解:由,得,即,由题意,函数与的图象有两个交点,当时,两函数的图象有两个交点;当时,函数与的图象有两个交点时,注意到与互为反函数,图象关于对称,可知函数的图象与相切,设切点的横坐标为,则,解得的取值范围为故选:4若关于的方程有两个不相等的实数根,则实数的取值范围是AB,C,D,解:关于的方程程 有两个不相等的实数解,即是,的图象有两个交点,因为是以为圆心,1为半径的上半圆,而是过定点的直线,由图可知,当直线在和之间时符合要求,当直线为时,当直线为时,有点到直线的距离等于半径可得(正值舍去)故实数的取值范围是,故
3、选:5已知是定义在上的奇函数,也是奇函数,当,时,若函数,则在区间,上的零点个数是A108B109C144D145解:因为是定义在上的奇函数,也是奇函数,所以,则,所以是周期为2的函数,因为的周期为2,所以函数是周期为2的函数,所以,(1)(1),则在区间,上,故函数在区间,上的零点个数是个故选:6已知函数的图象过点,且对恒成立,若关于的方程有3个不同的实数根,则的取值范围是ABC,D,解:由,得,即,则,得,(1),故,当时,当或时,在上单调递增,在,上单调递减,的极大值为(2),极小值为且当时,当时,关于的方程有3个不同的实数根,的图象与有3个不同交点,则,得即的取值范围是,故选:7已知函
4、数没有零点,则实数的取值范围为AB ,CD ,解:由函数没有零点,根据指数与对数的性质,等价于,即,;构造函数,则,在单调递增,可得式等价于,当与相切时,设切点为,则,解得,要使成立,则实数的取值范围是故选:8已知函数,若的零点个数为4,则实数取值范围为ABCD解:函数,作出的图象,令,那么转化为要使零点个数为4,结合的图象,可知,或且或且令,根据二次函数根的分布,可得或或,即或或,解得:故选:二、 多选题9已知函数,若函数恰有三个不同的零点,则的取值可能是A2B3C4D5解:函数的定义域是,在,上,函数单调递减,在上,函数单调递增,如图示:令,则有2个不同的零点,设,则,故,解得:,故选:1
5、0.已知函数有两个零点,分别为,则下列结论正确的是ABCD解:函数有两个零点,即有两个根,问题即转化为与的有两个不同交点做出函数的图象如右:其函数解析式为:,由题意两交点横坐标分别为,若有两个交点,则,对;当时,令,得,故,对;易知,整理得:,对;由得,所以,错故选:11已知函数,为自然对数的底数),则A函数至多有2个零点B函数至少有1个零点C当时,对,总有成立D当时,方程有3个不同实数根解:作出函数和函数的图象如图所示,当时,函数只有1个零点,当时,函数有2个零点,当时,函数只有1个零点,故选项正确;当时,函数为增函数,故选项正确;当时,当时,该方程有两个解,当时,该方程有两个解,所以方程有
6、4个不同的解,故选项错误故选:12若函数的图像和直线有四个不同的交点,则实数的取值可以是AB0C2D4解:当时,由,得,得,当时,由,得,此时是方程的一个根,当时,设,当时,由,得,即,得,此时函数为增函数,由,得,即,得,此时函数为减函数,即当时,取得极小值,当时,作出的图象如图,要使与直线有四个不同的公共点,等价为与有3个不同的交点,则满足或,即实数的取值范围是,结合选项可得,实数的取值可以是故选:三、 填空题13已知函数若关于的方程(2)在,上有3个不相等的实数根,则实数的取值范围是解:因为函数,所以(2),所以,作出函数的图象如图中的黑色实线部分,因为方程(2)在,上有3个不相等的实数
7、根,则在,上有3个不相等的实数根,即函数的图象与的图象有3个不同的交点,所以,故实数的取值范围是故答案为:14定义在上的奇函数满足,且当时,则函数在,上的零点之和为解:原问题等价于求解函数与函数 的交点横坐标之和由题意可得:,故函数的周期为2,设,则,设,则,设,则,据此绘制函数图像如图所示,观察可知,函数的图像关于点对称,且函数 的图像也关于点对称,两函数交点个数为6个,故零点之和为6故答案为:615已知函数,若恰有4个零点,则实数的取值范围为解:原问题等价于函数 与函数存在4个不同的交点绘制函数的图像如图所示,很明显,当时,不满足题意,当时,两函数在区间和区间上必然各存在一个交点,则函数与函数在区间上存在两个交点,临界条件为函数与函数相切,考查函数过坐标原点的切线:由函数的解析式可得:,设切点坐标为,则切线方程为:,切线过坐标原点,则:,解得:,此时切线的斜率为:,据此可得:实数的取值范围是,故答案为:,16设函数,若关于的方程有且仅有6个不同的实根,则实数的取值范围是解:作出函数的简图如图,令,要使方程有且仅有6个不同的实根,则方程有两个不同的实数根,且由图可知方程与有2个根和4个根,或0个根和6个根,或3个根与3个根,当方程与有2个根和4个根时,此时;当方程与有6个根和0个根时,设,则有,解得,当方程与有3个根和3个根时,不满足,故不可能,所以实数的取值范围是故答案为: