1、2018届高三第四次模拟考试数学试题(考试时间：120分钟 总分：160分)注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）（第4题）1已知集合，则 2已知复数，其中是虚数单位，则的模为 3已知一组数据，则该组数据的方差为 4执行如图所示的伪代码，最后输出的的值是 5从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，则取到的2个数的和大于5的概率为 6已知，则 7在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，则实数的值是 8在三棱锥中，直线平面，的面积为3，若点为的重心，则三棱锥的体积为 9已知，则 10在
2、平面直角坐标系中，若圆与曲线有2个公共点，则实数的值是 11已知定义在区间的函数满足，当时，则不等式的解集为 12已知函数，其中，且，若方程恰有两个不相等的实数根，则的取值集合为 13.在中，点，分别在线段，上，若相交于点，且，则 14. 在中，角的对边分别为，若，且，则实数的最小值是 二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（本题满分14分）在中,已知角的对边分别为.且满足.（1）若，求；（2）若，求的值.16（本题满分14分）已知三棱锥中，.（1）求证：平面； （2）若平面分别与棱、相交于点、，且平面， 求证：.17（本题满分14分）如图，建筑公司受
3、某单位委托，拟新建两栋办公楼，（为楼间距），两楼的楼高分别为，其中由于委托单位的特殊工作性质，要求配电房设在的中点处，且满足两个设计要求： ，楼间距与两楼的楼高之和的比 （）求楼间距（结果用表示）；（）若，是否能满足委托单位的设计要求？ 18（本题满分16分）已知椭圆的离心率为，一条准线方程为过点且不与轴垂直的直线与椭圆相交于两点线段的中点为，点为轴上一点，且满足（1）求椭圆的方程；（2）求证：线段的中点在定直线上；（3）若为等边三角形，求直线的方程19（本题满分16分）已知函数，(1)当时，求的最小值；（2）若时，恒成立，求实数的取值范围；（3）若函数存在极小值，求实数的取值范围20（本题满
4、分16分）已知数列的前项和为数列满足，（1）若，且，求正整数的值；（2）若数列，均是等差数列，证明：；（3）若数列是等比数列，公比为，且，是否存在正整数，使，成等差数列，若存在，求出一个的值，若不存在，请说明理由2018届高三第四次模拟考试数学试题（附加题）21. （选做题请考生在A、B、C、D四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分A（本小题满分10分，几何证明选讲）如图，已知是的角平分线，圆过且与相切与点，圆分别与相交于. 求证：.B（本小题满分10分，矩阵与变换）已知矩阵，在平面直角坐标系中，直线在矩阵对应的变换下得到直线，求实数，的值C（本小题满分10分，坐标系与参数方程选
5、讲） 己知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点，求线段的值 D（本小题满分10分，不等式选讲） 已知正实数满足，求的最小值22【必做题】（本题满分10分） 如图，在三棱锥中，平面，（），点，分别为，的中点(1)若异面直线与所成角为，求的值；(2)记平面与平面所成的锐二面角为，证明：23. 【必做题】（本题满分10分）已知数列的前项和为，（）若，求证：必可以被分为组或组，使得每组所有数的和小于；（）若，求证：必可以被分为组（），使得每组所有数的和小于2018届高三第四次模拟考试高三数学参考答案一、填
6、空题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13. 14. 解：由正弦定理，（当且仅当时取等号） ，（当且仅当时取等号），实数的最小值是意图：解三角形背景下两次使用基本不等式二、解答题15.解：（1） ， ，即， 5分，解得. 7分（2） ，在中，由正弦定理：，10分即，化简后得：. 14分16.证明：（1），.又平面，平面， 5分平面.（2）平面，平面平面，平面，10分同理，所以. 14分17.解：（1）解：（1）在中，在中，即， 5分（2）在中，过点作的垂线，垂足为，8分，10分设（），由（1）可得，即，设，函数单调递增，又，13分能满足委托单位的设计要求答：(1)楼间距为;
7、(2)能满足委托单位的设计要求 14分说明：本题改编自必修4的一道例题：如图，两座建筑物AB，CD的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角，求建筑物AB，CD的底部之间的距离BD。18.解：(1)由题意，又，解得，所以椭圆的方程为 4分（2）显然直线的斜率存在，设其方程为，代入整理得，设，则，所以， 8分所以直线的方程，令得，则，所以的中点在定直线轴上 10分另法：由点差法易得，又，所以，所以，即，所以的中点在定直线上轴上（3） 由（1）得，所以， 13分因为为等边三角形，所以，则，解得，所以直线的方程为16分19.解：(
8、1) 当时，当时，单调递减；当时，单调递增，所以当时，的最小值为 4分(2)当时，6分令，则， 所以在上单调递增，所以，所以.10分（3）设，则，令得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 12分当时，即，所以在上单调递增，无极值；当时，因为,(易证)所以，所以在上有一个零点，记为，则时，则单调递减；时，则单调递增，所以在处取得极小值综上，若函数存在极小值，则实数的取值范围为16分（其他解法酌情给分）20.解：（1），即，或（舍）， 4分（2）设等差数列，的公差分别为，即，6分令，得， ， ，由得， 10分（3）数列是等比数列，又，不存在正整数，使，成等差数列 16分泰州市2018届高三第四
9、次模拟考试高三数学附加题参考答案21.A.证： 连结，因为与圆相于点，所以，因为是的角平分线，所以， 5分又因为，所以，所以，8分所以，即. 10分21. B.解：由题意可得直线上任意一点在矩阵对应的变换下得到直线上任意一点， ，5分代入，化简后得：，与直线对比可得：，10分21. C.解：曲线：，直线：， 设直线的参数方程为，5分代入曲线，得，弦长10分21. D证明：10分22.解：（1）以为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，设,，,，,异面直线与所成角为，则，5分证明：（2）,，设平面的一个法向量为，即，取，设平面的一个法向量为，即，取，平面与平面所成的锐二面角为，令，10分23.（）证明：，若，不妨设，则，满足题意；若，则，满足题意；综上所述：若，必可以被分为组或组，使得每组所有数的和均小于3分（）证明：（）当时，满足题意；（）假设当时，命题成立，即当，必可以被分为组（），使得每组所有数的和均小于，那么，当时，由题意，若，不妨设，则，必可以被分为组，使得每组所有数的和均小于，必可以被分为组，使得每组所有数的和均小于，若，不妨设，若，显然满足题意，若存在，使得，则，必可以被分为组，使得每组所有数的和均小于，必可以被分为组，使得每组所有数的和均小于，当时，命题也成立，由（）（）可知：当时，必可以被分为组（），使得每组所有数的和均小于 10分
