1、高考资源网（） 您身边的高考专家5离散型随机变量的均值与方差知识点一 离散型随机变量的均值(数学期望) 填一填设随机变量X的可能取值为a1，a2，ar，取ai的概率为pi(i1,2，r)，即X的分布列为P(Xai)pi(i1,2，r)X的均值为：a1P(Xa1)a2P(Xa2)arP(Xar)a1p1a2p2arpr，即随机变量X的取值ai乘上取值为ai的概率P(Xai)再求和X的均值也称作X的数学期望(简称期望)，它是一个数，记为EX，即EXa1p1a2p2arpr.均值EX刻画的是X取值的“中心位置”两点分布的均值为p，二项分布的均值为p(1p)答一答1离散型随机变量的均值一定是在试验中出
2、现概率最大的值吗？提示：不一定，如，EX0.5，在试验中不能出现，均值刻画的是X取值的“中心位置”知识点二 离散型随机变量的方差 填一填一般地，设X是一个离散型随机变量，我们用E(XEX)2来衡量X与EX的平均偏离程度，E(XEX)2是(XEX)2的期望，并称之为随机变量X的方差，记为DX.方差越小，则随机变量的取值就越集中在均值周围，反之，方差越大，则随机变量的取值就越分散，两点分布的方差为p(1p)，二项分布的方差为npq.答一答2随机变量的方差与样本方差有何联系和区别？提示：随机变量的方差是常数，样本方差是随机变量，对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越接近于总体方差1对离散
3、型随机变量的均值与方差的理解(1)EX是一个实数，由X的分布列唯一确定，它描述X取值的“平均水平”(2)EXa1p1a2p2arpr直接给出了EX的求法，即随机变量的取值与相应概率值分别相乘后再相加(3)DX与EX一样也是一个实数，它表示随机变量X相对EX的偏离程度，DX越大表明偏离EX的程度越大，说明X的取值越分散；反之，DX越小，X的取值越集中在EX附近2均值与方差的性质(1)E(C)C(C为常数)(2)E(aXb)aEXb.(3)D(C)0(C为常数)(4)D(aXb)a2DX.3几种特殊类型的随机变量的均值与方差(1)超几何分布：设X服从参数为N，M，n的超几何分布，即P(Xk)(k0
4、,1,2，l，lminM，n)，则EX，DX(此公式只需了解，不要求记忆)(2)二项分布：设XB(n，p)，即P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2，n)，则EXnp，DXnp(1p)题型一 离散型随机变量的均值 例1某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令表示该公司的资助总额(1)写出的分布列；(2)求数学期望E.思路探究两位专家给三个方案做评审，则结果为支持的个数X可能为0,
5、1,2,3,4,5,6.本题可视为进行6次独立重复试验，获得支持即为试验成功，则获得支持的个数X服从n6，p的二项分布由题意知X0对应0，X1对应5，X2对应10，X3对应15，X4对应20，X5对应25，X6对应30.解(1)的可能取值为0,5,10,15,20,25,30.P(0)P(X0)C()0()60，P(5)P(X1)C()6，P(10)P(X2)C()6，P(15)P(X3)C()6，P(20)P(X4)C()6，P(25)P(X5)C()6，P(30)P(X6)C()6.该公司的资助总额的分布列为051015202530P(2)E05101520253015.规律方法 求离散型
6、随机变量X的均值的步骤：(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；(2)求X取每个值的概率；(3)写出X的分布列(有时可以略)；(4)由均值的定义求EX.有一名运动员投篮的命中率为0.6，现在他进行投篮训练，若没有投进则继续投篮，若投进则停止，但最多投篮5次，求他投篮次数的数学期望解：若该运动员投篮1次，则P(1)0.6；若投篮2次，则说明他第1次没有投进，而第2次投进，P(2)0.60.40.24；若投篮3次，则说明他前2次没有投进，而第3次投进，P(3)0.420.6；若投篮4次，则说明他前3次没有投进，而第4次投进，P(4)0.430.6；若投篮5次，则说明他前4次没有投进，而第5次投进
7、与否均可，所以概率为P(5)0.441.所以的分布列为12345P0.60.240.0960.038 40.025 6所以，投篮次数的数学期望为E10.620.2430.09640.038 450.025 61.649 6.题型二 二项分布的均值与方差 例2某队共3人参加知识竞赛，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分假设该队中每人答对的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响用表示该队的总得分求随机变量的均值和方差思路探究我们将每人回答问题看成做了一次试验，则一共有3次试验，且它们彼此独立；在每次试验中，把“答对问题”看作“成功”，“答错问题”看作“失败”，则每次试验成功的概
8、率都是，分析可知总得分服从参数为n3，p的二项分布解方法一：根据题设可知，B(3，)，因此的分布列为P(k)C()k(1)3k(k0,1,2,3)即k0123P(k)所以均值E01232，方差D(02)2(12)2(22)2(32)2.方法二：因为B(3，)，所以平均值Enp32，方差Dnp(1p)3.规律方法 若离散型随机变量服从二项分布，则其均值和方差既可以利用定义求解，也可以代入二项分布的均值和方差的计算公式求解本题说明EXnp在直观上是明显的：在一次试验中，试验“成功”的次数平均为p；那么，在n次独立重复试验中，试验“成功”的次数平均为np.例3甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标
9、的概率为，乙每次击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为X，乙击中目标的次数为Y，求(1)X的概率分布；(2)X和Y的数学期望思路探究甲、乙击中目标的次数均服从二项分布解(1)P(X0)C3，P(X1)C3，P(X2)C3，P(X3)C3.所以X的概率分布如下表：X0123P(2)由题意XB，YB，EX31.5，EY32.规律方法 如果随机变量X服从二项分布即XB(n，p)，则EXnp；如果随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，则EXn，以上两特例可以作为常用结论，直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制
10、合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立根据该厂现有技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5,0.6，0.4.经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5,0.75.(1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；(2)经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为，求随机变量的期望解：(1)分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A1，A2，A3.设E表示第一次烧制后恰好有一件合格，则P(E)P(A123)P(1A23)P(12A3)0.50.40.60.50.60.60.50.40.40.38.(2)解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率
11、均为p0.3，所以B(3,0.3)，故Enp30.30.9.解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A，B，C，则P(A)P(B)P(C)0.3，所以P(0)(10.3)30.343，P(1)3(10.3)20.30.441，P(2)30.320.70.189，P(3)0.330.027.于是，E10.44120.18930.0270.9.题型三 超几何分布的均值和方差 例4设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再放回，若以X和Y分别表示取出次品和正品的个数(1)求X的分布列、期望值及方差；(2)求Y的分布列、期望值及方差思路探究本题考查离散型随
12、机变量的期望与方差X的取值应是0,1,2，第(2)问求Y分布列及期望，可充分利用X与Y的关系YX3来解同时注意本题的抽取是“不放回抽取”解(1)X的可能值为0,1,2.若X0，表示没有取出次品，其概率为P(X0)，同理，有P(X1)，P(X2).X的分布列为X012PEX012.DX(0)2(1)2(2)2.(2)Y的可能值为1,2,3，显然XY3.P(Y1)P(X2)，P(Y2)P(X1)，P(Y3)P(X0).Y的分布列为Y123PE(Y)E(3X)3E(X)3.YX3，DY(1)2DX.规律方法 解答本题应注意两点：一是该抽取为不放回抽取，二是对XY3的充分利用甲、乙两人参加普法知识竞赛
13、，共设有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道若甲从中随机抽取5道题目，其中判断题的数目为，求的分布列、均值和方差解：方法一：由题意可知，的所有可能取值为0,1,2,3,4，且P(0)，P(1)，P(2)，P(3)，P(4).所以的分布列为01234P均值E012342.方差D(02)2(12)2(22)2(32)2(42)2.方法二：从10道不同的题目中抽取5道，则表示判断题数目的随机变量服从参数为N10，M4，n5的超几何分布，故均值E2，方差D(1).题型四 均值与方差的实际应用 例5据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，工地上有一台大型设备为
14、保护设备有以下三种方案：方案一：运走设备，此时需花费3 800元方案二：建一保护围墙，需花费2 000元但围墙只能防止小洪水，当大洪水来临时，设备受损，损失费为60 000元方案三：不采取措施此时大洪水来临损失60 000元，小洪水来临损失10 000元试比较哪一种方案好思路探究根据题目提供的数据分别确定三种方案所对应的损失费，然后根据损失费的大小比较哪一种方案好解方案一的损失为3 800元，方案二和方案三的损失为随机变量，分别设为X2和X3.因无洪水的概率为10.250.010.74，所以X2、X3的分布列分别为X22 00062 000P0.990.01X3010 00060 000P0.
15、740.250.01它们的平均损失分别为EX22 0000.9962 0000.012 600(元)，EX310 0000.2560 0000.013 100(元)从平均损失的角度看，方案二和方案三都比方案一好，且方案二更好，但它们都要冒一定的风险规律方法 由于三种方案提供了三种不同的损失程度，产生这三种损失的可能性也不同，所以我们考虑用损失费的均值来做决策，通过建立“均值”模型来解决例6A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1，X2.根据市场分析，X1和X2的分布列分别如下表所示：X15%10%P0.80.2X22%8%12%P0.20.50.3(1)在A，B两个项目上各投资100万元，
16、Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY1，DY2；(2)将x(0x100)万元投资A项目，100x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值思路探究(1)分别将A，B两个投资项目的利润率的分布列转化为所获利润的分布列，进而可求方差；(2)由题意求出f(x)D(Y1)D(Y2)，转化为关于x的二次函数求最小值问题解(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3从而EY150.8100.26，DY1(56)20.8(106)20.24；
17、EY220.280.5120.38，DY2(28)20.2(88)20.5(128)20.312.(2)f(x)D(Y1)D(Y2)()2DY1()2DY2x23(100x)2(4x2600x30 000)4(x75)27 500故当x75时，f(x)取得最小值3.规律方法 对于aXb型随机变量的期望与方差，利用期望与方差的性质即可转化为随机变量X的期望与方差的计算解题中要重视其性质的应用某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4 km时租车费为10元，若行驶路程超出4 km，则按每超出1 km加收2元计费(超出不足1 km的部分按1 km计)从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15 k
18、m，某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5 min按1 km路程计费，不足5 min的部分不计费)，这个司机接送一次旅客转换后的行车路程是一个随机变量，设他所收租车费为.(1)求所收租车费关于行车路程的关系式；(2)若随机变量的分布列为X15161718P0.10.50.30.1求所收租车费的数学期望；(3)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15 km，问出租车在途中因故停车累计多长时间？解：(1)依题意得2(4)10，即22，15，N.(2)E150.1160.5170.3180.116.4.22，E
19、E(22)2E234.8.故所收租车费的数学期望为34.8元(3)由3822，解得18，故停车累计时间t转换的路程为18153(km)35t45，即出租车在途中因故停车累计时间t15,20)数学思想系列函数与方程思想在离散型随机变量的均值和方差中的应用例7某城市为准备参加“全国文明城市”的评选，举办了“文明社区”评选的活动，在第一轮暗访评分中，评委会对全市50个社区分别从“居民素质”和“社区服务”两项进行评分，每项评分均采用5分制若设“社区服务”得分为X分，“居民素质”得分为Y分，统计结果如下表：(1)若“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分(即X3，且Y3)的社区可以进入第二轮评比，
20、现从50个社区中随机选取一个社区，求这个社区能进入第二轮评比的概率(2)若在50个社区中随机选取一个社区，求这个社区的“居民素质”得分Y的均值(即数学期望)为，求a，b的值解(1)从表中可以看出，“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分(即X3，且Y3)的社区数量为24个设“这个社区能进入第二轮评比”为事件A，则P(A)，所以这个社区能进入第二轮评比的概率为.(2)由表可知“居民素质”得分Y的所有可能取值为1、2、3、4、5，其对应的社区个数分别为(a4)、(b4)、15、15、9，所以P(Y1)；P(Y2)；P(Y3)；P(Y4)；P(Y5).所以“居民素质”得分Y的分布列为：Y123
21、45P因为“居民素质”得分Y的均值(数学期望)为，所以12345，即a2b5.因为社区总数为50个，所以ab4750，解得a1，b2.规律方法 1.根据分布列及期望值构建方程，从而求出a、b的值，体现了方程思想的运用2本题的易误点：一是Y的分布列不准确；二是由期望值建立方程错误某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元设在一年内事件E发生的概率为p，为使公司收益的期望等于a的10%，公司应要求顾客交多少保险金？解：设保险公司应要求顾客交x元保险金，若以Y表示公司的收益，则Y是一个随机变量，其分布列为YxxaP1pp因此，公司每年收益的期望EYx(1p)p(xa)xa
22、p.为使公司收益的期望等于a的10%，只需EY0.1a，即xap0.1a，可得xap，即当顾客交保险金(ap)元时，可使公司收益的期望为0.1a元1已知随机变量的分布列是123P0.30.50.2则D和E分别等于(D)A0和1B1.9和1C1.9和0.49 D0.49和1.9解析：E10.320.530.21.9，D(11.9)20.3(21.9)20.5(31.9)20.20.49.2已知的分布列为101P，设32，则D等于(D)A4 BC3 D5解析：E101，D(1)2(0)2(1)2.DD(32)9D5.3今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，
23、设发现目标的雷达台数为X，则EX等于(B)A0.765 B1.75C1.765 D0.22解析：X的可能取值为0,1,2，因为P(X0)0.10.150.015，P(X1)0.90.150.10.850.22，P(X2)0.90.850.765，所以EX0.220.76521.75.4有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X表示取到次品的个数，则EX等于3,5.解析：由题意知，X服从超几何分布，其中N10，M3，n2，EX.5设随机变量满足P(1)p，P(0)1p，则Dp(1p)解析：显然这是一个两点分布，Dp(1p)6若XB(n，p)，且EX6，DX3，求P(X1)的值解：EXnp6
24、，DXnp(1p)3，p，n12.P(X1)C()1()113()10.7一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望解：(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，则P(A).所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).所以随机变量X的分布列是X1234P随机变量X的数学期望EX1234.- 17 - 版权所有高考资源网
