1、解题思维 8 高考中概率、统计解答题的提分策略 1.2021 大庆实验中学模拟,12 分为了普及法律知识,达到“法在心中”的目的,某市组织了普法知识竞赛.统计局调查队随机抽取了甲、乙两个单位各 5 名职工的成绩(单位:分),成绩如下表所示:甲单位 5 名职工的成绩 87 88 91 91 93 乙单位 5 名职工的成绩 86 87 91 92 94(1)根据表中的数据,分别求出甲、乙两个单位 5 名职工成绩的平均数和方差.(2)用简单随机抽样的方法从乙单位 5 名职工的成绩中抽取 2 名职工的成绩,求抽取的 2 名职工的成绩差至少是 4 分的概率.2.2020 吉林长春实验中学测试,12 分通
2、常用 PM 2.5 的值表示空气的污染情况,PM 2.5 的值越高,空气污染就越严重,下表是某公园中参加室外锻炼的人数 y 与 PM 2.5 的值 x 的一些数据.x 110 100 80 60 50 y/人 90 95 100 105 110(1)请用相关系数 r(精确到 0.01)说明 y 与 x 之间具有什么样的相关关系;(2)根据上表提供的数据,估计当 PM 2.5 的值为 40 时该公园中参加室外锻炼的人数;(3)将表格中的数据看作五个点的坐标(xj,yj)(j=1,2,5),从这五个点中任意抽取两个点,求这两个点都在圆(x-80)2+(y-90)2=100 外的概率.参考公式:r=
3、1(xi-x)(yi-y)i=1n(-)2=1(-)2=1-(=12-2)(=12-2);线性回归方程y=x+a中,=1(-)(-)=1(-)2=1-=12-2,a=.参考数据:=15xIyI=39 200,=152=34 600,=152=50 250,265.10,25015.81.3.条件创新,12 分某企业销售部门为了解员工的销售能力,按性别利用分层抽样的方法从该部门现有员工中(其中男生占比为 45%)随机抽取 n 名进行问卷调查,并将得分分为 1,2,3,4,5 五个档次,各档次中参与问卷调查的员工人数如条形图 8-1 所示.已知第 5 档的员工人数占总人数的15.图 8-1(1)若
4、将某员工得分所在的档次作为该员工销售的能力基数 x0(记能力基数 x0=5 为能力基数高,其他均为能力基数不高),在能力基数为 5 的员工中,女生与男生的比例为 73,以抽取的 n 名员工为研究对象,完成下面的 22 列联表,并判断是否有 90%的把握认为能力基数高低与性别有关.男生 女生 合计 能力基数高 能力基数不高 合计 (2)为提高员工认知并调动员工自主学习的积极性,部门组织员工参加各种形式的培训讲座.已知每位员工的销售能力指数 y、能力基数 x0以及参加培训的次数 t 满足函数关系式 y=x0+(1+x0)(1+e15),如果员工甲的能力基数为 4,员工乙的能力基数为 2,则在甲不参
5、加培训的情况下,乙至少参加多少次培训,其销售能力指数超过甲?参考数据及参考公式:ln 31.099,K2=(-)2(+)(+)(+)(+),n=a+b+c+d.P(K2k0)0.15 0.10 0.05 0.01 k0 2.072 2.706 3.841 6.635 4.2021 湖南省六校联考,12 分随着城市规模的扩大和人们生活水平的日益提高,某市近年机动车保有量逐年递增.根据机动车管理部门的统计数据,以 5 年为一个研究周期,得到机动车每 5 年纯增数量(单位:万辆)的情况如下表.年度周期 19952000 20002005 20052010 20102015 20152020 时间变量
6、 xI 1 2 3 4 5 纯增数量 yI/万辆 3 6 9 15 27 其中 i=1,2,3,时间变量 xI对应的机动车纯增数量为 yI,且通过数据分析得到时间变量 x 与对应的机动车纯增数量 y(单位:万辆)具有线性相关关系.(1)求机动车纯增数量 y 关于时间变量 x 的回归方程,并预测 20252030 年间该市机动车纯增数量的值;(2)该市交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况,随机采访了 220 名市民,将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计,得到的 22 列联表如下表.赞同限行 不赞同限行 合计 没有私家车 90 20 110 有私家车 70 40 110 合计
7、160 60 220 根据列联表判断,能否有 99%的把握认为对限行是否赞同与拥有私家车有关?附:回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=1(-)(-)=1(-)2=1-=12-2,a=-.K2=(-)2(+)(+)(+)(+),n=a+b+c+d.P(K2k)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 答 案 解题思维 8 高考中概率、统计解答题的提分策略 1.(1)甲=87+88+91+91+935=90,乙=86+87+91+92+945=90,(2 分
8、)甲2=15(87-90)2+(88-90)2+(91-90)2+(91-90)2+(93-90)2=245,(4 分)乙2=15(86-90)2+(87-90)2+(91-90)2+(92-90)2+(94-90)2=465.(6 分)(2)从乙单位 5 名职工的成绩中抽取 2 名职工的成绩,所包含的基本事件有86,87,86,91,86,92,86,94,87,91,87,92,87,94,91,92,91,94,92,94,共 10 个.(8 分)设“从乙单位抽取的 2 名职工的成绩差至少是 4 分”为事件 M,则 M 所包含的基本事件有86,91,86,92,86,94,87,91,8
9、7,92,87,94,共 6 个.(10 分)所以 P(M)=610=35,即从乙单位抽取的 2 名职工的成绩差至少是 4 分的概率为35.(12 分)2.(1)=15(110+100+80+60+50)=80,=15(90+95+100+105+110)=100,r=15xiyi-5xy(i=152-5 2)(=152-5 2)=39200580100(34600-5802)(50250-51002)=-8002600250-0.99,所以 y 关于 x 之间具有较强的负相关关系.(4 分)(2)=15-5=152-5 2=39200580100346005802=-8002600-0.31
10、,a=100+0.3180=124.8.所以 y 关于 x 的线性回归方程为y=-0.31x+124.8.当 x=40 时,y=-0.3140+124.8=112.4112.所以估计当 PM 2.5 的值为 40 时该公园中参加室外锻炼的人数为 112 人.(8 分)(3)易知五个点中,只有点(80,100)(记为点 A)在圆上,其余四个点(分别记为点 B,C,D,E)都在圆外,所以从这五个点中任意抽取两个点,基本事件有A,B,A,C,A,D,A,E,B,C,B,D,B,E,C,D,C,E,D,E,共 10 个.两个点都在圆外包含的基本事件为B,C,B,D,B,E,C,D,C,E,D,E,共
11、6 个.所以所求概率 P=610=35.(12 分)3.(1)由已知及条形图,可得1(8+16+22+34)=115,得 n=100,(2 分)补全 22 列联表如下表所示.男生 女生 合计 能力基数高 6 14 20 能力基数不高 39 41 80 合计 45 55 100(4 分)K2的观测值 k=100(641-3914)2455580202.27314,即e153,(9 分)15ln 3,t15ln 3,t16.485,(11 分)所以乙至少参加 17 次培训,其销售能力指数超过甲.(12 分)4.(1)由机动车的纯增数量表可知 =15(1+2+3+4+5)=3,=15(3+6+9+1
12、5+27)=12,=15xiyi=1 3+2 6+3 9+4 15+5 27=237,(2 分)所以b=15-5=152-52=2375312(12+22+32+42+52)-532=575545=5.7,(4 分)因为回归直线y=x+a过样本点的中心(x,y),所以 12=5.73+a,解得a=-5.1,所以y=5.7x-5.1.(6 分)当年度周期为 20252030 时,x=7,所以y=5.77-5.1=34.8,所以 20252030 年间该市机动车约纯增 34.8 万辆.(8 分)(2)根据列联表,计算得 K2的观测值 k=220(90402070)211011016060=556 9.167,(10 分)因为 9.1676.635,所以有 99%的把握认为对限行是否赞同与拥有私家车有关.(12 分)
