1、动态综合型问题一、选择题1、（2022年湖北荆州模拟题）如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿ABC和ADC的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0x8）之间函数关系可以用图象表示为（）ABCD答案：2（2022年北京房山区一模）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是ADCBA,设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y.则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是第1题图答案：B第2题图3（2022年北京顺义区一模）如图， AB为半圆的直径， 点
2、P为AB上一动点，动点P从点A出发，沿AB匀速运动到点B，运动时间为，分别以AP和PB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图象大致为A B C D答案：D4、(2022年安徽省模拟六)如图所示，矩形ABCD的长、宽分别为8cm和4cm，点E、F分别在AB、BC上，且均从点B开始，以1cm/s的速度向BAD和BCD的方向运动，到达D点停止.则线段EF的长ycm关于时间ts函数的大致图象是【 】第1题图答案：A5、(2022年湖北荆州模拟6)如图，已知A、B是反比例函数（k0，x0）图象上的两点，BCx轴，交y轴于点C动点P从坐标原点O出发，沿OABC匀速运动，终点为C过点P作P
3、Mx轴，PNy轴，垂足分别为M、N设四边形OMPN的面积为S，点P运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致为（）第2题图A B C D答案：A6、(2022年广东省佛山市模拟)如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为（ ）图4图7stOAstOBstOCstOD答案：A7、（2022浙江台州二模）9如图，已知RtABC的直角边AC=24，斜边AB=25，一个以点P为圆心、半径为1的圆在ABC内部沿顺时针方向滚动，且运动过程中P一直保持与ABC的边相切，当点P第一次回到
4、（第1题）它的初始位置时所经过路径的长度是（ ）A. B. 25 C. D. 56【答案】C8、（2022年杭州拱墅区一模）如图，在ABC中，已知C=90，ACBC4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AECF，连接DE、DF、EF在此运动变化的过程中，有下列结论：四边形CEDF有可能成为正方形；DFE是等腰直角三角形；四边形CEDF的面积是定值；点C到线段EF的最大距离为其中正确的结论是（ ）A B C D答案：D 二、填空题第1题图1、(2022年湖北荆州模拟6)如图，在等腰梯形ABCD中，ABCD，BC=4，AD=，B=45，直角三角板含45
5、角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F，若ABE为等腰三角形，则CF= . 答案： 2.5或3或点出发，以1cm/s的速度沿着ABCD的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止已知PAD的面积S（单位：cm2）与点P移动的时间（单位：s）的函数如图所示，则点P从开始移动到停止移动一共用了 秒（结果保留根号） 第15题图【答案】（4+2）2、(2022年广东省佛山市模拟)如图ABC中，ACB90，BC6 cm，AC8cm，动点P从A出发，以2 cm / s的速度沿AB移动到B，则点P出发 s时，BCP为等腰三角形（原创） PCBA答案： 2，25，14ACFDEB3（2
6、022郑州外国语预测卷）如图在平行四边形ABCD中，点E在CD边上运动（不与C、D两点重合），连接AE并延长与BC的延长线交于点F。连接BE、DF，若BCE的面积是8，则DEF的面积为 .答案：84（2022宁波五校联考一模）如图，已知ABC90，ABr，BC，半径为r的O从点A出发，沿ABC方向滚动到点C时停止，则圆心O运动的路程是 答案：2r5. （2022宁波五校联考二模）已知：定点A（3，2），动点M在函数的图象上运动，动点N在轴上运动，则的周长的最小值为 答案： 6. （2022上海黄浦二摸）如图，圆心O恰好为正方形ABCD的中心，已知，O的直径为1.现将O沿某一方向平移，当它与正方
7、形ABCD的某条边相切时停止平移，记此时平移的距离为，则的取值范围是 .ABCDO答案： 三、解答题AEDBC1、（2022年安徽凤阳模拟题三）如图，在中，若动点从点出发，沿线段运动到点为止，运动速度为每秒2个单位长度过点作交于点，设动点运动的时间为秒，的长为(1)求出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)当为何值时，的面积有最大值，最大值为多少？解：（1），（2分）又，（5分）自变量的取值范围为（5分）（2）S（8分）当时，有最大值，且最大值为（10分）（或用顶点公式求最大值）2. （2022年安徽凤阳模拟题三） 两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中A=60，AC=1
8、. 固定ABC不动，将DEF进行如下操作： (1) 如图DEF沿线段AB向右平移(即D点在线段AB内移动)，连结DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积.ABEFCD温馨提示：由平移性质可得CFAD，CF=AD (2)如图，当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由.ABEFCD (3)如图，DEF的D点固定在AB的中点，然后绕D点按顺时针方向旋转DEF，使DF落在AB边上，此时F点恰好与B点重合，连结AE，请你求出sin的值.AB(E)(F)CDE(F)解：(1)过C点作CGAB于G，ABEFCDG在RtAGC中，sin60=，
9、1分AB=2，S梯形CDBF=SABC=3分(2)菱形5分 CDBF， FCBD，四边形CDBF是平行四边形6分 DFAC，ACD=90，CBDF7分 四边形CDBF是菱形8分(判断四边形CDBF是平行四边形，并证明正确，记2分)(3)解法一：过D点作DHAE于H，则SADE=8分 又SADE=，10分 在RtDHE中，sin=12分 解法二：ADHABE8分 即：10分 sin=12分AB(E)(F)CDE(F)H3（2022年北京顺义区一模）如图1，将三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合三角板的一边交于点，另一边交的延长线于点（1）求证：；（2）如图2，移动三角板，使顶
10、点始终在正方形的对角线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）如图3，将（2）中的“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点，其他条件不变，若，求的值答案：（1）证明：又 2分（2）成立.证明：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为则 4分（3）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，则 5分 7分图14（2022年北京平谷区一模）如图1，在直角坐标系中，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，以线段BC为边向上作正方形ABCD. （1）点C的坐标为（ ），点D的坐标为（ ）；（2）若抛物线经过C、D两点，求该抛物线的解析式；（3）若正方
11、形以每秒个单位长度的速度沿射线BA向上平移，直至正方形的顶点C落在轴上时，正方形停止运动. 在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为，求关于平移时间（秒）的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围.答案：解：（1）C（3，2），D（1，3）2分（2）抛物线经过（1，3）、（3，2），则 解得 .3分（3）当点D运动到y轴上时，t=. .4分图1当0t时，如图1设DA交y轴于点E.tanBAO=2,又BAO=EAAtanEAA=2, 即=2AA=, EA=.SEAA=AAEA=tt=5 t25分当点B运动到点A时，t=1.6分图2当t1时，如图2设DC交y轴于点G，过G作GHAB于H.在Rt
12、AOB中，AB= GH=,AH=GH= AA=t,HA=t,GD=t . S梯形AADG=(t+t) =5t7分当点C运动到y轴上时，t=. 当1t时，如右图所示设CD、CB分别交y轴于点M、NAA=t，AB=,AB=t,BN=2AB=tBC=,CN=BCBN=t=CN=(t)=(t)(t)=5t215t+ S五边形BADMN=S正方形BADCSMNC=(5t215t+)=5t2+15t综上所述，S与x的函数关系式为：当0t时, S=5当t1时，S=5t当1t时，S=5t2+15t.8分 5、(2022年安徽省模拟六)如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C
13、，点B是该半圆周上的一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DBAB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF.（1）当AOB30时，求弧AB的长；（2）当DE8时，求线段EF的长；第1题图（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由.答案：（1）连结BC,A（10，0）, OA=10 ,CA=5, AOB=30, ACB=2AOB=60,弧AB的长=; （4分）（2）连结OD, OA是C直径, OBA=90, 又AB=BD, OB是AD的垂直平分线,OD=OA=10, 在RtOD
14、E中， OE=,AE=AOOE=106=4,由 AOB=ADE=90OAB，OEF=DEA，得OEFDEA,即，EF=3； （8分）（3）设OE=x，当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与AOB相似，有ECF=BOA或ECF=OAB，当ECF=BOA时，此时OCF为等腰三角形，点E为OC中点，即OE=，E1（，0）；当ECF=OAB时，有CE=5x, AE=10x，CFAB,有CF=,ECFEAD,即,解得：, E2（，0）;当交点E在点C的右侧时，ECFBOA，要使ECF与BAO相似，只能使ECF=BAO，连结BE，BE为RtADE斜边上的中线，BE=AB=BD,BEA=B
15、AO,BEA=ECF,CFBE, ,ECF=BAO, FEC=DEA=Rt， CEFAED, ,而AD=2BE, ,即, 解得, 0（舍去），E3（，0）;当交点E在点O的左侧时，BOA=EOFECF .要使ECF与BAO相似，只能使ECF=BAO 连结BE，得BE=AB，BEA=BAO ECF=BEA, CFBE, 又ECF=BAO, FEC=DEA=Rt， CEFAED, ，而AD=2BE, , , 解得, 0（舍去）,点E在x轴负半轴上, E4（，0）,综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与AOB相似,此时点E坐标为：（，0）、（，0）、（，0）、（，0）（14分）6、(2022年
16、安徽省模拟八)如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿轴的正方向运动，M是线段AC的中点将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转，得到线段AB过点B作轴的垂线，垂足为E，过点C作轴的垂线，交直线BE于点D，运动时间为秒（1）当点B与点D重合时，求的值；（2）设BCD的面积为S，当为何值时，?（3）连接MB，当MBOA时，如果抛物线的顶点在ABM内部（不包括边），求a的取值范围 yxOC备用图yxOABCMD第2题E答案：（1），RtCAORtABE，（2）由RtCAORtABE可知：，yxOCx5ABD第2题解答图E当08时，当8时，（为负数
17、，舍去）当或时，（3）如图，过M作MN轴于N，则当MBOA时，抛物线的顶点坐标为（5，）它的顶点在直线上移动直线交MB于点（5，2），交AB于点（5，1）127、(2022年湖北荆州模拟5)（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）. 已知点坐标为（，）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D， 如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，PAC的面积最大？并求出此时P点的坐
18、标和PAC的最大面积.第3题图答案：（1）解：设抛物线为.抛物线经过点（0，3），.抛物线为. (2)与相交. 证明：当时，. 为（2，0），为（6，0）.设与相切于点，连接，则.，.又，.抛物线的对称轴为，点到的距离为2.抛物线的对称轴与相交. (3) 解：如图，过点作平行于轴的直线交于点.可求出的解析式为.设点的坐标为（，），则点的坐标为（，）. . , 当时，的面积最大为. 此时，点的坐标为（3，）.8.(2022年湖北荆州模拟6)（本题满分12分）在梯形ABCD中，ADBC，BAAC，B = 450，AD = 2，BC = 6，以BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点A在
19、y轴上.（3） 求过A、D、C三点的抛物线的解析式；（4） 求ADC的外接圆的圆心M的坐标，并求M的半径；（5） E为抛物线对称轴上一点，F为y轴上一点，求当EDECFDFC最小时，EF的长；（6） 设Q为射线CB上任意一点，点P为对称轴左侧抛物线上任意一点，问是否存在这样的点P、Q，使得以P、Q、C为顶点的三角形与ADC相似？若存在，直接写出点P、Q的坐标，若不存在，则说明理由.第4题图答案：解：（1）由题意知C（3, 0）、A（0, 3）。过D作x轴垂线，由矩形性质得D（2, 3）。由抛物线的对称性可知抛物线与x轴另一交点为（1，0）.设抛物线的解析式为y=a（x1）（x3）.将（0， 3
20、）代入得a = 1，所以y=x22x3.（2）由外接圆知识知M为对称轴与AC中垂线的交点.由等腰直角三角形性质得OM平分AOC,即yOM = x， M（1,1）.连MC得MC = ，即半径为。（3）由对称性可知：当EDECFDFC最小时，E为对称轴与AC交点，F为BD与y轴交点，易求F（0,）、E（1,2） EF = .（4）可得ADC中，AD = 2，AC = ，DC = .假设存在，显然QCP0）秒（1）求线段AC的长度；（2）当点Q从B点向A点运动时（未到达A点），求APQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l： 当l经过点
21、A时，射线QP交AD于点E，求AE的长；当l经过点B时，求t的值【答案】解：（1）在矩形ABCD中，2分（2）如图，过点P作PHAB于点H，AP=t，AQ =3t，由AHPABC，得，PH=，2分，2分.1分图(3) 如图，线段PQ的垂直平分线为l经过点A，则AP=AQ，即3t=t，t=1.5，AP=AQ=1.5，1分延长QP交AD于点E，过点Q作QOAD交AC于点O，则，PO=AOAP=1 由APEOPQ，得2分（）如图，当点Q从B向A运动时l经过点B，BQCPAPt，QBPQAP QBPPBC90，QAPPCB90PBCPCB CPBPAPt CPAPAC52.5t2.5 2分（）如图，当
22、点Q从A向B运动时l经过点B，BPBQ3（t3）6t，APt，PC5t，过点P作PGCB于点G由PGCABC，得,BG4=由勾股定理得，即 ，解得2分16、（2022山东德州特长展示）（本小题满分12分）已知：如图，在RtABC中，ACB=90，BC=3 ，tanBAC=，将ABC对折，使点C的对应点H恰好落在直线AB上，折痕交AC于点O，以点O为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系（1）求过A、B、O三点的抛物线解析式；（2）若在线段AB上有一动点P，过P点作x轴的垂线，交抛物线于M，设PM的长度等于d，试探究d有无最大值，如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由（3）若在抛物线
23、上有一点E，在对称轴上有一点F，且以O、A、E、F为顶点的四边形为平行四边形，试求出点E的坐标BACOHxy解：（1）在RtABC 中，BC=3 ，tanBAC=，AC=4AB=设OC=m，连接OH，如图，由对称性知，OH=OC=m，BH=BC=3，BHO=BCO=90，AH=ABBH=2，OA=4m在RtAOH 中， OH2+AH2=OA2，即m2+22=(4m)2，得 m=OC=，OA=ACOC=，O（0，0） A（，0），B（，3）2分设过A、B、O三点的抛物线的解析式为：y=ax（x）把x=，y=3代入解析式，得a=y=x（x）= 即过A、B、O三点的抛物线的解析式为y=4分（2）设直
24、线AB的解析式为y=kx+b，根据题意得： 解之得 k= ，b=直线AB的解析式为y=6分设动点P（t，），则M（t，）7分d=（）（）= 当t=时，d有最大值，最大值为28分yBACOHxE2E1E3D(3)设抛物线y=的顶点为Dy=，抛物线的对称轴x=，顶点D（，）根据抛物线的对称性，A、O两点关于对称轴对称 当AO为平行四边形的对角线时，抛物线的顶点D以及点D关于x轴对称的点F与A、O四点为顶点的四边形一定是平行四边形这时点D即为点E，所以E点坐标为（）10分 当AO为平行四边形的边时，由OA=，知抛物线存在点E的横坐标为或，即或，分别把x=和x=代入二次函数解析式y=中，得点E（，）或
25、E（，）所以在抛物线上存在三个点：E1（，），E2（，），E3（，），使以O、A、E、F为顶点的四边形为平行四边形12分17、(2022年福州市初中毕业班质量检查) (12分)如图，RtABC中，C90，ACBC8，DE2，线段DE在AC边上运动(端点D从点A开始)，速度为每秒1个单位，当端点E到达点C时运动停止F为DE中点，MFDE交AB于点M，MNAC交BC于点N，连接DM、ME、EN设运动时间为t秒 (1) 求证：四边形MFCN是矩形； (2) 设四边形DENM的面积为S，求S关于t的函数解析式；当S取最大值时，求t的值； (3) 在运动过程中，若以E、M、N为顶点的三角形与DEM相似，
26、求t的值ABCDEMFN备用图(1) 证明：MFAC，MFC90 1分MNAC，MFCFMN180FMN90 2分C90，四边形MFCN是矩形 3分(若先证明四边形MFCN是平行四边形，得2分，再证明它是矩形，得3分)(2) 解：当运动时间为t秒时，ADt，F为DE的中点，DE2，DFEFDE1AFt1，FC8(t1)7tABCDEMFN四边形MFCN是矩形，MNFC7t 4分又ACBC，C90，A45在RtAMF中，MFAFt1， 5分SSMDE SMNE DEMFMNMF2(t1) (7t)(t1)t24t 6分St24t(t4)2当t4时，S有最大值 7分(若面积S用梯形面积公式求不扣分
27、)(3) 解：MNAC，NMEDEM 8分 当NMEDEM时， 9分1，解得：t5 10分 当EMNDEM时， 11分EM2NMDE在RtMEF中，ME2EF2MF21(t1)2，1(t1)22(7t)解得：t12，t26(不合题意，舍去)综上所述，当t为2秒或5秒时，以E、M、N为顶点的三角形与DEM相似 12分18、（2022河南沁阳市九年级第一次质量检测）（11分）以原点为圆心,为半径的圆分别交、轴的正半轴于A、B两点,点P的坐标为.(1)如图一，动点Q从点B处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动一周,设经过的时间为t秒，当时，直线PQ恰好与O第一次相切，连接OQ.求此时点Q的运动速度（结果
28、保留）；(2)若点Q按照中的方向和速度继续运动，为何值时，以O、P、Q为顶点的三角形是直角三角形；在的条件下，如果直线PQ与O相交，请求出直线PQ被O所截的弦长.（补充说明：直角三角形中，如果一条直角边长等于斜边长的一半，那么这条直角边所对的角等于30.）解：（1）连接OQ，则OQPQOQ=1，OP=2，所以，可得 所以点Q的运动速度为/秒. 3分(2)由（1）可知，当t=1时， OPQ为直角三角形所以，当Q与Q关于x轴对称时，OPQ为直角三角形此时， 当Q(0，-1)或Q(0，1)时， 此时或即当，或时，OPQ是直角三角形. 7分当或时，直线PQ与O相交.作OMPQ，根据等面积法可知：PQO
29、M=OQOPPQ= QM 弦长. 11分19、（2022年湖北省武汉市中考全真模拟）(本题满分10分) 如图，在RtABC中，C=90，AC=3，BC=4，P为边AC上一个点（可以包括点C但不包括点A），以P为圆心PA为半径作P交AB于点D，过点D作P的切线交边BC于点E.（1）求证：BE=DE；（2）若PA=1，求BE的长；（3）在P点的运动过程中，请直接写出线段BE长度的取值范围为 .、 证：连接PD.DE切O于D.PDDE.BDE+PDA=90.C=90. B+A=90.PD=PA. PDA=A.B=BDE.BE=DE 连PE,设DE=BE=X,则EC=4-X.PA=PD=1,AC=3.
30、PC=2.PDE=C=90 ED+PD=EC+CP=PE.x+1=(4-x) +2.解得x=.BE= BC20、（2022年湖北省武汉市中考全真模拟）（本题满分12分）如图1，抛物线：与直线AB：交于x轴上的一点A，和另一点B(3，n)(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线上的一个动点（点P在A，B两点之间，但不包括A，B两点），PMAB于点M，PNy轴交AB于点N，在点P的运动过程中，存在某一位置，使得PMN的周长最大，求此时P点的坐标，并求PMN周长的最大值；(3)如图2，将抛物线绕顶点旋转180后，再作适当平移得到抛物线，已知抛物线的顶点E在第四象限的抛物线上，且抛物线与抛物线交于点
31、D，过D点作轴的平行线交抛物线于点F，过E点作轴的平行线交抛物线于点G，是否存在这样的抛物线，使得四边形DFEG为菱形？若存在，请求E点的横坐标；若不存在请说明理由 、解：由题意得：A(-1,0)、B(3,2) 解得:抛物线的解析式为y=-x+x+2 设AB交y轴于D，则D（0，），OA=1，OD=，AD=，=， PNy轴, PNM=CDN=ADO, RtADORtPNM.=PN=PN. 当PN取最大值时, 取最大值. 设P(m, -m+m+2) N(m, m+).则PN=-m+m+2-(m+)=-m+m+. -1m3. 当m=1时,PN取最大值. PNM周长的最大值为2=.此时P(1,3).
32、 设E(n,t),由题意得:抛物线为：y=-(x-)+,为：y=(x-n) +t. E在抛物线上，t=-(n-)+.四边形DFEG为菱形. DF=FE=EG=DG连ED,由抛物线的对称性可知,ED=EF.DEG与DEF均为正三角形.D为抛物线的顶点.D(,).DFx轴,且D、F关于直线x=n对称.DF=2（n-）.DEF为正三角形.-=2(n-).解得：n=.t=-.存在点E，坐标为E(,-).21（2022郑州外国语预测卷）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，等腰直角ABC中，AB=AC，BAC=90，小敏将一块三角板中含45角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角，
33、其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E（1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分BAM，则AE也平分MAC请你证明小敏发现的结论；（2）当045时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：小颖的想法：将ABD沿AD所在的直线对折得到ADF，连接EF（如图2）；小亮的想法：将ABD绕点A顺时针旋转90得到ACG，连接EG（如图3）；请你从中任选一种方法进行证明；（3）小敏继续旋转三角板，在探究中得出当45135且90时，等量关系BD2+CE2=DE
34、2仍然成立，先请你继续研究：当135180时（如图4），等量关系BD2+CE2=DE2是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由答案：解：（1）证明：BAC90，DAEDAMMAE45，BADEAC45。 又AD平分MAB，BADDAM。MAEEAC。 AE平分MAC。 （2）证明小颖的方法： 将ABD沿AD所在的直线对折得到ADF， AFAB，AFDB45，BADFAD。 又AC=AB，AFAC。 由（1）知，FAECAE。 在AEF和AEC中，AF AC，FAECAE，AEAE， AEFAEC（SAS）。CEFE，AFEC45。 DFEAFD AFE90。 在RtOCE中，DE2F
35、E2DE2，BD2CE2DE2。（3）当135180时，等量关系BD2CE2DE2仍然成立。证明如下： 如图，按小颖的方法作图，设AB与EF相交于点G。 将ABD沿AD所在的直线对折得到ADF， AFAB，AFDABC45，BADFAD。 又AC=AB，AFAC。 又CAE900BAE900（45BAD）45BAD45FADFAE。在AEF和AEC中，AF AC，FAECAE，AEAE， AEFAEC（SAS）。CEFE，AFEC45。又在AGF和BGE中，ABCAFE45，AGFBGE，FAGBEG。又FDEDEF=FDEFAG（ADBDAB）ABC90。DFE90。在RtOCE中，DE2F
36、E2DE2，BD2CE2DE2。22. （2022江西饶鹰中考模拟）某校九年级（1）班数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，在等腰直角ABC中，ABAC，BAC90，小明将一块直角三角板的直角顶点放在斜边边的中点上，从BC边开始绕点A顺时针旋转，其中三角板两条直角边所在的直线分别AB、AC于点E、F（1）小明在旋转中发现：在图1中，线段与相等。请你证明小明发现的结论；（2）小明将一块三角板中含45角的顶点放在点A上，从BC边开始绕点A顺时针旋转一个角，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E当0 45时，小明在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如
37、下等量关系：BD 2CE 2DE 2同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：小颖的方法：将ABD沿AD所在的直线对折得到ADF，连接EF（如图2）；小亮的方法：将ABD绕点A逆时针旋转90得到ACG，连接EG（如图3）请你从中任选一种方法进行证明；AOBEFABCDEG图3ABCDEF图2（3）小明继续旋转三角板，在探究中得出：当45 135且90时，等量关系BD 2CE 2DE 2仍然成立现请你继续探究：当135 180时（如图4），等量关系BD 2CE 2DE 2是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由ABC图4答案：（1）连接AO. ABC=90,AB=AC且O是BC
38、的中点，AO=BO, OAE=C=45 AOE+AOF=AOF+COF =90,AOE= COF, AOECOF, AE=CF（2）证明小颖的方法：将ABD沿AD所在的直线对折得到ADF，AFAB，AFDB45，BADFAD。又AC=AB，AFAC。由（1）知，FAECAE。在AEF和AEC中，AF AC，FAECAE，AEAE，AEFAEC（SAS）。CEFE，AFEC45。DFEAFD AFE90。在RtOCE中，DE2FE2DE2，BD2CE2DE2。（3）当135180时，等量关系BD2CE2DE2仍然成立。证明如下：如图，按小颖的方法作图，设AB与EF相交于点G。将ABD沿AD所在的
39、直线对折得到ADF，AFAB，AFDABC45，BADFAD。又AC=AB，AFAC。又CAE900BAE900（45BAD）45BAD45FADFAE。在AEF和AEC中，AF AC，FAECAE，AEAE，AEFAEC（SAS）。CEFE，AFEC45。又在AGF和BGE中，ABCAFE45，AGFBGE，FAGBEG。又FDEDEF=FDEFAG（ADBDAB）ABC90。DFE90。在RtOCE中，DE2FE2DE2，BD2CE2DE2。23、（2022年广西梧州地区一模）如图，在ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，点在边BA上以每秒2个单位的速度由B向A移动，过E作EFBC交A
40、C于F，再过F作FDAB交BC于D，设E移动的时间为x(秒), EF为 y. 求y与x之间的函数关系式. 当x= 时，四边形BDFE是菱形.（3）设四边形BDFE的面积为S，求S与x之间的函数关系式；并求E在AB边上何处时，四边形BDFE的面积最大？最大面积是多少？解：（1）EFBC AEFABC 3分 （2） 5分（3）在ABC中AB=6，AC=8，BC=10AB2+AC2=BC2BAC=90作EGBD于G在ABC和GBE中ABC=GBEBAC=BGEABCGBE 8分 = 10分当x=1.5时，S的最大值为12 此时2x=3 当点E在AB的中点时，四边形BDEF的面积最大，最大面积值为12
41、 12分24（2022年杭州拱墅区一模）如图，在R tAOB中，已知AO6，BO8，点E从A点出发，向O点移动，同时点F从O点出发沿OBBA向点A移动，点E的速度为每秒1个单位，点F的速度为每秒3个单位，当其中一点到达终点时，另一点随即停止移动. 设移动时间为x秒：（1）当x2时，求AEF的面积；（2）当EFBO时，求x的值；（3）设AEF的面积为y，求出y关于x的函数关系式.（1）当x2时，AE2，OF6，SAPQ6-3分（2）R tAOB中，已知AO6，BO8，AB10 当EFBO时，AEFABO，解得-3分（3）当F与B重合时，分两段讨论：0x时，F在OB上移动，-3分（含x范围1分，如
42、果没有分段，应写出取值范围）x6时，过F作OA的垂线FH，则FHOB， 则即， FH-3分（含x范围1分，如果没有分段，应写出取值范围）25、（2022年湖北武汉模拟）（本题满分10分）已知：四边形 为正方形，为延长线上的一点，为直线上的一动点， 过点E作直线，分别交直线CD和直线AB于M、N两点.（1）如图1，当tanCDP=，E为PD的中点时，= ； （2）如图2，当E点在DP的延长线上，且 tanCDP=，时，求的值；（3）如图3，若E点在PD的延长线上， MNPE于E，在EN上截取EG=ED试问：DMPB与 MNMG有何种数量关系？为什么？答案：24、（1）（提示：过作直线平行于，分别
43、交、于点，） ；（2）同（1）的方法可得：=（3）DMPB=MNMG.证明提示：连结BD，证PD=MN，证PBDMDG，26(2022年江苏无锡崇安一模）（本题满分10分）如图，ABC中，C90，AC3，BC4. 点D从C点出发沿射线CA以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时点E从A点出发沿AB以每秒1个单位长度的速度向B点匀速运动，当点E到达B点时D、E都停止运动点M是DE的中点，直线MNDE交直线BC于点N，点M 与M点关于直线BC对称点D、E的运动时间为t（秒）（1）当t1时，AD_，ADE的面积为 ；（2）设四边形BCDE的面积为S，当0t3时，求S与t的函数关系式；（3）当直线MN与ABC的一边垂直时，求t的值；（4）当MNM 为等腰直角三角形时，直接写出t的值ACBNMEDM答案：28（共10分）（1）2， (2分) （2）当0t3时，AEt，AD3t (3分) St(3t)t2t(4分)（3）由MNDE，若直线MN与ABC的一边垂直，则有3种情形：DEBC，此时MNBC，DEAC，由tt3，解得t (5分)当t0时，MNAC；当t3时，DE在AB上，MNAB. (6分)（4）当0t3时，如图1，ttt3，得t(8分)当3t5时，如图2，ttt3，得t (10分)42
