1、第7讲抛物线考纲解读1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单的几何性质(范围、对称性、顶点、准线)(重点)2能根据几何性质求最值，能利用抛物线的定义进行灵活转化，并能理解数形结合思想，掌握抛物线的简单应用(难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容预测2021年高考将会考查：抛物线的定义及其应用；抛物线的几何性质；直线与抛物线的位置关系及抛物线与椭圆或双曲线的综合试题以选择题、填空题、解答题形式呈现，灵活多变、技巧性强，具有一定的区分度试题中等偏难.1.抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(Fl)距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物
2、线的准线2抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下3必记结论(1)抛物线y22px(p0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|x0，也称为抛物线的焦半径(2)y2ax(a0)的焦点坐标为，准线方程为x.(3)直线AB过抛物线y22px(p0)的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图y1y2p2，x1x2.|AB|x1x2p，
3、x1x22p，即当x1x2时，弦长最短为2p.为定值.弦长AB(为AB的倾斜角)以AB为直径的圆与准线相切焦点F对A，B在准线上射影的张角为90.1概念辨析(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线()(2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形()(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切()(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x22ay(a0)的通径长为2a.()答案(1)(2)(3)(4)(5) 2小
4、题热身(1)若抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A. B. C. D0答案B解析M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y，设M(x，y)，则y1，y.(2)抛物线y2x2的准线方程是()Ax BxCy Dy答案D解析抛物线y2x2的方程可化为x2，其准线方程为y.(3)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(4，2)的抛物线的标准方程是()Ay2x Bx28yCy28x或x2y Dy2x或x28y答案D解析设抛物线为y2mx，代入点P(4，2)，解得m1，则抛物线方程为y2x；设抛物线为x2ny，代入点P(4，2)，解得n8，则抛物线方程为x28y.故选D.(
5、4)若过抛物线y28x的焦点作倾斜角为45的直线，则被抛物线截得的弦长为()A8 B16 C32 D64答案B解析由抛物线y28x的焦点为(2,0)，得直线的方程为yx2，代入y28x，得(x2)28x，即x212x40，所以x1x212，弦长为x1x2p12416.故选B.题型一抛物线的定义及应用1过点F(0,3)且和直线y30相切的动圆圆心的轨迹方程为()Ay212x By212xCx212y Dx212y答案D解析由题意，得动圆的圆心到直线y3的距离和到点F(3,0)的距离相等，所以动圆的圆心是以点F(0,3)为焦点，直线y3为准线的抛物线，其方程为x212y.2(2019沈阳模拟)抛物
6、线y26x上一点M(x1，y1)到其焦点的距离为，则点M到坐标原点的距离为_答案3解析由题意，知焦点坐标为，准线方程为x，点M(x1，y1)到焦点的距离等于它到准线的距离，所以x1，解得x13，所以y18，所以|OM|3.条件探究将本例中的条件变为“在抛物线上找一点M，使|MA|MF|最小，其中A(3,2)”则点M的坐标为_，此时的最小值为_答案解析如图，点A在抛物线y26x的内部，由抛物线的定义可知，|MA|MF|MA|MH|，其中|MH|为点M到抛物线的准线的距离过A作抛物线准线的垂线交抛物线于M1，垂足为B，则|MA|MF|MA|MH|AB|3，当且仅当点M在M1的位置时等号成立即|MA
7、|MF|的最小值为，此时点M的坐标为.利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线见举例说明1.(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化见举例说明2.(3)看到准线想焦点，看到焦点想准线，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径 1若抛物线y24x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则OFP的面积为()A. B1 C. D2答案B解析设P(xP，yP)，由题意，得抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x1，又点P到焦点F的距离为2，由抛物线的定义知点P
8、到准线的距离为2，xP12，得xP1，代入抛物线方程得|yP|2，OFP的面积为S|OF|yP|121.2(2020山西大学附中模拟)已知点Q(2，0)及抛物线y上一动点P(x，y)，则y|PQ|的最小值是_答案2解析抛物线y即x24y，其焦点坐标为点F(0,1)，准线方程为y1.因为点Q的坐标为(2，0)，所以|FQ|3.过点P作准线的垂线PH，交x轴于点D，如图所示结合抛物线的定义，有y|PQ|PD|PQ|PH|PQ|1|PF|PQ|1|FQ|1312，即y|PQ|的最小值是2.题型二抛物线的标准方程和几何性质 1(2019全国卷)若抛物线y22px(p0)的焦点是椭圆1的一个焦点，则p(
9、)A2 B3 C4 D8答案D解析抛物线y22px(p0)的焦点坐标为，椭圆1的焦点坐标为.由题意得，解得p0(舍去)或p8.故选D.2(2019北京高考)设抛物线y24x的焦点为F，准线为l，则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为_答案(x1)2y24解析抛物线y24x的焦点F坐标为(1,0)，准线l的方程为x1，以F为圆心，且与l相切的圆的方程为(x1)2y24.3如图所示，抛物线形拱桥的跨度是20米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米需要用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长度解建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0)，因为抛物线过点B(10，4)，所以1022p(4)，解得p，
10、所以x225y，当x2时，y，所以最长支柱长为4|y|43.84(m)1求抛物线标准方程的方法(1)抛物线的标准方程有四种不同的形式，要掌握焦点到准线的距离，顶点到准线、焦点的距离，通径长与标准方程中系数2p的关系见举例说明2.(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2mx或x2my(m0)见举例说明3.2抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算 1已知A是抛物线y22px(p0)上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|4时，OFA120，则抛物
11、线的准线方程是()Ax1 By1Cx2 Dy2答案A解析过A向准线作垂线，设垂足为B，准线与x轴的交点为D(图略)因为OFA120，所以ABF为等边三角形，DBF30，从而p|DF|2，因此抛物线的准线方程为x1.2(2019荆门模拟)抛物线C：y22px(p0)焦点F，过C上一点D作直线DE垂直准线于点E，DEF恰好为等腰直角三角形，其面积为4，则抛物线方程为()Ay22x By22xCy24x Dy24x答案D解析根据抛物线的定义，得|DF|DE|，又DEF恰好为等腰直角三角形，所以EDF90，|DE|DF|4，|DE|DF|2，D，将其代入y22px，得82p，解得p2.抛物线方程为y2
12、4x.3抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线发射后必经过抛物线的焦点已知抛物线y24x的焦点为F，一平行于x轴的光线从点M(3,1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为()A. B C D答案B解析令y1，代入y24x可得x，即A.由抛物线的光学性质可知，直线AB经过焦点F(1,0)，所以k.故选B.题型三直线与抛物线综合问题角度1直线与抛物线相切问题1(2019全国卷)已知曲线C：y，D为直线y上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(
13、2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积解(1)证明：设D，A(x1，y1)，则x2y1.因为yx，所以切线DA的斜率为x1，故x1.整理得2tx12y110.设B(x2，y2)，同理可得2tx22y210.故直线AB的方程为2tx2y10.所以直线AB过定点.(2)由(1)得直线AB的方程为ytx.由可得x22tx10.于是x1x22t，x1x21，y1y2t(x1x2)12t21，|AB|x1x2| 2(t21)设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1，d2.因此，四边形ADBE的面积S|AB|(d1d2)(t23) .设M为线段AB的中
14、点，则M.因为，而(t，t22)，与向量(1，t)平行，所以t(t22)t0，解得t0或t1.当t0时，S3；当t1时，S4.因此，四边形ADBE的面积为3或4.角度2过焦点的直线与抛物线相交问题2(2019湖南长郡中学模拟)已知F为抛物线C：y24x的焦点，E为其准线与x轴的交点，过F的直线交抛物线C于A，B两点，M为线段AB的中点，且|ME|，则|AB|()A6 B3 C8 D9答案A解析根据题意，知直线AB的斜率存在且不为零，抛物线的焦点坐标是F(1,0)设直线AB：yk(x1)，将直线方程与抛物线方程联立得方程组消去y并整理，得k2x2(2k24)xk20，则x1x2，从而M.又E(1
15、,0)，根据|ME|，得211，解得k22.所以|AB|x1x2p226.故选A.3过抛物线y22px(p0)的焦点作直线l与抛物线交于A，B两点，直线l与y轴的负半轴交于点C.若3，则直线l的斜率为_答案2解析解法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为yk(k0)由3，得x14x2.由得k2x2(k22)px0，则x1x2，x1x2，故，即2，解得k2.解法二： 设直线l：yk(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由3，得x14x2.由得k2x2(k22)px0，则x1x2.所以x1p，y1p，则直线l的斜率k2.角度3不过焦点的直线与抛物线相交问题4(2019全国卷
16、)已知抛物线C：y23x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|BF|4，求l的方程；(2)若3，求|AB|.解设直线l：yxt，A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)由题设得F，故|AF|BF|x1x2.又|AF|BF|4，所以x1x2.由可得9x212(t1)x4t20，则x1x2.从而，得t.所以l的方程为yx.(2)由3可得y13y2.由可得y22y2t0，所以y1y22，从而3y2y22，故y21，y13.代入C的方程得x13，x2，即A(3,3)，B.故|AB|.1直线与抛物线交点问题的解题思路(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组
17、成的方程组(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决见举例说明2,3,4.2解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用焦点弦公式(见举例说明2)，若不过焦点，则必须用一般弦长公式(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法提醒：为了回避讨论直线斜率存在和不存在，可以灵活设直线方程 1(2019南宁二模)已知抛物线x22py(p0)的准线方程为y1，ABC的顶点A在抛物线上，B，C两点在直线y2x5上，如果|2，那么ABC面积的最小值为
18、()A5 B4 C. D1答案D解析依题意得抛物线方程为x24y.因为|2，所以|2.设抛物线x24y的一条切线方程为y2xb.将y2xb代入x24y，得x28x4b0.由6416b0，得b4.此时抛物线x24y的切线方程为y2x4.该切线与直线BC的距离为d，即点A到直线y2x5的最小距离为，故SABC的最小值为|BC|d1.2已知直线l与抛物线y24x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(4,4)，则线段AB的中点到准线的距离是_答案解析抛物线y24x的焦点F的坐标为(1,0)，准线方程为x1，所以kAF.所以直线l的方程为y0(x1)，即y(x1)由消去y，整理得4x21
19、7x40，所以线段AB的中点的横坐标为.所以线段AB的中点到准线的距离是(1).3已知抛物线C：y2ax(a0)上一点P到焦点F的距离为2t.(1)求抛物线C的方程；(2)抛物线上一点A的纵坐标为1，过点Q(3，1)的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点(均与点A不重合)，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值解(1)由抛物线的定义可知|PF|t2t，则a4t，由点P在抛物线上，则at.所以a，则a21，由a0，得a1，故抛物线C的方程为y2x.(2)证明：因为A点在抛物线上，且yA1.所以xA1，所以A(1,1)，设过点Q(3，1)的直线l的方程为x3m(y1)即xmy
20、m3，代入y2x得y2mym30.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y2m，y1y2m3，所以k1k2，为定值 组基础关1(2019厦门一模)若抛物线x2ay的焦点到准线的距离为1，则a()A2 B4 C2 D4答案C解析抛物线x2ay的焦点坐标为，准线方程为y.而抛物线x2ay的焦点到准线的距离为1，所以1，解得a2.2(2019汀赣十四校第一次联考)已知抛物线y24x与x22py(p0)的焦点间的距离为2，则p的值为()A4 B12 C2 D6答案C解析两抛物线的焦点坐标分别为(1,0)和.由题意可知 2，且p0，解得p2.3(2020南昌摸底)一动圆的圆心在抛物线y28x上，且
21、动圆恒与直线x20相切，则此动圆必过定点()A(4,0) B(2,0) C(0,2) D(0,0)答案B解析由抛物线y28x，得准线方程为x2，焦点坐标为(2,0)因为动圆的圆心在抛物线y28x上，且动圆恒与直线x20相切，由抛物线的定义可知动圆必经过定点(2,0)4(2019哈尔滨三模)过抛物线y24x的焦点作一条倾斜角为的直线，与抛物线交于A，B两点，则|AB|()A4 B6 C8 D16答案D解析抛物线的焦点坐标为F(1,0)，p2，过焦点的直线的斜率ktan，则直线方程为y(x1)，代入y24x得(x1)24x，整理得x214x10，设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
22、则x1x214，则|AB|x1x2p14216.5设抛物线C：y24x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，过抛物线C上一点P作准线l的垂线，垂足为Q.若QAF的面积为2，则点P的坐标为()A(1,2)或(1，2) B(1,4)或(1，4)C(1,2) D(1,4)答案A解析设点P的坐标为(x0，y0)因为QAF的面积为2，所以2|y0|2，即|y0|2，所以x01，所以点P的坐标为(1,2)或(1，2)6(2018全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过点(2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则()A5 B6 C7 D8答案D解析根据题意，过点(2,0)且斜率为的直线方程为y(x2)，
23、与抛物线方程联立消去x并整理，得y26y80，解得M(1,2)，N(4,4)，又因为F(1,0)，所以(0,2)，(3,4)，从而可以求得03248.故选D.7(2019怀化三模)过抛物线y22px(p0)的焦点F作斜率为k的直线，与抛物线相交于A，B两点，设直线OA，OB(O为坐标系原点)的斜率分别为k1，k2，则下列等式正确的是()Ak1k2k B.k1k2C. Dk2k1k2答案C解析由题意，得OA的方程为yk1x，与抛物线C：y22px(p0)联立，解得A，同理可得B，k，.故选C.8(2019湖北四地七校联考)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，P是抛
24、物线C上的点，且PFx轴若以AF为直径的圆截直线AP所得的弦长为1，则实数p的值为_答案解析由题意，F，A，设P在第一象限，则P，kAP1，则直线AP的方程为xy0，以AF为直径的圆的圆心为O(0,0)，半径为R，则O到直线AP的距离为d，则圆O截直线AP所得的弦长为122 ，解得p.9(2019武汉4月调研)已知过点M(1,0)的直线AB与抛物线y22x交于A，B两点，O为坐标原点，若OA，OB的斜率之和为1，则直线AB的方程为_答案2xy20解析当直线AB的斜率不存在时，不符合题意，故设直线AB的斜率为k(k0)，则直线AB的方程为yk(x1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)由消去y
25、并整理，得k2x22(k21)xk20，则x1x2，x1x21.直线OA，OB的斜率之和为2k1，解得k2，直线AB的方程为2xy20.10(2019河南六市第二次联考)抛物线y24x的焦点为F，其准线为l，过点M(5,2)作直线l的垂线，垂足为H，则FMH的平分线的斜率为_答案解析连接HF.因为点M在抛物线y24x上，所以由抛物线的定义可知|MH|MF|.所以MHF为等腰三角形所以FMH的平分线所在的直线经过HF的中点因为点F(1,0)，H(1,2)，所以HF的中点坐标为(0，)，所以FMH的平分线的斜率为.组能力关1(2019潍坊高三上学期期末)已知抛物线y24x的焦点为F，P为抛物线上一
26、点，A(1,1)，当PAF周长最小时，PF所在直线的斜率为()A B C. D.答案A解析求PAF周长的最小值，即求|PA|PF|的最小值设点P在准线上的投影为D，则根据抛物线的定义，可知|PF|PD|.因此问题转化为求|PA|PD|的最小值根据平面几何知识，可得当D，P，A三点共线时|PA|PD|最小A(1,1)，点P在抛物线上，P，PF所在直线的斜率为.2(2020重庆名校联盟调研抽测)过抛物线y22x上一点A(2,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC，分别交抛物线于B，C两点，则直线BC的斜率为()A B C D答案D解析依题意，可设直线AB的方程为y2k(x2)，则直线AC的方程为y2
27、k(x2)设B(x1，y1)，C(x2，y2)(y12，y22)由得y1.同理，得y2.所以直线BC的斜率为.故选D.3(2019华中师大第一附中模拟)如图所示，点F是抛物线y28x的焦点，点A，B分别在抛物线y28x及圆(x2)2y216的实线部分上运动，且AB总平行于x轴，则FAB的周长的取值范围是()A(2,6)B(6,8)C(8,12)D(10,14)答案C解析设A(xA，yA)，B(xB，yB)抛物线的准线l：x2，焦点F(2，0)由抛物线定义，得|AF|xA2.因为圆(x2)2y216的圆心为(2,0)，半径为4，所以FAB的周长为|AF|AB|BF|(xA2)(xBxA)46xB
28、.由得则xB(2,6)，所以6xB(8,12)4(2018全国卷)已知点M(1,1)和抛物线C：y24x，过C的焦点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点若AMB90，则k_.答案2解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以yy4x14x2，所以k.取AB的中点M(x0，y0)，分别过点A，B作准线x1的垂线，垂足分别为A，B.因为AMB90，所以|MM|AB|(|AF|BF|)(|AA|BB|)因为M为AB的中点，所以MM平行于x轴因为M(1,1)，所以y01，则y1y22，所以k2.5(2020银川摸底)已知抛物线C：y24x的焦点为F，动点P在抛物线C上，点A(1,0)，则的最小值为
29、_；当取得最小值时，直线AP的方程为_答案xy10或xy10解析设P点的坐标为(4t2,4t)，F(1,0)，A(1,0)，|PF|2(4t21)216t216t48t21，|PA|2(4t21)216t216t424t21，21111，当且仅当16t2，即t时取等号故的最小值为；当取得最小值时，点P的坐标为(1,2)或(1，2)，直线AP的方程为y(x1)，即xy10或xy10.6(2019洛阳模拟)已知抛物线E：x22py(p0)的焦点为F，A(2，y0)是E上一点，且|AF|2.(1)求E的方程；(2)设点B是E上异于点A的一点，直线AB与直线yx3交于点P，过点P作x轴的垂线交E于点M
30、，证明：直线BM过定点解(1)根据题意，知42pya，因为|AF|2，所以ya2.联立解得ya1，p2.所以E的方程为x24y.(2)证明：设B(x1，y1)，M(x2，y2)由题意，可设直线BM的方程为ykxb，代入x24y，得x24kx4b0.所以x1x24k，x1x24b.由MPx轴及点P在直线yx3上，得P(x2，x23)，则由A，P，B三点共线，得，整理，得(k1)x1x2(2k4)x1(b1)x22b60.将代入上式并整理，得(2x1)(2kb3)0.由点B的任意性，得2kb30，所以ykx32kk(x2)3.即直线BM恒过定点(2,3)组素养关1(2019咸阳二模)设定点F(0,
31、1)，动点E满足：以EF为直径的圆与x轴相切(1)求动点E的轨迹C的方程；(2)设A，B是曲线C上的两点，若曲线C在A，B处的切线互相垂直，求证：A，F，B三点共线解(1)设E点坐标为(x，y)，则EF中点为圆心，设为P，则P点坐标为.P到x轴的距离等于，即，化简得x24y.点E的轨迹C的方程为x24y.(2)证明：由(1)知，曲线C是以F为焦点的抛物线，其方程可化为yx2，设A，B两点的坐标分别为，曲线方程为yx2，yx，曲线在A，B处切线的斜率分别为k1x1，k2x2，k1k21，x1x21，x2，A，B两点连线的斜率为kABx1，A，F两点连线的斜率为kAFx1kAB，A，B，F三点共线2(2019衡水一模)已知抛物线y24x的焦点为F，ABC的三个顶点都在抛物线上，且.(1)证明：B，C两点的纵坐标之积为定值；(2)设，求的取值范围解(1)证明：设A，B，C，F(1,0)，111，y1y2y0，即yyy4，(y1y2)2y，y42y1y2y，y1y22.(2)由，得四边形ABFC为平行四边形，故(y1)(y2)1y1y212y，故的取值范围是.
