1、点直线与圆的位置关系一选择题1（2022白银，10，3分）如图，O的圆心在定角（0180）的角平分线上运动，且O与的两边相切，图中阴影部分的面积S关于O的半径r（r0）变化的函数图象大致是（）ABCD考点：动点问题的函数图象；多边形内角与外角；切线的性质；切线长定理；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义专题：计算题分析：连接OB、OC、OA，求出BOC的度数，求出AB、AC的长，求出四边形OBAC和扇形OBC的面积，即可求出答案解答：解：连接OB、OC、OA，圆O切AM于B，切AN于C，OBA=OCA=90，OB=OC=r，AB=ACBOC=3609090=（180），AO平分MAN，BAO=C
2、AO=，AB=AC=，阴影部分的面积是：S四边形BACOS扇形OBC=2r=（）r2，r0，S与r之间是二次函数关系故选C点评：本题主要考查对切线的性质，切线长定理，三角形和扇形的面积，锐角三角函数的定义，四边形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行计算是解此题的关键2（2022贵州毕节，15，3分）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点O为BC的中点，以O为圆心作O交BC于点M、N，O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则O的半径和MND的度数分别为（）A2，22.5B3，30C3，22.5D2，30考点：切线的性质；等腰直角三角形分析：首先连接AO，由切线的性质，易得O
3、DAB，即可得OD是ABC的中位线，继而求得OD的长；根据圆周角定理即可求出MND的度数解答：解：连接OA，AB与O相切，ODAB，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，O为BC的中点，AOBC，ODAC，O为BC的中点，OD=AC=2；DOB=45，MND=DOB=22.5，故选A点评：此题考查了切线的性质、圆周角定理、切线长定理以及等腰直角三角形性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用3（2022泰安，13，3分）如图，已知AB是O的直径，AD切O于点A，点C是的中点，则下列结论不成立的是（）AOCAE BECBC CDAEABE DACOE考点：切线的性质；圆心
4、角、弧、弦的关系；圆周角定理专题：计算题分析：由C为弧EB的中点，利用垂径定理的逆定理得出OC垂直于BE，由AB为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到AE垂直于BE，即可确定出OC与AE平行，选项A正确；由C为弧BE中点，即弧BC弧CE，利用等弧对等弦，得到BCEC，选项B正确；由AD为圆的切线，得到AD垂直于OA，进而确定出一对角互余，再由直角三角形ABE中两锐角互余，利用同角的余角相等得到DAEABE，选项C正确；AC不一定垂直于OE，选项D错误解答：解：A点C是的中点，OCBE，AB为圆O的直径，AEBE，OCAE，本选项正确；B，BCCE，本选项正确；CAD为圆O的切线，ADOA，
5、DAEEAB90，EBAEAB90，DAEEBA，本选项正确；DAC不一定垂直于OE，本选项错误，点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，以及圆心角，弧及弦之间的关系，熟练掌握切线的性质是解本题的关键4（2022济宁，10，3分）如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G若AF的长为2，则FG的长为（）A4 B C6 D考点：切线的性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理专题：计算题分析：连接OD，由DF为圆的切线，利用切线的性质得到OD垂直于DF，根据三角形ABC为等边三角形，利用等边三
6、角形的性质得到三条边相等，三内角相等，都为60，由OD=OC，得到三角形OCD为等边三角形，进而得到OD平行与AB，由O为BC的中点，得到D为AC的中点，在直角三角形ADF中，利用30所对的直角边等于斜边的一半求出AD的长，进而求出AC的长，即为AB的长，由ABAF求出FB的长，在直角三角形FBG中，利用30所对的直角边等于斜边的一半求出BG的长，再利用勾股定理即可求出FG的长解答：解：连接OD，DF为圆O的切线，ODDF，ABC为等边三角形，AB=BC=AC，A=B=C=60，OD=OC，OCD为等边三角形，ODAB，又O为BC的中点，D为AC的中点，即OD为ABC的中位线，ODAB，DFA
7、B，在RtAFD中，ADF=30，AF=2，AD=4，即AC=8，FB=ABAF=82=6，在RtBFG中，BFG=30，BG=3，则根据勾股定理得：FG=3故选B点评：此题考查了切线的性质，等边三角形的性质，含30直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键5. （2022杭州3分）在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是（）A若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直B若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有4个公共点C若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点D若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径【答案】C【解析
8、】解：A圆心到两条直线的距离都等于圆的半径时，两条直线可能垂直，故本选项错误；B当两圆经过两条直线的交点时，圆与两条直线有三个交点；C两条平行弦所在直线没有交点，故本选项正确；D两条平行弦之间的距离一定小于直径，但不一定小于半径，故本选项错误【方法指导】本题考查了直线与圆的位置关系、命题与定理，解题的关键是熟悉直线与圆的位置关系6（2022贵州省黔东南州，7，4分）RtABC中，C=90，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为（）A2cmB2.4cmC3cmD4cm考点：直线与圆的位置关系分析：R的长即为斜边AB上的高，由勾股定理易求得AB的长，
9、根据直角三角形面积的不同表示方法，即可求出r的值解答：解：RtABC中，C=90，AC=3cm，BC=4cm；由勾股定理，得：AB2=32+42=25，AB=5；又AB是C的切线，CDAB，CD=R；SABC=ACBC=ABr；r=2.4cm，故选B点评：本题考查的知识点有：切线的性质、勾股定理、直角三角形面积的求法；斜边上的高即为圆的半径是本题的突破点7（2022贵州省黔西南州，6，4分）如图所示，线段AB是O上一点，CDB=20，过点C作O的切线交AB的延长线于点E，则E等于（）A50B40C60D70考点：切线的性质；圆周角定理分析：连接OC，由CE为圆O的切线，根据切线的性质得到OC垂
10、直于CE，即三角形OCE为直角三角形，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由圆周角CDB的度数，求出圆心角COB的度数，在直角三角形OCE中，利用直角三角形的两锐角互余，即可求出E的度数解答：解：连接OC，如图所示：圆心角BOC与圆周角CDB都对弧BC，BOC=2CDB，又CDB=20，BOC=40，又CE为圆O的切线，OCCE，即OCE=90，则E=9040=50故选A点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，以及直角三角形的性质，遇到直线与圆相切，连接圆心与切点，利用切线的性质得垂直，根据直角三角形的性质来解决问题熟练掌握性质及定理是解本题的关键8（2022河南省，7，3分）如图，CD
11、是的直径，弦于点G，直线与相切与点D，则下列结论中不一定正确的是（ ）（A） （B） （C）ADBC （D）【解析】由垂径定理可知：（A）一定正确。由题可知：，又因为，所以，即（B）一定正确。因为所对的弧是劣弧，根据同弧所对的圆周角相等可知（D）一定正确。【答案】C9 （2022重庆市(A)，8，4分）如图，P是O外一点，PA是O的切线，PO26cm，PA24cm，则O周长为（ ）A18cm B16cm C20cm D24cm 【答案】C【解析】根据切线的性质，连接OA，得OAP90，所以OA10cm，则O的周长为20cm【方法指导】本题考查切线的性质、勾股定理、圆的周长计算由于圆的切线垂直于
12、经过切点的半径，所以经常用以提供直角三角形，从而引入勾股定理进行计算在上面计算时，要学会运用平方差公式简便计算，即10cm10（2022重庆，8，4分）如图，AB是O的切线，B为切点，AO与O交于点C，若BAO=40，则OCB的度数为（ ）OBCA（第8题图）A40 B50 C65 D75【答案】C【解析】AB是O的切线，OBA=90，O=90BAO=9040=50，又OB=OC，OCB=OCB=（18050）=65，故选C【方法指导】本题考查了对切线的性质的掌握，考差了直角三角形两锐角互余和等腰三角形的性质圆的切线垂直于过切点的半径，可以把直线和圆的位置关系问题转化为直角三角形的问题解决；根
13、据同圆的半径相等，可以建立等腰三角形解答问题二填空题1（2022湖北省咸宁市，1，3分）如图，在RtAOB中，OA=OB=3，O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为2考点：切线的性质；等腰直角三角形分析：首先连接OP、OQ，根据勾股定理知PQ2=OP2OQ2，可得当OPAB时，线段OP最短，即线段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案解答：解：连接OP、OQPQ是O的切线，OQPQ；根据勾股定理知PQ2=OP2OQ2，当POAB时，线段PQ最短，在RtAOB中，OA=OB=3，AB=OA=6，OP=3，PQ=2故答案为：2点评：本题考查了
14、切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当POAB时，线段PQ最短是关键2（2022黑龙江省哈尔滨市，17）如图，直线AB与O相切于点A，AC、CD是O的两条弦，且CDAB，若O 的半径为，CD=4，则弦AC的长为 考点：垂径定理；勾股定理。切线的性质。分析：本题考查的是垂径定理的应用切线的性质及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键。解答：连接OA,作OECD于E,易得OAAB,CE=DE=2，由于CDAB得EOA三点共线，连OC,在直角三角形OEC中,由勾股定理得OE=,从而AE=4，再直角三角形AEC中由勾股定理得A
15、C=3（2022江苏苏州，16，3分）如图，AB切O于点B，OA2，OAB30，弦BCOA，劣弧的弧长为 （结果保留）【答案】【解析】分析：如图，连接OB，OC，由AB为圆的切线，利用切线的性质得到AOB为直角三角形，根据30所对的直角边等于斜边的一半，由OA求出OB的长，且AOB为60，再由BC与OA平行，利用两直线平行内错角相等得到OBC为60，又OB=OC，得到BOC为等边三角形，确定出BOC为60，利用弧长公式即可求出劣弧BC的长解：如图，连接OB，OCAB为圆O的切线，ABO=90在RtABO中，OA=2，OAB=30，OB=1，AOB=60BCOA，OBC=AOB=60又OB=OC
16、，BOC为等边三角形BOC=60则劣弧的弧长为l=所以应填或【方法指导】此题考查了切线的性质，含30度直角三角形的性质，以及弧长公式，熟练掌握切线的性质是解本题的关键【易错警示】弄不清楚弧长公式，或求不出圆心角4（2022湖南永州，13，3分）如图，已知ABC内接于O，BC是O的直径，MN与O相切，切点为A，若MAB=30则B=度【答案】60.【解析】连接OA，则OAMN，由于MAB=30，所以OAB=90-30=60，而OA=OB，所以B=OAB=60.【方法指导】有切线连半径，这是解决有关切线计算或证明的常用的辅助线。三解答题1（2022江西，22，9分）如图，在平面直角坐标系中，以点O为
17、圆心，半径为2的圆与y轴交于点A，点P（4，2）是O外一点，连接AP，直线PB与O相切于点B，交x轴于点C（1）证明PA是O的切线；（2）求点B的坐标；（3）求直线AB的解析式【思路分析】（1） 点A在圆上，要证PA是圆的切线，只要证PAOA（OAP=90）即可，由A、P两点纵坐标相等可得APx轴，所以有OAP+AOC=180得OAP=90；（2） 要求点B的坐标，根据坐标的意义，就是要求出点B到x轴、y轴的距离，自然想到构造RtOBD，由PB又是O的切线，得RtOAPOBP，从而得OPC为等腰三角形，在RtPCE中, PE=OA=2, PC+CE=OE=4,列出关于CE的方程可求出CE、OC
18、的长，OBC的三边的长知道了，就可求出高BD,再求OD即可求得点B的坐标；（3）已知点A、点B的坐标用待定系数法可求出直线AB的解析式解（1）证明：依题意可知，A（0，2）A（0，2），P（4，2），APx轴， OAP=90，且点A在O上，PA是O的切线； （2）解法一：连接OP，OB，作PEx轴于点E，BDx轴于点D，PB切O于点B，OBP=90，即OBP=PEC又OB=PE=2，OCB=PECOBCPECOC=PC （或证RtOAPOBP，再得到OC=PC也可）设OC=PC=x，则有OE=AP=4，CE=OEOC=4x，在RtPCE中，PC2=CE2+PE2，x2=(4x)2+22，解得x
19、=， BC=CE=4=，OBBC=OCBD，即2=BD，BD= OD=，由点B在第四象限可知B（，）； 解法二：连接OP，OB，作PEx轴于点E，BDy轴于点D，PB切O于点B，OBP=90即OBP=PEC又OB=PE=2，OCB=PECOBCPECOC=PC（或证RtOAPOBP，再得到OC=PC也可） 设OC=PC=x，则有OE=AP=4，CE=OEOC=4x，在RtPCE中，PC2=CE2PE2,x2=(4x)2+22，解得x=， BC=CE=4=，BDx轴，COB=OBD，又OBC=BDO=90，OBCBDO， =，即=，BD=，OD=， 由点B在第四象限可知B（，）； （3）设直线A
20、B的解析式为y=kx+b，由A（0，2），B（，），可得； 解得直线AB的解析式为y=2x+2【方法指导】从整体把握图形，找全等、相似、等腰三角形；求线段的长要从局部入手，若是直角三角形则用勾股定理，若是相似则用比例式求，要掌握一些求线段长的常用思路和方法.2（2022白银，27，10分）如图，在O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点E（1）若OC=5，AB=8，求tanBAC；（2）若DAC=BAC，且点D在O的外部，判断直线AD与O的位置关系，并加以证明考点：切线的判定；勾股定理；垂径定理专题：计算题分析：（1）根据垂径定理由半径OC垂直于弦AB，AE=AB=4，再根据勾股定理计算出OE=3
21、，则EC=2，然后在RtAEC中根据正切的定义可得到tanBAC的值；（2）根据垂径定理得到AC弧=BC弧，再利用圆周角定理可得到AOC=2BAC，由于DAC=BAC，所以AOC=BAD，利用AOC+OAE=90即可得到BAD+OAE=90，然后根据切线的判定方法得AD为O的切线解答：解：（1）半径OC垂直于弦AB，AE=BE=AB=4，在RtOAE中，OA=5，AE=4，OE=3，EC=OCOE=53=2，在RtAEC中，AE=4，EC=2，tanBAC=；（2）AD与O相切理由如下：半径OC垂直于弦AB，AC弧=BC弧，AOC=2BAC，DAC=BAC，AOC=BAD，AOC+OAE=90
22、，BAD+OAE=90，OAAD，AD为O的切线点评：本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线也考查了勾股定理以及垂径定理、圆周角定理3（2022兰州，27，10分）已知，如图，直线MN交O于A，B两点，AC是直径，AD平分CAM交O于D，过D作DEMN于E（1）求证：DE是O的切线；（2）若DE=6cm，AE=3cm，求O的半径考点：切线的判定；平行线的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质专题：几何综合题分析：（1）连接OD，根据平行线的判断方法与性质可得ODE=DEM=90，且D在O上，故DE是O的切线（2）由直角三角形的特殊性质，可得AD的长，又有A
23、CDADE根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径解答：（1）证明：连接ODOA=OD，OAD=ODA（1分）OAD=DAE，ODA=DAE（2分）DOMN（3分）DEMN，ODE=DEM=90即ODDE（4分）D在O上，DE是O的切线（5分）（2）解：AED=90，DE=6，AE=3，（6分）连接CDAC是O的直径，ADC=AED=90（7分）CAD=DAE，ACDADE（8分）则AC=15（cm）（9分）O的半径是7.5cm（10分）点评：本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，线段等量关系的证明及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题4
24、（2022广东珠海，17，7分）如图，O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A（1）求证：BC为O的切线；（2）求B的度数考点：切线的判定与性质；菱形的性质3481324分析：（1）连结OA、OB、OC、BD，根据切线的性质得OAAB，即OAB=90，再根据菱形的性质得BA=BC，然后根据“SSS”可判断ABCCBO，则BOC=OAC=90，于是可根据切线的判定方法即可得到结论；（2）由ABCCBO得AOB=COB，则AOB=COB，由于菱形的对角线平分对角，所以点O在BD上，利用三角形外角性质有BOC=ODC+OCD，则BOC=2ODC，由于CB=CD，则OBC=ODC，所
25、以BOC=2OBC，根据BOC+OBC=90可计算出OBC=30，然后利用ABC=2OBC计算即可解答：（1）证明：连结OA、OB、OC、BD，如图，AB与切于A点，OAAB，即OAB=90，四边形ABCD为菱形，BA=BC，在ABC和CBO中，ABCCBO，BOC=OAC=90，OCBC，BC为O的切线；（2）解：ABCCBO，AOB=COB，四边形ABCD为菱形，BD平分ABC，CB=CD，点O在BD上，BOC=ODC+OCD，而OD=OC，ODC=OCD，BOC=2ODC，而CB=CD，OBC=ODC，BOC=2OBC，BOC+OBC=90，OBC=30，ABC=2OBC=60点评：本题
26、考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径也考查了全等三角形相似的判定与性质以及菱形的性质5（2022广西钦州，25，10分）如图，在RtABC中，A=90，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tanBOD=（1）求O的半径OD；（2）求证：AE是O的切线；（3）求图中两部分阴影面积的和考点：切线的判定与性质；扇形面积的计算专题：计算题分析：（1）由AB为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于AB，在直角三角形BDO中，利用锐角三角函数定义，根据tanBO
27、D及BD的值，求出OD的值即可；（2）连接OE，由AE=OD=3，且OD与AE平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，根据平行四边形的对边平行得到OE与AD平行，再由DA与AE垂直得到OE与AC垂直，即可得证；（3）阴影部分的面积由三角形BOD的面积+三角形ECO的面积扇形DOF的面积扇形EOG的面积，求出即可解答：解：（1）AB与圆O相切，ODAB，在RtBDO中，BD=2，tanBOD=，OD=3；（2）连接OE，AE=OD=3，AEOD，四边形AEOD为平行四边形，ADEO，DAAE，OEAC，又OE为圆的半径，AC为圆O的切线；（3）ODAC，=，即=，AC=7.5，EC=A
28、CAE=7.53=4.5，S阴影=SBDO+SOECS扇形BODS扇形EOG=23+34.5=3+=点评：此题考查了切线的判定与性质，扇形的面积，锐角三角函数定义，平行四边形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键6（2022贵州安顺，25，10分）如图，AB是O直径，D为O上一点，AT平分BAD交O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C（1）求证：CT为O的切线；（2）若O半径为2，CT=，求AD的长考点：切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理分析：（1）连接OT，根据角平分线的性质，以及直角三角形的两个锐角互余，证得CTOT，CT为O的切线；（2）证明四
29、边形OTCE为矩形，求得OE的长，在直角OAE中，利用勾股定理即可求解解答：（1）证明：连接OT，OA=OT，OAT=OTA，又AT平分BAD，DAT=OAT，DAT=OTA，OTAC，（3分）又CTAC，CTOT，CT为O的切线；（5分）（2）解：过O作OEAD于E，则E为AD中点，又CTAC，OECT，四边形OTCE为矩形，（7分）CT=，OE=，又OA=2，在RtOAE中，AD=2AE=2（10分）点评：本题主要考查了切线的判定以及性质，证明切线时可以利用切线的判定定理把问题转化为证明垂直的问题1.点P是CD延长线上的一点，且AP=AC（1）求证：PA是O的切线；（2）若PD=，求O的直
30、径考点：切线的判定分析：（1）连接OA，根据圆周角定理求出AOC，再由OA=OC得出ACO=OAC=30，再由AP=AC得出P=30，继而由OAP=AOCP，可得出OAPA，从而得出结论；（2）利用含30的直角三角形的性质求出OP=2OA，可得出OPPD=OD，再由PD=，可得出O的直径解答：（1）证明：连接OA，B=60，AOC=2B=120，又OA=OC，OAC=OCA=30，又AP=AC，P=ACP=30，OAP=AOCP=90，OAPA，PA是O的切线（2）在RtOAP中，P=30，PO=2OA=OD+PD，又OA=OD，PD=OA，O的直径为点评：本题考查了切线的判定及圆周角定理，解
31、答本题的关键是掌握切线的判定定理、圆周角定理及含30直角三角形的性质7（2022湖北宜昌，21，10分）半径为2cm的与O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，O与l相切于点F，DC在l上（1）过点B作的一条切线BE，E为切点填空：如图1，当点A在O上时，EBA的度数是30；如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长；（2）以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC与OF重合时结束移动，M，N分别是边BC，AD与O的公共点，求扇形MON的面积的范围考点：圆的综合题分析：（1）根据切线的性质以及直角三角形的性质得出EBA的度数即可；
32、利用切线的性质以及矩形的性质和相似三角形的判定和性质得出=，进而求出OA即可；（2）设MON=n，得出S扇形MON=22=n进而利用函数增减性分析当N，M，A分别与D，B，O重合时，MN最大，当MN=DC=2时，MN最小，分别求出即可解答：解：（1）半径为2cm的与O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，当点A在O上时，过点B作的一条切线BE，E为切点，OB=4，EO=2，OEB=90，EBA的度数是：30；如图2，直线l与O相切于点F，OFD=90，正方形ADCB中，ADC=90，OFAD，OF=AD=2，四边形OFDA为平行四边形，OFD=90，平行四边形OFDA为矩形，DAAO
33、，正方形ABCD中，DAAB，O，A，B三点在同一条直线上；EAOB，OEB=AOE，EOABOE，=，OE2=OAOB，OA（2+OA）=4，解得：OA=1，OA0，OA=1；方法二：在RtOAE中，cosEOA=，在RtEOB中，cosEOB=，=，解得：OA=1，OA0，OA=1；方法三：OEEB，EAOB，由射影定理，得OE2=OAOB，OA（2+OA）=4，解得：OA=1，OA0，OA=1；（2）如图3，设MON=n，S扇形MON=22=n（cm2），S随n的增大而增大，MON取最大值时，S扇形MON最大，当MON取最小值时，S扇形MON最小，过O点作OKMN于K，MON=2NOK，
34、MN=2NK，在RtONK中，sinNOK=，NOK随NK的增大而增大，MON随MN的增大而增大，当MN最大时MON最大，当MN最小时MON最小，当N，M，A分别与D，B，O重合时，MN最大，MN=BD，MON=BOD=90，S扇形MON最大=（cm2），当MN=DC=2时，MN最小，ON=MN=OM，NOM=60，S扇形MON最小=（cm2），S扇形MON故答案为：30点评：此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的判定与性质和函数增减性等知识，得出扇形MON的面积的最大值与最小值是解题关键8. （2022湖南长沙，22，8分）如图，ABC中，以AB为直径的O交AC于点D，DBC=BAC.（
35、1）求证：BC是O的切线；（2）若O的半径为2，BAC=30，求图中阴影部分的面积.（第22题）9 . （2022江苏南京，25，8分） 如图，AD是圆O的切线，切点为A，AB是圆O 的弦。过点B作BC/AD，交圆O于点C，连接AC，过 点C作CD/AB，交AD于点D。连接AO并延长交BCABCDOMP 于点M，交过点C的直线于点P，且BCP=ACD。 (1) 判断直线PC与圆O的位置关系，并说明理由： (2) 若AB=9，BC=6，求PC的长。解析： 解法一：(1) 直线PC与圆O相切。jABCDOMPN 如图j，连接CO并延长，交圆O于点N，连接BN。 AB/CD，BAC=ACD。 BAC
36、=BNC，BNC=ACD。 BCP=ACD，BNC=BCP。 CN是圆O的直径，CBN=90。 BNC+BCN=90，BCP+BCN=90。 PCO=90，即PCOC。 又点C在圆O上，直线PC与圆O相切。 (4分) (2) AD是圆O的切线，ADOA，即OAD=90。 BC/AD，OMC=180-OAD=90，即OMBC。 MC=MB。AB=AC。 在RtAMC中，AMC=90，AC=AB=9，MC= BC=3， 由勾股定理，得AM=6。 设圆O的半径为r。 在RtOMC中，OMC=90，OM=AM-AO=6-r，MC=3，OC=r， 由勾股定理，得OM 2+MC 2=OC 2，即(6-r)
37、2+32=r2。解得r= 。 在OMC和OCP中， OMC=OCP，MOC=COP， OMCOCP。 = ，即 = 。 PC= 。(8分)ABCDOMPk 解法二：(1) 直线PC与圆O相切。如图k，连接OC。 AD是圆O的切线，ADOA， 即OAD=90。 BC/AD，OMC=180-OAD=90， 即OMBC。 MC=MB。AB=AC。MAB=MAC。 BAC=2MAC。又MOC=2MAC，MOC=BAC。 AB/CD，BAC=ACD。MOC=ACD。又BCP=ACD， MOC=BCP。MOC+OCM=90，BCP+OCM=90。 PCO=90，即PCOC。又点C在圆O上，直线PC与圆O相
38、切。 (2) 在RtAMC中，AMC=90，AC=AB=9，MC= BC=3， 由勾股定理，得AM=6。 设圆O的半径为r。 在RtOMC中，OMC=90，OM=AM-AO=6-r，MC=3，OC=r， 由勾股定理，得OM 2+MC 2=OC 2，即(6-r)2+32=r2。解得r= 。 在OMC和OCP中，OMC=OCP，MOC=COP， OMCOCP， = ，即 = 。 PC= 。(8分)10（2022聊城，24，?分）如图，AB是O的直径，AF是O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD，BE2求证：（1）四边形FADC是菱形；（2）FC是O的切线
39、考点：切线的判定与性质；菱形的判定分析：（1）首先连接OC，由垂径定理，可求得CE的长，又由勾股定理，可求得半径OC的长，然后由勾股定理求得AD的长，即可得ADCD，易证得四边形FADC是平行四边形，继而证得四边形FADC是菱形；（2）首先连接OF，易证得AFOCFO，继而可证得FC是O的切线解答：证明：（1）连接OC，AB是O的直径，CDAB，CEDECD42，设OCx，BE2，OEx2，在RtOCE中，OC2OE2CE2，x2（x2）2（2）2，解得：x4，OAOC4，OE2，AE6，在RtAED中，AD4，ADCD，AF是O切线，AFAB，CDAB，AFCD，CFAD，四边形FADC是平
40、行四边形，FADC是菱形；（2）连接OF，四边形FADC是菱形，FAFC，在AFO和CFO中，AFOCFO（SSS），FCOFAO90，即OCFC，点C在O上，FC是O的切线点评：此题考查了切线的判定与性质、菱形的判定与性质、垂径定理、勾股定理以及全等三角形的判定与性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用11（2022鞍山，23，6分）如图，点A、B在O上，直线AC是O的切线，OCOB，连接AB交OC于点D（1）AC与CD相等吗？问什么？（2）若AC2，AO，求OD的长度考点：切线的性质；勾股定理专题：计算题分析：（1）ACCD，理由为：由AC为圆的切线，利用切线的性质得
41、到OAC为直角，再由OC与OB垂直，得到BOC为直角，由OAOB，利用等边对等角得到一对角相等，再利用对顶角相等及等角的余角相等得到一对角相等，利用等角对等边即可得证；（2）由ODCOD+DC，DCAC，表示出OC，在直角三角形OAC中，利用勾股定理即可求出OD的长解答：解：（1）ACCD，理由为：OAOB，OABB，直线AC为圆O的切线，OACOAB+DAC90，OBOC，BOC90，ODB+B90，ODBCDA，CDA+B90，DACCDA，则ACCD；（2）在RtOAC中，ACCD2，AO，OCOD+DCOD+2，根据勾股定理得：OC2AC2+AO2，即（OD+2）222+（）2，解得：
42、OD1点评：此题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键12（2022东营，20，8分）如图，为的直径，点为上一点，若，过点作直线垂直于射线AM，垂足为点D（第20题图）AOBDClME（1）试判断与的位置关系，并说明理由；（2）若直线与的延长线相交于点，的半径为3，并且求的长 分析：（1）连接CO，根据，证明DCAD，再根据，得，从而证明CD是O的切线（2）由题意得，则在中，（1）解：直线CD与O相切 1分（第20题答案图）AOBDClME理由如下：连接OCOA=OCBAC=OCABAC=CAMOCA=CAMOCAM3分CDAM OCCD直线与相切 5分
43、（2）解：COE=2CAB=在RtCOE中，OC=3，CE=OCtan=8分点拨：要证明过圆上已知点的直线是圆的切线时，只需连结圆心和这点，再证过已知点的半径垂直于这条直线即可13. 2022新疆12分）如图，已知O的半径为4，CD是O的直径，AC为O的弦，B为CD延长线上的一点，ABC=30，且AB=AC（1）求证：AB为O的切线；（2）求弦AC的长；（3）求图中阴影部分的面积【思路分析】（1）如图，连接OA，欲证明AAB为O的切线，只需证明ABOA即可；（2）如图，连接AD，构建直角ADC，利用“30度角所对的直角边是斜边的一半”求得AD=4，然后利用勾股定理来求弦AC的长度；（3）根据图
44、示知，图中阴影部分的面积=扇形ADO的面积+AOC的面积【解析】（1）证明：如图，连接OAAB=AC，ABC=30，ABC=ACB=30AOB=2ACB=60，在ABO中，AOB=180ABOAOB=90，即ABOA，又OA是O的半径，AB为O的切线；（2）解：如图，连接ADCD是O的直径，DAC=90由（1）知，ACB=30，AD=CD=4，则根据勾股定理知AC=4，即弦AC的长是4；（3）解：由（2）知，在ADC中，DAC=90，AD=4，AC=4，则SABC=ADAC=44=8点O是ADC斜边上的中点，SAOC=SABC=4根据图示知，S阴影=S扇形ADO+SAOC=+4=+4，即图中阴
45、影部分的面积是+4【方法指导】本题考查了切线的判定，圆周角定理以及扇形面积的计算解答（3）时，求AOC的面积的面积的技巧性在于利用了“等边同高”三角形的面积相等的性质14. （2022浙江丽水8分）如图，在ABC中，AB=AC，BAC=54，以AB为直径的O分别交AC，BC于点D，E，过点B作O的切线，交AC的延长线于点F。（1）求证：BE=CE；（2）求CBF的度数；（3）若AB=6，求的长。15. （2022衢州8分）如图，已知AB是O的直径，BCAB，连结OC，弦ADOC，直线CD交BA的延长线于点E（1）求证：直线CD是O的切线；（2）若DE=2BC，求AD：OC的值【思路分析】（1）
46、首选连接OD，易证得CODCOB（SAS），然后由全等三角形的对应角相等，求得CDO=90，即可证得直线CD是O的切线；（2）由CODCOB可得CD=CB，即可得DE=2CD，易证得EDAECO，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AD：OC的值【解析】1）证明：连结DOADOC，DAO=COB，ADO=COD（1分）又OA=OD，DAO=ADO，COD=COB（2分）在COD和COB中，CODCOB（SAS）（3分）CDO=CBO=90又点D在O上，CD是O的切线（4分）（2）解：CODCOBCD=CB（5分）DE=2BC，ED=2CD （6分）ADOC，EDAECO（7分）（8分）【方法指
47、导】此题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用16.（2022山西，23，9分）（本题9分）如图，AB为的直径，点C在O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q。（1）在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与O的位置关系，并说明理由。（2）若cosB=，BP=6，AP=1，求QC的长。解析】解：（1）CD是O的切线,理由如下：连接OC,OC=OB,B=1.又DC=DQ,Q=2PQAB,QPB=90B+Q=901+2=90DCO=QCB-(1+2)=
48、180-90,OCDC,OC是O的半径CD是O的切线(2)连接AC,AB是O的直径,ACB=90.在RtABC中,BC=ABcosB=(AP+BP) cosB=(1+6)=.在RtBPQ中BQ=10QC=BQ-BC=10=17.（2022四川乐山，22，10分）选做题：从甲、乙两题中选做一题，如果两题都做，只以甲题计分。题甲：如图，AB是O的直径，经过圆上点D的直线CD恰ADC=B。 （1）求证：直线CD是O的的切线； （2）过点A作直线AB的垂线交BD的延长线于点E，且AB=，BD=2，求线段AE的长。18.（2022四川遂宁，24，10分）如图，在O中，直径ABCD，垂足为E，点M在OC上
49、，AM的延长线交O于点G，交过C的直线于F，1=2，连结CB与DG交于点N（1）求证：CF是O的切线；（2）求证：ACMDCN；（3）若点M是CO的中点，O的半径为4，cosBOC=，求BN的长考点：圆的综合题分析：（1）根据切线的判定定理得出1+BCO=90，即可得出答案；（2）利用已知得出3=2，4=D，再利用相似三角形的判定方法得出即可；（3）根据已知得出OE的长，进而利用勾股定理得出EC，AC，BC的长，即可得出CD，利用（2）中相似三角形的性质得出NB的长即可解答：（1）证明：BCO中，BO=CO，B=BCO，在RtBCE中，2+B=90，又1=2，1+BCO=90，即FCO=90，
50、CF是O的切线；（2）证明：AB是O直径，ACB=FCO=90，ACBBCO=FCOBCO，即3=1，3=2，4=D，ACMDCN；（3）解：O的半径为4，即AO=CO=BO=4，在RtCOE中，cosBOC=，OE=COcosBOC=4=1，由此可得：BE=3，AE=5，由勾股定理可得：CE=，AC=2，BC=2，AB是O直径，ABCD，由垂径定理得：CD=2CE=2，ACMDCN，=，点M是CO的中点，CM=AO=4=2，CN=，BN=BCCN=2=点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的判定和勾股定理的应用等知识，根据已知得出ACMDCN是解题关键19（2022贵州省六盘水，
51、21，10分）在RtACB中，C=90，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交与点D，E，且CBD=A（1）判断直线BD与O的位置关系，并证明你的结论（2）若AD：AO=6：5，BC=3，求BD的长考点：切线的判定分析：（1）连接OD，DE，求出ADE=90=C推出DEBCEDB=CBD=A，根据A+OED=90求出EDB+ODE=90，根据切线的判定推出即可； （2）求出AD：DE：AE=6：8：10，求出ADEACB，推出DC：BC：BD=AD：DE：AE=6：8：10，代入求出即可解答：（1）直线BD与O的位置关系是相切，证明：连接OD，DE，C=90，CBD+CD
52、B=90，A=CBD，A+CDB=90，OD=OA，A=ADO，ADO+CDB=90，ODB=18090=90，ODBD，OD为半径，BD是O切线；（2）解：AD：AO=6：5，=，由勾股定理得：AD：DE：AE=6：8：10，AE是直径，ADE=C=90，CBD=A，ADEACB，DC：BC：BD=AD：DE：AE=6：8：10，BC=3，BD=点评：本题考查了切线的判定，平行线性质和判定，等腰三角形性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力20（2022贵州省黔东南州，22，12分）如图，在直角三角形ABC中，ABC=90（1）先作ACB的平分线；设它交AB边于点O，
53、再以点O为圆心，OB为半径作O（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）证明：AC是所作O的切线；（3）若BC=，sinA=，求AOC的面积考点：作图复杂作图；切线的判定分析：（1）根据角平分线的作法求出角平分线FC，进而得出O；（2）根据切线的判定定理求出EO=BO，即可得出答案；（3）根据锐角三角函数的关系求出AC，EO的长，即可得出答案解答：（1）解：如图所示：（2）证明：过点O作OEAC于点E，FC平分ACB，OB=OE，AC是所作O的切线；（3）解：sinA=，ABC=90，A=30，ACB=OCB=ACB=30，BC=，AC=2，BO=tan30BC=1，AOC的面积为：ACOE
54、=21=点评：此题主要考查了复杂作图以及切线的判定和锐角三角函数的关系等知识，正确把握切线的判定定理是解题关键21（2022河北省，24，14分）如图16，OAB中，OA = OB = 10，AOB = 80，以点O为圆心，6为半径的优弧分别交OA，OB于点M，N. （1）点P在右半弧上（BOP是锐角），将OP绕点O逆时针旋转80得OP. 求证：AP = BP； （2）点T在左半弧上，若AT与弧相切，求点T到OA的距离； （3）设点Q在优弧上，当AOQ的面积最大时，直接写出BOQ的度数. 解析：（1）证明：如图2，AOP=AOB+BOP=80+BOP.BOP=POP+BOP=80+BOPAOP
55、=BOP2分又OA=OB，OP=OPAOPBOP4分AP=BP5分（2）解：连接OT，过T作THOA于点HAT与相切，ATO=906分=87分=,即=TH=，即为所求的距离9分（3）10，17011分【注：当OQOA时，AOQ的面积最大，且左右两半弧上各存在一点】22（2022黑龙江省哈尔滨市，25） 如图，在ABC中，以BC为直径作半圆0，交AB于点D，交AC于点EAD=AE (1)求证：AB=AC； (2)若BD=4，BO=，求AD的长考点：（1）圆周角定理；全等三角形的性质；相似三角形的判定分析：连接CD、BE，利用直径所对圆周角900、证明ADCAEB得AB=AC，（2）利用OBDAB
56、C得得BC=4再求AB=10从而 AD=ABBD=6此题利用相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用解答：(1)证明：连接CD、BE BC为半圆O的直径BDC=CEB=900 LADC=AEB=900 又AD=AE A=AADCAEB AB=AC(2)解：连接0D OD=OBOBD=ODB AB=AC 0BD=ACB ODB=ACB 又OBD=ABCOBDABC BC=4又BD=4 AB=10 AD=ABBD=623（2022湖北省咸宁市，1，8分）如图，ABC内接于O，OC和AB相交于点E，点D在OC的延长线上，
57、且B=D=BAC=30（1）试判断直线AD与O的位置关系，并说明理由；（2）AB=6，求O的半径考点：切线的判定；解直角三角形分析：（1）连接OA，求出AOC=2B=60，根据三角形内角和定理求出OAD，根据切线判定推出即可；（2）求出AEC=90，根据垂径定理求出AE，根据锐角三角函数的定义即可求出AC，根据等边三角形的性质推出即可解答：解：（1）直线AD与O相切理由如下：如图，连接OAB=30，AOC=2B=60，OAD=180AODD=90，即OAAD，OA为半径，AD是O的切线（2）OA=OC，AOC=60，ACO是等边三角形，ACO=60，AC=OA，AEC=180EACACE=90
58、，OCAB，又OC是O的半径，AE=AB=6=3，在RtACE中，sinACE=sin 60，AC=6，O的半径为6点评：本题考查了切线的判定，含30度角的直角三角形，锐角三角函数的定义，等边三角形的性质和判定的应用，主要考查了学生综合运用性质进行推理的能力24.（2022湖北黄冈，20，7分）如图，AB为O的直径，C为O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分DAB（1）求证：DC为O的切线（2）若O的半径为3，AD4，求AC的长【答案】（1）证明：连接OCOCOA，OACOCA又OACDAC，DACOCAOCAD，OCCD，即DC为O的切线（2）解：连接BC由（1）知ADC
59、ACB，即AC2ADAB又O的半径为3，AB6，AD4，AC【解析】（1）证明DC为O的切线，就是要连接OC，证明OCDC（2）连接BC，证明ADCACB，利用相似三角形的对应边相等计算求解【方法指导】本题考查圆的直径所对的圆周角是直角、切线的证明及相似三角形的判定和性质证明圆的切线有两种常用方法：1.当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”2.当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”后面一种方法的应用在中考试卷中渐呈增多趋势，要引起注意25（2022江苏苏州，27，
60、8分）如图，在RtABC中，ACB90，点D是边AB上一点，以BD为直径的O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F第27题图（1）求证：BDBF；（2）若CF1，cosB，求O的半径【思路分析】（1）连接OE，由AC为圆O的切线，利用切线的性质得到OE垂直于AC，再由BC垂直于AC，得到OE与BC平行，根据O为DB的中点，得到E为DF的中点，即OE为三角形DBF的中位线，利用中位线定理得到OE为BF的一半，再由OE为DB的一半，等量代换即可得证；（2）在直角三角形ABC中，由cosB的值，设BC=3x，得到AB=5x，由BC+CF表示出BF，即为BD的长，再由OE为BF的一
61、半，表示出OE，由ABOB表示出AO，在直角三角形AOE中，利用两直线平行同位角相等得到AOE=B，得到cosAOE=cosB，根据cosB的值，利用锐角三角函数定义列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可求出圆的半径长【解】（1）证明：连接OE，AC与圆O相切，OEAC，BCAC，OEBC，又O为DB的中点，E为DF的中点，即OE为DBF的中位线，OE=BF，又OE=BD，则BF=BD；（2）解：设BC=3x，根据题意得：AB=5x，又CF=1，BF=3x+1，由（1）得：BD=BF，BD=3x+1，OE=OB=，AO=ABOB=5x=，OEBF，AOE=B，cosAOE=cosB，即
62、=，即=，解得：x=，则圆O的半径为=【方法指导】此题考查了切线的性质，锐角三角函数定义，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键【易错警示】记不住圆的有关性质而出错26（2022江苏扬州，25，10分）如图，ABC内接于O，弦ADAB交BC于点E，过点B作O的切线交DA的延长线于点F，且ABF=ABC.（1）求证：AB=AC；（2）若AD=4，ABF=，求DE的长.【思路分析】（1）如图，由BF是O的切线，利用弦切角定理，可得3=C，又由ABF=ABC，可证得2=C，即可得AB=AC；（2）如图，首先连接BD，作AGBC于点GD=2=3，可得cosD=cos3=，然后在RtABD中，
63、利用勾股定理即可求得BD的长，继而在RtABG中求得BG的长，则可求得答案【解】（1）证明:连接BD，由ADAB得BD必过圆心O，BF是O的切线，BDBF，ABF+ABD=90.又ADAB，D+ABD=90.ABF=D.ABF=ABC，D=C，C=ABC，AB=AC;（2）解：ABF=D，ABF=，D=.在RtABD中，AD=4，DB=，由勾股定理得AB=3.由（1）知ABF=ABE, ABF=,ABE=.在RtABE中，EB=.由勾股定理得AE=，所以DE=AD-AE=4-=.【方法指导】此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及三角函数等知识此题难度适中，注意掌握辅助线的作
64、法，注意数形结合思想的应用【易错警示】不知道怎么作辅助线而无法解答27.（2022贵州安顺，25，12分）如图，AB是O直径，D为O上一点，AT平分BAD交O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C。（1）求证：CT为O的切线；（2）若O半径为2，CT=，求AD的长。【思路分析】（1）连接OT，根据角平分线的性质，以及直角三角形的两个锐角互余，证得CTOT，CT为O的切线；（2）证明四边形OTCE为矩形，求得OE的长，在直角OAE中，利用勾股定理即可求解【解】（1）证明：连接OTOA=OT，OAT=OTA，又AT平分BAD，DAT=OAT，DAT=OTA，OTAC，又CTAC，CTOT，C
65、T为O的切线；（6分）（2）过O作OEAD于E，则E为AD中点，又CTAC，OECT，四边形OTCE为矩形， CT=，OE=又OA=2在RtOAE中，AE=,AD=2AE=2（12分）【方法指导】本题主要考查了切线的判定以及性质，证明切线时可以利用切线的判定定理把问题转化为证明垂直的问题28（2022山东临沂，23，9分）如图，在ABC中，ACB90，E为BC上一点，以CE为直径作O，AB与O相切于点D，连接CD，若BEOE2（1）求证：A2DCB；（2）求图中阴影部分的面积（结果保留和根号）ABCODE【答案】：（1）证明：连接ODAB与O相切于点D，ODB90，BDOB90ACB90，AB
66、90，ADOBOCOD，DOB2DCBA2DCBABCODE（2）方法一：在RtODB中，ODOE，OEBE，sinB，B30，DOB60BDOBsin60，SDOBODDB2S扇形ODES阴影SDOBS扇形ODE方法二：连接DE，在RtODB中，BEOE2，DEOBOEODOE，DOE为等边三角形，即DOB60【方法指导】本题综合了三角形与圆的性质、切线的性质、特殊角的三角函数等多个知识点。29（2022山东滨州，22，8分）如图，在ABC中，AB=AC，点O在边AB上，O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，EFAC，垂足为F求证：直线EF是O的切线【答案】：证明：连接OE， OB =
67、 OE， B = OEB AB = AC， B = C OEB = C OEAC EFAC， OEEF 直线EF是O的切线【解析】连接OE，则根据OB=OE可得：B=OEB,由AB=AC，可得C=B，继而可得OEB=C，根据平行线的判定可得OEAC,再根据平行线的性质得OEF=CFE=90,则OEEF，由切线的判定定理即可得出结论【方法指导】本题考查了切线的判定、平行线的性质及判定和等腰三角形的性质，关键是作出辅助线，利用等角代换得出OEF为直角，难度一般30. （2022广东省，24，9分）如题24图，O是RtABC的外接圆，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BEDC交DC的延长线于点E（
68、1）求证：BCA=BAD；（2）求DE的长；（3）求证：BE是O的切线【思路分析】（1）由“等弦”可以直接得到“等圆周角”；（2）由同弧所对的圆周角相等及直角对应相等可证两三角形相似，再由相似可计算DE的长；（3）判定. BE是O的切线有多种办法，比较简单的方法是由BA=BD得OBD=OBA，然后利用平行线证垂直。【解】（1）在O中，弦BD=BA，且圆周角BCA和BAD分别对BA和BD，BCA=BAD.（2）BEDC，又BAC=EDBABCDEB，在RtABC中，AB=12，BC=5，由勾股定理得AC=13，DE=.（3）方法一：如图，连结OB，OA=OBOAB=OBABA=BDOBD=OBA
69、又BDC=OBAOBD=BDCOBDEODE=即BEOB于B，所以，BE是O的切线.方法二：连结OBOB=OCOBC=OCB四边形ABCD内接于OBAC+BCD=180又BCE+BCD=180BCE=BAC由(1)知BCA=BADBCE=OBCOBDEBEDEBEOB于B，所以，BE是O的切线.【方法指导】解决本题这类多步问题，有一个常规的思路，就是解决后面的问题往往要用到前面的结论，比如本题，解决第二问时要用到第一问的结论，解决第三问时，要用到前两问的结论.31(2022浙江湖州,20,8分)如图，已知P是O外一点，PO交O于点C，OCCP2，ABOC，劣弧AB的度数为120，连结PB（1）
70、求BC的长；（2）求证：PB是O的切线【思路分析】（1）首先连接OB，由弦ABOC，劣弧AB的度数为120，易证得OBC是等边三角形，则可求得BC的长；（2）由OC=CP=2，OBC是等边三角形，可求得BC=CP，即可得P=CBP，又由等边三角形的性质，OBC=60，CBP=30，则可证得OBBP，继而证得PB是O的切线【解】 （1）连结OB弦ABOC，劣弧AB的度数为120，COB60又OCOB，OBC是正三角形BCOC2（2）证明：BCCP，CBPCPBOBC是正三角形，OBCOCB60CBP30OBPCBPOBC90OBBP点B在O上，PB是O的切线【方法指导】此题考查了切线的判定、等边
71、三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用32. （2022江苏泰州，23，10分）如图AB是O的直径，AC、 DC为弦，ACD=60，P为AB延长线上的点，APD=30.(1)求证：DP是O的切线；(2)若O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积.【思路分析】（1）连接OD,BD，证PDOD；（2） 先解直角三角形POD，求PD长，然后观察到计算.【解】(1)证明：连接OD,BDOD=OB ABD=ACD=60OBD是等边三角形DOB=60DOB+ODP +APD =180 APD=30ODP =90PDODPD是O的切线. (2)在RtP
72、OD中，OD=3cm, APD=30 ， 图中阴影部分的面积【方法指导】本题主要考查圆切线判定，等边三角形性质及扇形面积的求法，并融合解直角三角形知识，体现了在知识的交汇点处命题的思想，始终关注核心知识、技能的考查求阴影面积类问题也是各地中考热点题型，往往采用整体减部分得部分的思想转化为规则图形求解33（2022山东德州,20,8分）如图，已知O的半径为1，DE是O的直径，过D点作O的切线AD，C是AD的中点，AE交O于B点，四边形BCOE是平行四边形。（1）求AD的长；（2）BC是O的切线吗？若是，给出证明，说明理由。【思路分析】本题考查了圆的基本性质、直线与圆位置关系与 平行四边形等.（1
73、）根据平行四边形性质，通过添加辅助线（连接BD），再根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半可求出AD长；（2）连接OB，证OBBC即可.【解】1）连接BD，则DBE=90，四边形BCOE是平行四边形，BCOE，BC=OE=1在RtABD中，C为AD的中点，BC=AD=1AD=2（2）连接OB，由（1）得BCOD，且BC=OD。四边形BCDO是平行四边形又AD是O的切线。ODAD四边形BCDO是矩形。OBBCBC是O的切线【方法指导】本题以圆为背景，但考查了圆周角、圆的切线性质判定与性质、平行四边形、矩形等知识.一般情况下，证明一条直线是否为圆的切线，看这条直线是否过径外断，如果没有，哪可以添加
74、这条辅助线，再证其相互垂直.34（2022山东菏泽，17，10分） 如图，BC是O的直径， A是O上一点，过点C作O的切线，交BA的延长线于点D，取CD的中点E,AE的延长线与BC的延长线交于点P.（1）求证：AP是O的切线；（2）若OC=CP，AB=6，求CD的长.【思路分析】（1）连接OA，证OAPA即可；（2） 转化为直角三角形中，根据锐角三角函数边角关系求解.【解】（1）证明：连接AO，AC.BC是O的直径BAC=90CAD=90CABODEP（第18题）点E是CD的中点CE= CE= AE2分在等腰EAC中，ECA= EACOA=OC OAC= OCACD是O的切线CDOCECA +
75、 OAC = 90EAC + OAC = 90OAAPAP是O的切线5分（2）由（1）知OAAP在RtOAP中，OAP = 90, OC= CP= OA即OP= 2OA，,7分又在RtDAC中，CAD = 90, ACD = 90-ACO= 3010分【方法指导】本题考查了圆的切线性质、判定，与圆有关的基本性质，直角三角形相关知识等.在运用切线的性质时，若已知切点，连接切点和圆心，得垂直；若不知切点，则过圆心向切线作垂直，即“知切点连半径，无切点作垂直”35.（2022四川凉山州，27，8分）在同一平面直角坐标系中有5个点：（1，1），（，），（，1），（，），（0，）。 （1）画出的外接圆，
76、并指出点与的位置关系； （2）若直线经过点（，），（，），判断直线与的位置关系。123-1-2-3O-1-2-3123（第27题图）xy【思路分析】（1）要画出圆，只要确定圆的圆心与圆的半径就可以了，判断点与圆的位置关系就是要比较点到圆心的距离与圆的半径的大小即可；（2）只要证明PD即可。【解】（1）（1，1），（，），（，1），。=，是直角三角形，且AB斜边。的外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为（-1，0），半径为。画图如图所示。（，），P （-2，0），点在上。（2）直线与相切。理由如下：连结PE，直线经过点（，），（，），,PDE是直角三角形，且PDE=90。PD，直线与相切。【方法指导
77、】本题考查的圆的知识，涉及到的知识比较多，三点确定一个圆，直径所对的圆周角是直角，判断点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系。36（2022广东湛江，23，10分）如图，已知AB是O的直径，P为O外一点，且OPBC，PBAC（1）求证：PA为O的切线；（2）若OB=5，OP=，求AC的长【思路分析】（1）设法证OAP=90,(2)利用垂径定理，勾股定理及面积法可求AC的长。【解】（1）设AC与OP相交于点HAB是直径，ACBC，BAC+B=90OPBC，OPAC，AOB=BP=BACP+AOP=90，于是OAB=90PA为O的切线（2）OPAC，AC=2AH在直角三角形PAO中，AP=由面积法可知：所以AC=8【方法指导】一、判别直线是圆的切线有两种方法，如果直线与圆有交点，则连接交点与圆心，证这条线段垂直于直线即可；如果直线与圆没有直接的联系，则过圆心作直线的垂线段，证垂线段等于圆的半径即可。二、求线段的长度有以下常用的方法：1.用勾股定理，适用于已知两边的直角三角形中；2.用相似三角形，适用于有相似三角形的图形中；3.面积法，适用于有直角三角形的图形中有高的存在。51
