1、2016-2017学年江苏省泰州市姜堰区艺术中学高二（上）第一次月考数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1命题“xR，x2+2x60”的否定2椭圆的离心率e=3抛物线y2=16x的焦点坐标是4双曲线的两条渐近线方程为5已知双曲线的实轴长为16，虚轴长为12，则双曲线的离心率为6椭圆4x2+y2=16的长轴长等于7“x=1”是“x2=1”的条件（从“充分而不必要”、“必要而不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”中选择适当的一种填空）8若F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，过F1作直线与椭圆交于A、B，则ABF2的周长为9在RtABC中，C=90，则sinAsinB的最大值
2、是10已知双曲线的方程为，则实数m的取值范围是11设等比数列an的前n项和为Sn，S4=1，S8=17，则首项a1=12椭圆的短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为13若抛物线y2=2px（p0）的准线与圆x2+y24x+2y4=0相切，则p=14已知点A（1，1），B，C是抛物线y2=x上三点，若ABC=90，则AC的最小值为二、解答题（本题共6小题，共90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（14分）已知命题p：任意xR，x2+1a，命题q：方程=1表示双曲线（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围16（
3、14分）已知椭圆C的方程为（1）求k的取值范围； （2）若椭圆C的离心率，求k的值17（14分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=3，cosB=（1）求b的值；（2）求sin2C的值18（16分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点M（4，）（1）求双曲线方程；（2）若点N（3，m）在双曲线上，求证： 1N2=019（16分）已知抛物线C顶点在坐标原点，准线方程为x=1（）求抛物线C的方程（）若直线经过抛物线C的焦点，与抛物线交于A，B两点，且线段AB中点的横坐标为2，求直线AB的方程20（16分）若椭圆过点（3，2）离心率为，O的
4、圆心为原点，直径为椭圆的短轴，M的方程为（x8）2+（y6）2=4，过M上任一点P作的切线PA、PB切点为A、B（1）求椭圆的方程；（2）若直线PA与M的另一交点为Q当弦PQ最大时，求直线PA的直线方程；（3）求的最大值与最小值2016-2017学年江苏省泰州市姜堰区艺术中学高二（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1命题“xR，x2+2x60”的否定xR，x2+2x60【考点】命题的否定【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“xR，x2+2x60”的否定是：xR，x2+2
5、x60故答案为：xR，x2+2x60【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题2椭圆的离心率e=【考点】椭圆的简单性质【分析】由椭圆的方程可得a2，b2，可得c=，再利用离心率计算公式即可得出【解答】解：由椭圆的方程可得a2=9，b2=1，a=3，c=故答案为：【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3抛物线y2=16x的焦点坐标是（4，0）【考点】抛物线的简单性质【分析】直接由y2=2px（p0）型抛物线的方程求得p，进一步得到的值，则答案可求【解答】解：由y2=16x，得2p=16，则p=8，抛物线y2=16x的焦点坐标是（4，
6、0）故答案为：（4，0）【点评】本题考查了抛物线的简单性质，是基础题4双曲线的两条渐近线方程为【考点】双曲线的简单性质【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程【解答】解：双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上 而双曲线的渐近线方程为y=x双曲线的渐近线方程为故答案为：【点评】本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想5已知双曲线的实轴长为16，虚轴长为12，则双曲线的离心率为【考点】双曲线的简单性质【分析】根据双曲线的基本概念得到a=8，b=6，由此算出c，再用双曲线离心率公式
7、即可算出该双曲线的离心率【解答】解：不妨设双曲线方程为（a0，b0）双曲线的实轴长为16，虚轴长为12，2a=16，2b=12，可得a=8，b=6，c=10由此可得双曲线的离心率为e=故答案为：【点评】本题给出双曲线实轴与虚轴，求它的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题6椭圆4x2+y2=16的长轴长等于8【考点】椭圆的简单性质【分析】化椭圆方程为标准方程，求出长半轴长，则答案可求【解答】解：由4x2+y2=16，得，椭圆为焦点在y轴上的椭圆，则a2=16，a=4椭圆4x2+y2=16的长轴长等于2a=24=8故答案为：8【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆
8、的标准方程，是基础的计算题7“x=1”是“x2=1”的充分而不必要条件（从“充分而不必要”、“必要而不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”中选择适当的一种填空）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】“x=1”“x2=1”，“x2=1”“x=1，或x=1”【解答】解：“x=1”“x2=1”，“x2=1”“x=1，或x=1”，“x=1”是“x2=1”的充分而不必要条件，故答案为：充分而不必要【点评】本题考查充分而不必要条件、必要而不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的判断，解题时要熟练掌握基本定义，合理地进行判断8若F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，过F1作直线与椭圆交于A、B
9、，则ABF2的周长为16【考点】椭圆的简单性质【分析】根据题意，分析可得ABF2的周长等于AF1+AF2+BF1+BF2=4a，由椭圆的标准方程可得a的值，计算可得答案【解答】解：根据题意，在椭圆+=1中，a=4，则=AB+AF2+BF2=AF1+BF1+AF2+BF2=AF1+AF2+BF1+BF2=4a=8，即ABF2的周长为8；故答案为16【点评】本题考查椭圆的性质，注意将ABF2的周长转化为A、B两点到椭圆两个焦点的距离之和9在RtABC中，C=90，则sinAsinB的最大值是【考点】基本不等式在最值问题中的应用；任意角的三角函数的定义【分析】利用基本不等式直接转化，sinAsinB
10、，即可得答案【解答】解：由基本不等式得sinAsinB，在RtABC中，C=90，A+B90，sinAsinB=，等号当sinAsinB成立故应填【点评】考查基本不等式与两个角和为90，则两解的弦的平方和是110已知双曲线的方程为，则实数m的取值范围是0m【考点】双曲线的标准方程【分析】根据方程表示双曲线，可知m（2m1）0，从而可求实数m的取值范围【解答】解：方程表示双曲线，m（2m1）00m，故答案为：0m【点评】本题考查的重点是双曲线的标准方程，解题的关键是确定双曲线标准方程中平方项的分母异号11设等比数列an的前n项和为Sn，S4=1，S8=17，则首项a1=或【考点】等比数列的前n项
11、和【分析】由等比数列前n项和公式列出方程组，由此能求出首项【解答】解：等比数列an的前n项和为Sn，S4=1，S8=17，解得，q=2或，q=2，首项a1为故答案为：【点评】本题考查等比数列的首项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用12椭圆的短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为【考点】椭圆的简单性质【分析】根据正三角形的性质可知b=3c，进而根据a，b和c的关系进而求得a和c的关系，则椭圆的离心率可得【解答】解：依题意可知b=3ca=ce=故答案为：【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质考查了学生对椭圆基础知识的把握和理解13若抛物线y2=2
12、px（p0）的准线与圆x2+y24x+2y4=0相切，则p=2【考点】抛物线的简单性质；圆的一般方程【分析】由圆的方程求出圆心坐标和半径，再由圆心到抛物线的准线的距离等于圆的半径求得p【解答】解：由x2+y24x+2y4=0，得（x2）2+（y+1）2=9，圆x2+y24x+2y4=0是以（2，1）为圆心，以3为半径的圆，抛物线y2=2px（p0）的准线x=与圆x2+y24x+2y4=0相切，2（）=3，即p=2故答案为：2【点评】本题考查了圆的一般方程化标准方程，考查了抛物线的简单性质，训练了点到直线的距离公式，是基础题14已知点A（1，1），B，C是抛物线y2=x上三点，若ABC=90，则
13、AC的最小值为2【考点】抛物线的简单性质【分析】设出B，C的坐标，求出AB，BC的斜率，由斜率乘积等于1求得B，C两点纵坐标间的关系，由两点间的距离公式得到|AC|，转化为B的纵坐标的函数，借助于基本不等式求最值【解答】解：设B（），C（），则，由ABC=90，得kABkBC=1，即（y1+1）（y2+y1）=1，=，|AC|=不妨设y1+10，当且仅当，即y1=0时上式等号成立，此时取最小值1，AC的最小值为2故答案为：2【点评】本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了直线垂直的条件，训练了利用基本不等式求最值，考查了计算能力，是中档题二、解答题（本题共6小题，共90分解答时应写出文字说明、证
14、明过程或演算步骤）15（14分）（2012秋南京期末）已知命题p：任意xR，x2+1a，命题q：方程=1表示双曲线（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假；命题的真假判断与应用【分析】（1）由题意先求出f（x）的最小值，然后结合命题p为真命题，可知af（x）min，从而可求a的范围（2）因由为真命题，可知a+20，可求a的范围，然后结合p且q可知p，q都为真，可求【解答】解（1）记f（x）=x2+1，xR，则f（x）的最小值为1，（2分）因为命题p为真命题，所以af（x）min=1，即a的取值范围为（，1 （2）因为q为真
15、命题，所以a+20，解得a2因为“p且q”为真命题，所以即a的取值范围为（2，1（8分）说明：第（1）问得出命题p为真命题的等价条件a1，给，没过程不扣分，第（2）问分两步给，得到a2给（2分），得到x（2，1给（2分），少一步扣（2分）【点评】本题主要考查了复合命题的真假关系的应用，解题的关键是准确求出命题p，q为真时参数的范围16（14分）（2013春宝安区期末）已知椭圆C的方程为（1）求k的取值范围； （2）若椭圆C的离心率，求k的值【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）根据题意，方程表示椭圆，则 x2，y2项的系数均为正数且不相等列出不等关系，解可得答案（2）先根据题意利用k表示出a，b
16、，进而根据离心率列出关于k的方程，则k的值可得【解答】解：（1）方程表示椭圆，则，解得 k（1，5）（5，9）（2）当9kk1时，依题意可知a=，b=c=k=2；当9kk1时，依题意可知b=，a=c=k=8；k的值为2或8【点评】本题考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质，注意其标准方程的形式与圆、双曲线的标准方程的异同，考查运算能力，属基础题17（14分）（2016秋姜堰区校级月考）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=3，cosB=（1）求b的值；（2）求sin2C的值【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）由已知利用余弦定理即可解得得解b的值（2）利用余弦定理可求
17、cosC的值，结合同角三角函数基本关系式可求sinC的值，进而利用二倍角公式即可计算得解【解答】解：（1）由余弦定理，b2=a2+c22accosB，可得：，解得：（2）=，又C是ABC的内角，sin2C=2sinCcosC=2=【点评】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18（16分）（2016秋姜堰区校级月考）已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点M（4，）（1）求双曲线方程；（2）若点N（3，m）在双曲线上，求证： 1N2=0【考点】双曲线的简单性质【分析】（1）e=，故可等轴设双曲
18、线的方程为x2y2=（2），过点M（4，），可得1610=，即可求双曲线方程；（2）求出向量坐标，利用向量的数量积公式，即可证明结论【解答】解：（1）e=，故可等轴设双曲线的方程为x2y2=（2），过点M（4，），1610=，=6双曲线方程为x2y2=6（2）证明：由（1）可知：在双曲线中，a=b=，c=2F1（2，0），F2（2，0）=（23，m），=（23，m）=+m2=3+m2N点在双曲线上，9m2=6，m2=3=0【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查向量的数量积公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题19（16分）（2013秋姜堰市期中）已知抛物线C顶点在坐标原点，准线方程为x
19、=1（）求抛物线C的方程（）若直线经过抛物线C的焦点，与抛物线交于A，B两点，且线段AB中点的横坐标为2，求直线AB的方程【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程【分析】（）由抛物线的定义即可得出；（II）设直线AB的方程为：y=k（x1），A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线的方程联立可得根与系数的关系，再利用中点坐标公式即可得出直线的斜率【解答】解：（）抛物线C顶点在坐标原点，准线方程为x=1，可设抛物线C的方程为：y2=2px（p0），由直线方程可得，解得p=2，抛物线C的方程为：y2=4x（）由（1）可知抛物线C的焦点坐标为（1，0），设直线AB的方程为：y=k（x1），
20、A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y得：k2x2（2k2+4）x+k2=0，解得，所求直线AB的方程为：【点评】本题考查了抛物线的定义、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，属于难题20（16分）（2010徐州一模）若椭圆过点（3，2）离心率为，O的圆心为原点，直径为椭圆的短轴，M的方程为（x8）2+（y6）2=4，过M上任一点P作的切线PA、PB切点为A、B（1）求椭圆的方程；（2）若直线PA与M的另一交点为Q当弦PQ最大时，求直线PA的直线方程；（3）求的最大值与最小值【考点】椭圆的标准方程；平面向量数量积的运算；直线的一般
21、式方程【分析】（1）把点（3，2）代入椭圆方程，进而根据离心率和a，b，c的关系求得a和b，则椭圆方程可得（2）当直线PA过圆M的圆心（8，6），弦PQ最大因为直线PA的斜率一定存在，所以可设直线PA的方程为：y6=k（x8）又因为PA与圆O相切，进而可求得圆心（0，0）到直线PA的距离求得k，则直线方程可得（3）设AOP=，则AOP=BOP，AOB=2，根据二倍角公式求得cosAOB，进而根据=cosAOB求得的最大值与最小值【解答】解：（1）由题意得：解得a=，b=所以椭圆的方程为（2）由题可知当直线PA过圆M的圆心（8，6），弦PQ最大因为直线PA的斜率一定存在，所以可设直线PA的方程为：y6=k（x8）又因为PA与圆O相切，所圆心（0，0）到直线PA的距离为即=，可得k=或k=所以直线PA的方程为：x3y+10=0或13x9y50=0（3）设AOP=，则AOP=BOP，AOB=2，则cosAOB=2cos21=1，=cosAOB=10（）max=，（ ）min=【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程和向量的基本计算考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力
