1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(四十四)椭圆(45分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2014台州模拟)已知椭圆C的短轴长为6,离心率为,则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为()A.9B.1C.1或9D.以上都不对【解析】选C.依题设知:解得a=5,b=3,c=4.所以椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为a+c=9或a-c=1.2.椭圆+=1(ab0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离
2、心率为()A.B.C.D.-2【解析】选B.因为A,B为左、右顶点,F1,F2为左、右焦点,所以|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c,又因为|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,所以(a+c)(a-c)=4c2,即a2=5c2,所以离心率e=.3.设椭圆+=1(ab0)的离心率为e=,右焦点为F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个实根分别为x1和x2,则点P(x1,x2)()A.必在圆x2+y2=2内B.必在圆x2+y2=2上C.必在圆x2+y2=2外D.以上三种情形都有可能【解析】选A.因为e=,所以=.因为a2=b2+c2,所以b2=a2.因为x1+x
3、2=-,x1x2=-,所以+=(x1+x2)2-2x1x2=+1=b0)的右焦点F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点,若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选D.由椭圆+=1得,b2x2+a2y2=a2b2,因为过点F的直线与椭圆+=1(ab0)交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,=-1,则b2+a2=a2b2,b2+a2=a2b2,由-得b2(-)+a2(-)=0,化简得b2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0.2b2(x1-x2)-2a2(y1-y2)=0,=,又直线的斜
4、率为k=,即=.因为b2=a2-c2=a2-9,所以=,解得a2=18,b2=9.故椭圆方程为+=1.5.设P是椭圆+=1上一点,M,N分别是两圆:(x+4)2+y2=1和(x-4)2+y2=1上的点,则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为()A.9,12B.8,11C.8,12D.10,12【思路点拨】可先求点P到两圆圆心的距离之和,注意两圆圆心与椭圆焦点的关系.【解析】选C.可先求点P到两圆圆心的距离,然后再加两圆半径和或再减两圆半径和,因为两圆圆心分别为椭圆的左、右焦点,所以点P到两圆圆心的距离的和为2a=10,因此所求最大值为2a+2,最小值为2a-2,故最大值是12、最小值是8.
5、6.(2013新课标全国卷)设椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2F1F2,PF1F2=30,则C的离心率为()A.B.C.D.【解析】选D.因为PF2F1F2,PF1F2=30,所以|PF2|=2ctan 30=c,|PF1|=c.又|PF1|+|PF2|=c=2a,所以=,即椭圆的离心率为,选D.7.已知椭圆+=1,若此椭圆上存在不同的两点A,B关于直线y=4x+m对称,则实数m的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x,y),kAB=-,x1+x2=2x,y1+y2=2y,3+4=12,3+4
6、=12,两式相减得3(-)+4(-)=0,即y1+y2=3(x1+x2),即y=3x,与y=4x+m联立得x=-m,y=-3m,而M(x,y)在椭圆的内部,则+1,即-m2C.t2D.t与2的大小关系不确定【思路点拨】先画出图形,注意圆的切线的性质以及椭圆的定义即可求解.【解析】选A.如图,P,Q分别是圆C与F1A的延长线、线段AF2相切的切点,则|MF2|=|F2Q|=2a-(|F1A|+|AQ|)=2a-|F1P|=2a-|F1M|,即|F1M|+|MF2|=2a.所以t=a=2.二、填空题(每小题5分,共20分)9.(2014嘉兴模拟)已知椭圆+=1的焦点分别是F1,F2,P是椭圆上一点
7、,若连接F1,F2,P三点恰好能构成直角三角形,则点P到y轴的距离是.【解析】依题意:F1(0,-3),F2(0,3).又因为3b0)的左、右焦点F1,F2所作的两条互相垂直的直线l1,l2的交点在此椭圆的内部,则此椭圆的离心率的取值范围是.【思路点拨】关键是由l1,l2的交点在此椭圆的内部,得到a,b,c间的关系,进而求得离心率e的取值范围.【解析】由已知得交点P在以F1F2为直径的圆x2+y2=c2上.又点P在椭圆内部,所以有c2b2,又b2=a2-c2,所以有c2a2-c2,即2c2a2,亦即:,所以0b0)的两个焦点,若椭圆上存在点P使得F1PF2=,则椭圆的离心率e的取值范围为.【解
8、析】设椭圆的短轴的一个端点为B,则F1BF2,在BF1F2中,sinOBF2=esin=,故e1.答案:11.(2014镇江模拟)已知点A(0,2)及椭圆+y2=1上任意一点P,则|PA|的最大值为.【解析】设P(x0,y0),则-2x02,-1y01,所以|PA|2=+(y0-2)2.因为+=1,所以|PA|2=4(1-)+(y0-2)2=-3-4y0+8=-3+.因为-1y01,而-1-b0)的左、右焦点,A是椭圆C的顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,F1AF2=60.(1)求椭圆C的离心率.(2)已知AF1B的面积为40,求a,b的值.【解析】(1)F1AF2=60a=2ce=.
9、(2)设|BF2|=m(m0),则|BF1|=2a-m,在BF1F2中,|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2-2|BF2|F1F2|cos120,即(2a-m)2=m2+a2+am,所以m=a.AF1B的面积S=|AF1|AB|sin60=a=40,所以a=10,c=5,b=5.【一题多解】本题第(2)问还可以用如下的方法解决:设|AB|=t.因为|AF2|=a,所以|BF2|=t-a.由椭圆定义|BF1|+|BF2|=2a可知,|BF1|=3a-t,再由余弦定理(3a-t)2=a2+t2-2atcos60可得,t=a.由=aa=a2=40知,a=10,b=5.14.(2013南宁模拟)
10、设椭圆C:+=1(ab0)的离心率e=,点A是椭圆上的一点,且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆C的方程.(2)椭圆C上一动点P(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为P1(x1,y1),求3x1-4y1的取值范围.【解析】(1)依题意知,2a=4,所以a=2.因为e=,所以c=,b=.所以所求椭圆C的方程为+=1.(2)因为点P(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为P1(x1,y1),所以解得x1=,y1=.所以3x1-4y1=-5x0.因为点P(x0,y0)在椭圆C:+=1上,所以-2x02,则-10-5x010.所以3x1-4y1的取值范围为-10,10.【加固训练】设A,
11、B分别为椭圆+=1(ab0)的左、右顶点,为椭圆上一点,椭圆长半轴的长等于焦距.(1)求椭圆的方程.(2)设P(4,x)(x0),若直线AP,BP分别与椭圆相交异于A,B的点M,N,求证:MBN为钝角.【解析】(1)依题意,得a=2c,b2=a2-c2=3c2.则椭圆方程为+=1,将代入,得c2=1.故椭圆方程为+=1.(2)由(1)知,A(-2,0),B(2,0),设M(x0,y0),则-2x00,即MBP为锐角,则MBN为钝角.15.(2013重庆高考)如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率e=,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A,A两点,|AA|=4.(1)求该椭圆的标准方程.(
12、2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P,P,过P,P作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.求PPQ的面积S的最大值,并写出对应的圆Q的标准方程.【解析】(1)设椭圆的标准方程为+=1(ab0),由题意知点A(-c,2)在椭圆上,则+=1,从而e2+=1.由e=,得b2=8,从而a2=16,故该椭圆的标准方程为+=1.(2)由椭圆的对称性,可设Q(x0,0),又设M(x,y)是椭圆上任意一点,则|QM|2=(x-x0)2+ y2=x2-2x0x +8(1-)=(x-2x0)2-+8(x).设P(x1,y1),由题意,P是椭圆上到Q的距离最小的点,因此,上式当x=x1时取最小值,又因为x1,所以上式当x=2x0时取最小值,从而x1=2x0,且|QP|2=8-.由对称性知P(x1,-y1),故|PP|=|2y1|,所以S =|2y1|x1-x0|=2|x0|=.当x0=时,PPQ的面积S取到最大值2.此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(,0),半径|QP| =,因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为(x+)2+y2=6,(x-)2+y2=6.关闭Word文档返回原板块
