1、一元二次方程（2022郴州）已知关于x的一元二次方程x2+bx+b1=0有两个相等的实数根，则b的值是2考点：根的判别式专题：计算题分析：根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式的值等于0，即可求出b的值解答：解：根据题意得：=b24（b1）=（b2）2=0，则b的值为2故答案为：2点评：此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根（2022衡阳）某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（）A168（1+x）2
2、=128B168（1x）2=128C168（12x）=128D168（1x2）=128考点：由实际问题抽象出一元二次方程专题：增长率问题分析：设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1降价的百分率），则第一次降价后的价格是168（1x），第二次后的价格是168（1x）2，据此即可列方程求解解答：解：根据题意得：168（1x）2=128，故选B点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可（2022，娄底）已知：一元二次方程.（1）求证：不论为何实数时，此方程总有两个实数根；（2）设，当二次函
3、数的图象与轴的两个交点、间的距离为4时，求此二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为，过轴上一点作轴的垂线，当为何值时，直线与的外接圆有公共点？（2022，永州）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于.若我们规定一个新数“”,使其满足（即方程有一个根为）。并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有,从而对于任意正整数,我们可以得到, 同理可得 , , .那么的值为( )A. 0 B. C. D. 方程x29x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为15考点：解一元二次方程-因式分解法；三
4、角形三边关系；等腰三角形的性质245761 专题：计算题；分类讨论分析：求出方程的解，分为两种情况：当等腰三角形的三边是3，3，6时，当等腰三角形的三边是3，6，6时，看看是否符合三角形的三边关系定理，若符合求出即可解答：解：x29x+18=0，（x3）（x6）=0，x3=0，x6=0，x1=3，x2=6，当等腰三角形的三边是3，3，6时，3+3=6，不符合三角形的三边关系定理，此时不能组成三角形，当等腰三角形的三边是3，6，6时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是3+6+6=15，故答案为：15点评：本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系定理，等腰三角形的性质的应用，关键是确定三角形的
5、三边的长度，用的数学思想是分类讨论思想（2022广东）某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元求3月份到5月份营业额的月平均增长率考点：一元二次方程的应用245761 专题：增长率问题分析：本题是平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量如果设平均增长率为x，那么结合到本题中a就是400（1+10%），即3月份的营业额，b就是633.6万元即5月份的营业额由此可求出x的值解答：解：设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，根据题意得，400（1+10%）（1+x）2=633.6，解
6、得，x1=0.2=20%，x2=2.2（不合题意舍去）答：3月份到5月份营业额的月平均增长率为20%点评：本题考查求平均变化率的方法若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1x）2=b（当增长时中间的“”号选“+”，当降低时中间的“”号选“”）（2022，成都）一元二次方程x2+x-2=0的根的情况是（ ）（A）有两个不相等的实数根 （B）有两个相等的实数根 （C）只有一个实数根 （D）没有实数根（2022达州）若方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（）答案：B解析：因为方程有两个不相等的实数根，所以，3612m0，得m3，故
7、选B（2022达州）今年，6月12日为端午节。在端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为2元的粽子的销售情况。请根据小丽提供的信息，解答小华和小明提出的问题。（1）小华的问题解答：解析：（1）解：设实现每天800元利润的定价为x元/个，根据题意，得（x-2)（500-10）=800 .(2分）整理得：x2-10x+24=0.解之得：x1=4,x2=6.(3分）物价局规定，售价不能超过进价的240%，即2240%=4.8（元）.x2=6不合题意,舍去,得x=4.答：应定价4元/个，才可获得800元的利润.(4分）（2）解：设每天利润为W元，定价为x元/个，得W=（x-2)(500-10)=-1
8、00x2+1000x-1600=-100(x-5)2+900.(6分）x5时W随x的增大而增大,且x4.8，当x=4.8 时，W最大，W最大=-100（4.8-5)2+900=896800 .(7分）故800元不是最大利润.当定价为4.8元/个时，每天利润最大.(8分）（2022广安）如果a3xby与a2ybx+1是同类项，则（）ABCD考点：解二元一次方程组；同类项专题：计算题分析：根据同类项的定义列出方程组，然后利用代入消元法求解即可解答：解：a3xby与a2ybx+1是同类项，代入得，3x=2（x+1），解得x=2，把x=2代入得，y=2+1=3，所以，方程组的解是故选D点评：本题考查的
9、是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单，根据同类项的“两同”列出方程组是解题的关键（2022广安）方程x23x+2=0的根是1或2考点：解一元二次方程-因式分解法专题：因式分解分析：由题已知的方程进行因式分解，将原式化为两式相乘的形式，再根据两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0，求出方程的解解答：解：因式分解得，（x1）（x2）=0，解得x1=1，x2=2点评：本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的
10、根，因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用（2022乐山）已知一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0 .(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5. 当ABC是等腰三角形时，求k的值.（2022泸州）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是A. B.且 C. 且 D. 且（2022泸州）设是方程的两个实数根，则的值为A.5 B.-5 C.1 D.-1（2022眉山）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、，则(+3)(+3)=_（2022绵阳）已知整数k5，若ABC的边长均满
11、足关于x的方程，则ABC的周长是 。（2022雅安）已知x1，x2是一元二次方程x22x=0的两根，则x1+x2的值是（）A0B2C2D4考点：根与系数的关系专题：计算题分析：利用根与系数的关系即可求出两根之和解答：解：x1，x2是一元二次方程x22x=0的两根，x1+x2=2故选B点评：此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键（2022宜宾）若关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）Ak1Bk1Ck=1Dk0考点：根的判别式分析：判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式=b24ac的值的符号就可以了解答：解：关于x的一元二次方程x
12、2+2x+k=0有两个不相等的实数根，a=1，b=2，c=k，=b24ac=2241k0，k1，故选：A点评：此题主要考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根（2022宜宾）某企业五月份的利润是25万元，预计七月份的利润将达到36万元设平均月增长率为x，根据题意所列方程是25（1+x）2=36考点：由实际问题抽象出一元二次方程专题：增长率问题分析：本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量（1+增长率），如果设这个增长率为x，根据“五月份的利润是25万元，预计七月份的利润将达到36万元”
13、，即可得出方程解答：解：设这个增长率为x，根据题意可得：25（1+x）2=36，故答案为：25（1+x）2=36点评：本题为增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量2022自贡）已知关于x的方程x2（a+b）x+ab1=0，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：x1x2；x1x2ab；则正确结论的序号是（填上你认为正确结论的所有序号）考点：根与系数的关系；根的判别式分析：（1）可以利用方程的判别式就可以判定是否正确；（2）根据两根之积就可以判定是否正确；（3）利用根与系数的关系可以求出x12+x22的值，然后也可以判定是否正确解答：解：
14、方程x2（a+b）x+ab1=0中，=（a+b）24（ab2）=（ab）2+40，x1x2故正确；x1x2=ab1ab，故正确；x1+x2=a+b，即（x1+x2）2=（a+b）2，x12+x22=（x1+x2）22x1x2=（a+b）22ab+2=a2+b2+2a2+b2，即x12+x22a2+b2故错误；综上所述，正确的结论序号是：故答案是：点评：本题考查的是一元二次方程根的情况与判别式的关系，及一元二次方程根与系数的关系，需同学们熟练掌握（2022自贡）用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0考点：解一元二次方程-配方法分析：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤
15、的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数解答：解：关于x的方程ax2+bx+c=0是一元二次方程，a0由原方程，得x2+x=，等式的两边都加上，得x2+x+=+，配方，得（x+）2=，开方，得x+=，解得x1=，x2=当b24ac0时，原方程无实数根点评：本题考查了配方法解一元二次方程用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方（2022鞍山）已知b0，关
16、于x的一元二次方程（x1）2=b的根的情况是（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C没有实数根D有两个实数根考点：解一元二次方程-直接开平方法分析：根据直接开平方法可得x1=，被开方数应该是非负数，故没有实数根解答：解：（x1）2=b中b0，没有实数根，故选：C点评：此题主要考查了解一元二次方程直接开平方法，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解（2022大连）若关于的方程x-x没有实数根，则实数的取值范围是( ).-4 .m-4 .m4 .M4（2022沈阳）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值方位是 _（20
17、22铁岭）如果三角形的两边长分别是方程x28x+15=0的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（）A5.5B5C4.5D4考点：三角形中位线定理；解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系分析：首先解方程求得三角形的两边长，则第三边的范围可以求得，进而得到三角形的周长l的范围，而连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长一定是l的一半，从而求得中点三角形的周长的范围，从而确定解答：解：解方程x28x+15=0得：x1=3，x2=5，则第三边c的范围是：2c8则三角形的周长l的范围是：10l16，连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长m的范围是：5m8故满足条件
18、的只有A故选A点评：本题考查了三角形的三边关系以及三角形的中位线的性质，理解原来的三角形与中点三角形周长之间的关系式关键（2022鄂州）下列计算正确的是（）Aa4a3=a12BC（x2+1）0=0D若x2=x，则x=1考点：解一元二次方程-因式分解法；算术平方根；同底数幂的乘法；零指数幂分析：A、同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；B、通过开平方可以求得的值；C、零指数幂：a0=1（a0）；D、先移项，然后通过提取公因式对等式的左边进行因式分解，然后解方程解答：解：A、a4a3=a（4+3）=a7故本选项错误；B、=|3|=3，故本选项正确；C、x2+10，（x2+1）0=1故本选项错误；D、
19、由题意知，x2x=x（x1）=0，则x=0或x=1故本选项错误故选B点评：本题综合考查了零指数幂、算术平方根、同底数幂的乘法以及解一元二次方程因式分解法注意，任何不为零的数的零次幂等于1（2022鄂州）已知m，n是关于x的一元二次方程x23x+a=0的两个解，若（m1）（n1）=6，则a的值为（）A10B4C4D10考点：根与系数的关系专题：计算题分析：利用根与系数的关系表示出m+n与mn，已知等式左边利用多项式乘多项式法则变形，将m+n与mn的值代入即可求出a的值解答：解：根据题意得：m+n=3，mn=a，（m1）（n1）=mn（m+n）+1=6，a3+1=6，解得：a=4故选C点评：此题考
20、查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键（2022黄冈）已知一元二次方程有一个根为2，则另一根为（ ）A.2 B.3 C.4 D.8（2022黄石）解方程： 解析：解：依题意 （2分） 由得 由得 将代入化简得（4分）即 代入得 原方程组的解为（2022荆门）设x1，x2是方程x2x2022=0的两实数根，则=2022考点：根与系数的关系；一元二次方程的解分析：由原方程可以得到x2=x+2022，x=x22022=0；然后根据一元二次方程解的定义知，x12=x1+2022，x1=x122022=0由根与系数的关系知x1+x2=1，所以将其代入变形后的所求代数式求值解答：解：x2
21、x2022=0，x2=x+2022，x=x22022=0又x1，x2是方程x2x2022=0的两实数根，x1+x2=1，=x1+2022x2+x22022，=x1（x1+2022）+2022x2+x22022，=（x1+2022）+2022x1+2022x2+x22022，=x1+x2+2022（x1+x2）+20222022，=1+2022，=2022，故答案是：2022点评：本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解的定义对所求代数式的变形是解答此题的难点（2022荆州）已知：关于x的方程kx2(3k1)x+2(k1)=0（1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根；（2）若此方程有两个实数
22、根x1，x2,且x1x2=2,求k的值.（2022潜江）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为A-1B. 9C. 23D. 27（2022十堰）已知关于x的一元二次方程x2+2xa=0有两个相等的实数根，则a的值是（）A4B4C1D1考点：根的判别式专题：计算题分析：根据根的判别式的意义得到=224（a）=0，然后解方程即可解答：解：根据题意得=224（a）=0，解得a=1故选D点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根（2022武汉）若，是一元二次方程的两个根，则的
23、值是（ ）A2 B3 C2 D3答案：B解析：由韦达定理，知：3。（2022襄阳）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？考点：一元二次方程的应用3801346分析：（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，可求出x，（2）进而求出第三轮过后，又被感染的人数解答：解：（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，1+x+x（x+1）=64x=7或x=9（舍去）答：每轮传染中平均一个人传染了7个人；（2）647=448（人）答：第三轮将又有448人被传染点评：本题考查了一元
24、二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键（2022孝感）已知关于x的一元二次方程x2（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由考点：根与系数的关系；根的判别式分析：（1）根据已知一元二次方程的根的情况，得到根的判别式0，据此列出关于k的不等式（2k+1）24（k2+2k）0，通过解该不等式即可求得k的取值范围；（2）假设存在实数k使得0成立利用根与系数的关系可以求得，然后利用完全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式0，通过解不等式可以求得k
25、的值解答：解：（1）原方程有两个实数根，（2k+1）24（k2+2k）0，4k2+4k+14k28k014k0，k当k时，原方程有两个实数根 （2）假设存在实数k使得0成立x1，x2是原方程的两根， 由0，得0 3（k2+2k）（2k+1）20，整理得：（k1）20，只有当k=1时，上式才能成立 又由（1）知k，不存在实数k使得0成立点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系（2022张家界）若关于x的一元二次方程k+4x+3=0有实根，则的非负整数值是 1 .（2022龙岩）已知x3是方程的一个根，则_9_若x1，x2是关于x的方程x2
26、bxc0的两个实数根，且2（k是整数），则称方程x2bxc0为“偶系二次方程”.如方程x26x270，x22x80，x23x0，x26x270， x24x40都是“偶系二次方程”.（1）判断方程x2x120是否是“偶系二次方程”，并说明理由；（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2bxc0是“偶系二次方程”，并说明理由.（1）解： 不是 解方程x2x120得，x14，x23. 432. 3.5不是整数， 方程x2x120不是“偶系二次方程”. （2）解：存在 方程x26x270，x26x270是“偶系二次方程”， 假设 cmb2n. 当 b6，c27时，有 2736mn.
27、 x20是“偶系二次方程”，n0，m . 即有c b2.又x23x0也是“偶系二次方程”，当b3时，c 32. 可设c b2. 10分 对任意一个整数b，当c b2时， b24c 4b2. x . x1b，x2b. 2. b是整数，对任意一个整数b，当c b2时，关于x的方程x2bxc0是“偶系二次方程”. 11分（2022漳州）方程x(x1)2的解是Ax1 Bx2 Cx11，x22Dx11，x22（2022厦门）若x1，x2是关于x的方程x2bxc0的两个实数根，且2（k是整数），则称方程x2bxc0为“偶系二次方程”.如方程x26x270，x22x80，x23x0，x26x270， x24
28、x40都是“偶系二次方程”.（1）判断方程x2x120是否是“偶系二次方程”，并说明理由；（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2bxc0是“偶系二次方程”，并说明理由.（1）解： 不是 解方程x2x120得，x14，x23. 432. 3.5不是整数， 方程x2x120不是“偶系二次方程”. （2）解：存在 方程x26x270，x26x270是“偶系二次方程”， 假设 cmb2n. 当 b6，c27时，有 2736mn. x20是“偶系二次方程”，n0，m . 即有c b2.又x23x0也是“偶系二次方程”，当b3时，c 32. 可设c b2. 10分 对任意一个整数b
29、，当c b2时， b24c 4b2. x . x1b，x2b. 2. b是整数，对任意一个整数b，当c b2时，关于x的方程x2bxc0是“偶系二次方程”. （2022吉林省）若将方程化为，则m= .（2022白银）一元二次方程x2+x2=0根的情况是（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C无实数根D无法确定考点：根的判别式分析：判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式=b24ac的值的符号就可以了解答：解：a=1，b=1，c=2，=b24ac=1+8=90方程有两个不相等的实数根故选A点评：本题考查了一元二次方程根的判别式的应用总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有
30、两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根（2022白银）某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（）A48（1x）2=36B48（1+x）2=36C36（1x）2=48D36（1+x）2=48考点：由实际问题抽象出一元二次方程专题：增长率问题分析：三月份的营业额=一月份的营业额（1+增长率）2，把相关数值代入即可解答：解：二月份的营业额为36（1+x），三月份的营业额为36（1+x）（1+x）=36（1+x）2，即所列的方程为36（1+x）2=48，故选D点评：考查列一元二次方程；得到三月份的营业额的关系
31、是解决本题的关键（2022宁夏）一元二次方程x（x2）=2x的根是（）A1B2C1和2D1和2考点：解一元二次方程-因式分解法专题：计算题分析：先移项得到x（x2）+（x2）=0，然后利用提公因式因式分解，最后转化为两个一元一次方程，解方程即可解答：解：x（x2）+（x2）=0，（x2）（x+1）=0，x2=0或x+1=0，x1=2，x2=1故选D点评：本题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法：利用因式分解把一个一元二次方程化为两个一元一次方程（2022常州）已知x=1是关于x的方程2x2+axa2=0的一个根，则a=2或1考点：一元二次方程的解分析：方程的解就是能使方程左右两边相等的未知
32、数的值，把x=1代入方程，即可得到一个关于a的方程，即可求得a的值解答：解：根据题意得：2aa2=0解得a=2或1点评：本题主要考查了方程的解得定义，是需要掌握的基本内容（2022淮安）小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元请问她购买了多少件这种服装？考点：一元二次方程的应用分析：根据一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，表示出每件服装的单价，进而得出等式方程求出
33、即可解答：解：设购买了x件这种服装，根据题意得出：802（x10）x=1200，解得：x1=20，x2=30，当x=30时，802（3010）=40（元）50不合题意舍去；答：她购买了30件这种服装点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知得出每件服装的单价是解题关键（2022泰州）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）ABCD【答案】：A（2022钦州）关于x的一元二次方程3x26x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）Am3Bm3Cm3Dm3考点：根的判别式专题：计算题分析：根据判别式的意义得到=（6）243m0，然后解不等式即可解答：解：根据题意得=（6）
34、243m0，解得m3故选A点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根（2022玉林）已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根2，m求m，n的值考点：根与系数的关系分析：利用根与系数的关系知2+m=1，2m=n，据此易求m、n的值解答：解：关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根2，m，解得，即m，n的值分别是1、2点评：本题考查了根与系数的关系，属于基础题解题过程中，需要熟记公式x1+x2=，x1x2=2022包头）已知方程x22x1=0，则此方程（）A无实数根B两根
35、之和为2C两根之积为1D有一根为1+考点：根与系数的关系；根的判别式分析：根据已知方程的根的判别式符号确定该方程的根的情况由根与系数的关系确定两根之积、两根之和的值；通过求根公式即可求得方程的根解答：解：A、=（2）241（1）=80，则该方程有两个不相等的实数根故本选项错误；B、设该方程的两根分别是、，则+=2即两根之和为2，故本选项错误；C、设该方程的两根分别是、，则=1即两根之积为1，故本选项正确；D、根据求根公式x=1知，原方程的两根是（1+）和（1）故本选项错误；故选C点评：本题综合考查了根与系数的关系、根的判别式以及求根公式的应用利用根与系数的关系、求根公式解题时，务必清楚公式中的
36、字母所表示的含义（2022呼和浩特）（非课改）已知，是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足+=1，则m的值是（）A3或1B3C1D3或1考点：根与系数的关系；根的判别式分析：由于方程有两个不相等的实数根可得0，由此可以求出m的取值范围，再利用根与系数的关系和+=1，可以求出m的值，最后求出符合题意的m值解答：解：根据条件知：+=（2m+3），=m2，=1，即m22m3=0，所以，得，解得m=3故选B点评：1、考查一元二次方程根与系数关系与根的判别式及不等式组的综合应用能力一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方
37、程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根2、一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系为：x1+x2=，x1x2=（2022遵义）已知x=2是方程x2+mx6=0的一个根，则方程的另一个根是3考点：根与系数的关系专题：计算题分析：根据根与系数的关系得到2x1=6，然后解一次方程即可解答：解：设方程另一个根为x1，根据题意得2x1=6，所以x1=3故答案为3点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=，x1x2=2022北京）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根（1）求的取值范围；（2）若为正整数，且该方
38、程的根都是整数，求的值。解析：（2022天津）一元二次方程x（x6）=0的两个实数根中较大的根是6考点：解一元二次方程-因式分解法专题：计算题分析：原方程转化为x=0或x6=0，然后解两个一次方程即可得到原方程较大的根解答：解：x=0或x6=0，x1=0，x2=6，原方程较大的根为6故答案为6点评：本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程右边变形为0，再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解(2022山东滨州，10，3分)对于任意实数k，关于x的方程x22(k+1)xk2+2k1=0的根的情况为 A有两个相等的实数根 B没
39、有实数根 C有两个不相等的实数根 D无法确定【答案】 C.(2022山东滨州，16，4分)一元二次方程2x23x+1=0的解为_【答案】x1=1，x2=.（2022 东营）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是（ C ）A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个（2022菏泽）（1）已知m是方程x2x2=0的一个实数根，求代数式的值分析：（1）根据方程的解得出m2m2=0，m22=m，变形后代入求出即可；解答：解：（1）m是方程x2x2=0的根，m2m2=0，m22=m，原式=（m2m）（+1）=2（+1）=4（2022菏泽）已知：关于
40、x的一元二次方程kx2（4k+1）x+3k+3=0 （k是整数）（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1x2），设y=x2x1，判断y是否为变量k的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由考点：根的判别式；解一元二次方程-公式法专题：证明题分析：（1）根据一元二次方程定义得k0，再计算=（4k+1）24k（3k+3），配方得=（2k1）2，而k是整数，则2k10，得到=（2k1）20，根据的意义即可得到方程有两个不相等的实数根；（2）先根据求根公式求出一元二次方程kx2（4k+1）x+3k+3=0 的解为x=3或x=1+，而k是整数，x
41、1x2，则有x1=1+，x2=3，于是得到y=3（1+）=2解答：（1）证明：k0，=（4k+1）24k（3k+3）=（2k1）2，k是整数，k，2k10，=（2k1）20，方程有两个不相等的实数根；（2）解：y是k的函数解方程得，x=，x=3或x=1+，k是整数，1，1+23又x1x2，x1=1+，x2=3，y=3（1+）=2点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根也考查了利用公式法解一元二次方程（2022聊城）若x1=1是关于x的方程x2+mx5=0的一个根，则方程
42、的另一个根x2= 考点：根与系数的关系分析：设方程的另一根为x2，由一个根为x1=1，利用根与系数的关系求出两根之积，列出关于x2的方程，求出方程的解得到x2的值，即为方程的另一根解答：解：关于x的方程x2+mx5=0的一个根为x1=1，设另一个为x2，x2=5，解得：x2=5，则方程的另一根是x2=5故答案为：5点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0），当b24ac0时方程有解，此时设方程的解为x1，x2，则有x1+x2=，x1x2=（2022青岛）某企业2022年底缴税40万元，2022年底缴税48.4万元，设这两年该企业缴税的年平均增长率为，根
43、据题意，可得方程_答案：40（1x）248.4解析：2022年为40，在年增长率为x的情况下，2022年应为40（1x），2022年为40（1x）2，所以，40（1x）248.4（2022 日照）已知一元二次方程的较小根为,则下面对的估计正确的是 A B C D 答案：A解析：用求根公式，得：，即，只有A是正确的。（2022 日照）已知，关于x的方程的两个实数根、满足，求实数的值.解：原方程可变形为：. 5分、是方程的两个根，0,即：4（m +1）2-4m20, 8m+40, m.又、满足,=或=- , 即=0或+=0, 8分由=0,即8m+4=0,得m=.由+=0,即:2(m+1)=0,得m
44、=-1,(不合题意，舍去)所以,当时，m的值为（2022泰安）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？考点：一元二次方程的应用专题：销售问题分析：根据纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，进而得出等式求出即可解答：解：由题意得出
45、：200（106）+（10x6）（200+50x）+（46）（600200（200+50x）=1250，即800+（4x）（200+50x）2（20050x）=1250，整理得：x22x+1=0，解得：x1=x2=1，101=9，答：第二周的销售价格为9元点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知表示出两周的利润是解题关键（2022威海）已知关于x的一元二次方程（x+1）2m=0有两个实数根，则m的取值范围是（）AmBm0Cm1Dm2考点：解一元二次方程-直接开平方法分析：首先移项把m移到方程右边，再根据直接开平方法可得m的取值范围解答：解；（x+1）2m=0，（x+1）2=m，一元二次
46、方程（x+1）2m=0有两个实数根，m0，故选：B点评：本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解（2022 潍坊）已知关于的方程，下列说法正确的是（ ）.A.当时，方程无解B.当时，方程有一个实数解C.当时，方程有两个相等的实数解D.当时，方程总有两个不相等的实数解（2022 枣庄）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是A. B. C. D. （2022 淄博）关于x的一元二次方程有实根.（1）求a的最大整数值；（2）当a取最大整数值时，求出该方
47、程的根；求的值.（2022杭州）当x满足条件时，求出方程x22x4=0的根考点：解一元二次方程-公式法；解一元一次不等式组分析：通过解一元一次方程组求得2x4然后利用求根公式x=求得方程程x22x4=0的根，由x的取值范围来取舍该方程的根解答：解：由求得，则2x4解方程x22x4=0可得x1=1+，x2=1，23，31+4，符合题意x=1+点评：本题考查了解一元二次方程公式法，解一元一次不等式组要会熟练运用公式法求得一元二次方程的解（2022 丽水）一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是A. B. C. D. （2022温州）方程的根是_（2022
48、佛山）方程的解是_2022广东）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元.（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？.（1）10%；（2）12100（1+0.1）=13310（元）.（2022广州）若，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）A 没有实数根 B有两个相等的实数根C有两个不相等的实数根 D无法判断（2022广州）解方程：.（2022珠海）已知一元二次方程：x2+2x+3=0，x22x3=0下列说法正确的是
49、（）A都有实数解B无实数解，有实数解C有实数解，无实数解D都无实数解考点：根的判别式3481324分析：求出、的判别式，根据：当0时，方程有两个不相等的两个实数根；当=0时，方程有两个相等的两个实数根；当0时，方程无实数根即可得出答案解答：解：方程的判别式=412=8，则没有实数解；方程的判别式=4+12=20，则有两个实数解故选B点评：本题考查了根的判别式，解答本题的关键是掌握跟的判别式与方程根的关系（2022珠海）某渔船出海捕鱼，2022年平均每次捕鱼量为10吨，2022年平均每次捕鱼量为8.1吨，求2022年2022年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率考点：一元二次方程的应用3481324
50、专题：增长率问题分析：解答此题利用的数量关系是：2022年平均每次捕鱼量（1每次降价的百分率）2=2022年平均每次捕鱼量，设出未知数，列方程解答即可解答：解：设2022年2022年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率x，根据题意列方程得，10（1x）2=8.1，解得x1=0.1，x2=1.9（不合题意，舍去）答：2022年2022年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率为10%点评：本题考查的下降的百分率也就是增长率问题，两年前是10吨，下降后现在是8.1吨，求每年的下降的百分率，可列式求解（2022哈尔滨）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为 （202
51、2牡丹江）若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a0）的解是x=1，则2022ab的值是（）A2022B2022C2022D2022考点：一元二次方程的解分析：将x=1代入到ax2+bx+5=0中求得a+b的值，然后求代数式的值即可解答：解：x=1是一元二次方程ax2+bx+5=0的一个根，a12+b1+5=0，a+b=5，2022ab=2022（a+b）=2022（5）=2022故选A点评：此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的方程即可求得代数式a+b的值（2022河南）方程(x-2)(x+3)=0的解是 A. x=2 B. x= C.
52、x1=，x2=3 D. x1=2，x2=（2022兰州）用配方法解方程x22x1=0时，配方后得的方程为（）A（x+1）2=0B（x1）2=0C（x+1）2=2D（x1）2=2考点：解一元二次方程-配方法分析：在本题中，把常数项1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方解答：解：把方程x22x1=0的常数项移到等号的右边，得到x22x=1，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x22x+1=1+1配方得（x1）2=2故选D点评：考查了解一元二次方程配方法，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方选择
53、用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数（2022兰州）据调查，2022年5月兰州市的房价均价为7600/m2，2022年同期将达到8200/m2，假设这两年兰州市房价的平均增长率为x，根据题意，所列方程为（）A7600（1+x%）2=8200B7600（1x%）2=8200C7600（1+x）2=8200D7600（1x）2=8200考点：由实际问题抽象出一元二次方程专题：增长率问题分析：2022年的房价8200=2022年的房价7600（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可解答：解：2022年同期的房价为7600（1+x），2022年的房价为760
54、0（1+x）（1+x）=7600（1+x）2，即所列的方程为7600（1+x）2=8200，故选C点评：考查列一元二次方程；得到2022年房价的等量关系是解决本题的关键（2022兰州）若，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围是 考点：根的判别式；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根专题：计算题分析：首先根据非负数的性质求得a、b的值，再由二次函数的根的判别式来求k的取值范围解答：解：，b1=0，=0，解得，b=1，a=4；又一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，=a24kb0且k0，即164k0，且k0，解得，k4且k0；故答案为：k4且k0点评：本
55、题主要考查了非负数的性质、根的判别式在解答此题时，注意关于x的一元二次方程的二次项系数不为零（2022兰州）解方程：x23x1=0利于求根公式x=来解方程（2）关于x的方程x23x1=0的二次项系数a=1，一次项系数b=3，常数项c=1，则x=，解得，x1=，x2=点评：本题考查了解一元二次方程公式法利于公式x=来解方程时，需要弄清楚公式中的字母a、b、c所表示的含义（2022黔西南州）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个A、50（1+x2）=196 B、50+50（1+x2）=196 C、50+50（1+x）+50（1+x2）=196 D、 50+50（1+x）+50（
56、1+2x）=196（2022黔西南州）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是_。（2022乌鲁木齐）若关于x的方程式x2x+a=0有实根，则a的值可以是（）A2B1C0.5D0.25考点：根的判别式分析：根据判别式的意义得到=（1）24a0，然后解不等式，最后根据不等式的解集进行判断解答：解：根据题意得=（1）24a0，解得m故选D点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根（2022江西）若一个一元二次方程的两个根分别是RtABC的两条直角边长，且SABC=3，请写出
57、一个符合题意的一元二次方程 【答案】 x25x+6=0.【考点解剖】 本题是道结论开放的题（答案不唯一），已知直角三角形的面积为3（直角边长未定），要写一个两根为直角边长的一元二次方程，我们尽量写边长为整数的情况（即保证方程的根为整数），如直角边长分别为2、3的直角三角形的面积就是3，以2、3为根的一元二次方程为；也可以以1、6为直角边长，得方程为.（求作一元二次方程，属“一元二次方程根与系数的关系”知识范畴，这种题型在以前相对考得较少，有点偏了.）【解题思路】 先确定两条符合条件的边长，再以它为根求作一元二次方程【解答过程】 略.【方法规律】 求作方程可以用根与系数的关系，也可由因式分解法解
58、一元二次方程.【关键词】 直角三角形 根 求作方程（2022上海）下列关于x的一元二次方程有实数根的是（ ）（A）；（B）；（C） ；（D）（2022昆明）一元二次方程251=0的根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.没有实数根 D. 无法确定（2022昆明）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为X米，则可列方程为（ ）A.10080100X80X=7644B.(100X)(80X)X2=7644C.(100X)(80X)=7644D.100X
59、80X=356（2022铜仁）铜仁市某电解金属锰厂从今年1月起安装使用回收净化设备(安装时间不计)，这样既改 善了环境，又降低了原料成本，根据统计，在使用回收净化设备后的1至x月的利润的月平均值w(万元)满足w=10x+90 (1)设使用回收净化设备后的1至x月的利润和为y，请写出y与x的函数关系式(2)请问前多少个月的利润和等于1620万元? 解：（1）y=wx=(10x+90)x=10x2+90x(x为正整数)5分（2）设前x个月的利润和等于1620万元，6分10x2+90x=16209分即：x2+9x-162=0得x=x1=9,x2=-18(舍去)11分答：前9个月的利润和等于1620万
60、元（2022临沂）对于实数a，b，定义运算“”：ab=例如42，因为42，所以42=4242=8若x1，x2是一元二次方程x25x+6=0的两个根，则x1x2=3或3考点：解一元二次方程-因式分解法专题：新定义分析：首先解方程x25x+6=0，再根据ab=，求出x1x2的值即可解答：解：x1，x2是一元二次方程x25x+6=0的两个根，（x3）（x2）=0，解得：x=3或2，当x1=3，x2=2时，x1x2=3232=3；当x1=2，x2=3时，x1x2=3232=3故答案为：3或3点评：此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及利用材料分析解决新问题，根据已知进行分类讨论是解题关键2022大兴安岭）若关于的一元二次方程为的解是,则的值是A2022 B2022 C2022 D202227
