1、第1讲三角函数的图象与性质做真题题型一三角函数图象及其变换1(2017高考全国卷)已知曲线C1：ycos x，C2：ysin，则下面结论正确的是()A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2解析：选D.易知C1：ycos xsin，把曲线C1上的各点的横
2、坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数ysin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数ysinsin的图象，即曲线C2，故选D.2(2016高考全国卷)函数ysin xcos x的图象可由函数ysin xcos x的图象至少向右平移_个单位长度得到解析：函数ysin xcos x2sin的图象可由函数ysin xcos x2sin的图象至少向右平移个单位长度得到答案：题型二三角函数的性质1(2019高考全国卷)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是()Af(x)|cos 2x|Bf(x)|sin 2x|Cf(x)cos|x|Df(x)sin|x|解析：选A.A中，函数f(x)
3、|cos 2x|的周期为，当x时，2x，函数f(x)单调递增，故A正确；B中，函数f(x)|sin 2x|的周期为，当x时，2x，函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)cos|x|cos x的周期为2，故C不正确；D中，f(x)sin|x|由正弦函数图象知，在x0和x0时，f(x)均以2为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确故选A.2(2019高考全国卷)关于函数f(x)sin|x|sin x|有下述四个结论：f(x)是偶函数；f(x)在区间单调递增；f(x)在，有4个零点；f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是()ABCD解析：选C.通解：f(x)si
4、n|x|sin(x)|sin|x|sin x|f(x)，所以f(x)为偶函数，故正确；当x时，f(x)sin xsin x2sin x，所以f(x)在单调递减，故不正确；f(x)在，的图象如图所示，由图可知函数f(x)在，只有3个零点，故不正确；因为ysin|x|与y|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，所以f(x)可以取到最大值2，故正确综上，正确结论的编号是.故选C.优解：因为f(x)sin|x|sin(x)|sin|x|sin x|f(x)，所以f(x)为偶函数，故正确，排除B；当x时，f(x)sin xsin x2sin x，所以f(x)在单调递减，故不正确，排除A；因为ysin
5、|x|与y|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，所以f(x)的最大值为2，故正确故选C.3(2018高考全国卷)若f(x)cos xsin x在a，a是减函数，则a的最大值是()ABCD解析：选A.法一：f(x)cos xsin xcos，且函数ycos x在区间0，上单调递减，则由0x，得x.因为f(x)在a，a上是减函数，所以解得a，所以0a，所以a的最大值是，故选A.法二：因为f(x)cos xsin x，所以f(x)sin xcos x，则由题意，知f(x)sin xcos x0在a，a上恒成立，即sin xcos x0，即sin0在a，a上恒成立，结合函数ysin的图象可知有解
6、得a，所以0a，所以a的最大值是，故选A.4(2017高考全国卷)设函数f(x)cos(x)，则下列结论错误的是()Af(x)的一个周期为2Byf(x)的图象关于直线x对称Cf(x)的一个零点为xDf(x)在(，)单调递减解析：选D.根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2，所以函数的一个周期为2，A正确；当x时，x3，所以cos1，所以B正确；f(x)coscos，当x时，x，所以f(x)0，所以C正确；函数f(x)cos在上单调递减，在上单调递增，故D不正确所以选D.5(2016高考全国卷)已知函数f(x)sin(x)，x为f(x)的零点，x为yf(x)图象的对称轴，且f(x)在单调
7、，则的最大值为()A11B9C7D5解析：选B.因为x为函数f(x)的零点，x为yf(x)图象的对称轴，所以(kZ，T为周期)，得T(kZ)又f(x)在单调，所以T，k，又当k5时，11，f(x)在不单调；当k4时，9，f(x)在单调，满足题意，故9，即的最大值为9.6(2017高考全国卷)函数f(x)sin2xcos x的最大值是_解析：依题意，f(x)sin2xcos xcos2xcos x1，因为x，所以cos x0，1，因此当cos x时，f(x)max1.答案：1山东省学习指导意见1任意角的三角函数(1)了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化(2)理解任意角三角函数(正弦、
8、余弦和正切)的定义(3)会用诱导公式，理解同角三角函数的基本关系式2三角函数的图象和性质(1)能画出ysin x、ycos x、ytan x的图象(2)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质(如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等)，了解三角函数的周期性(3)了解yAsin(x)的实际意义；能画出yAsin(x)的图象知道参数A、对函数图象变化的影响(4)会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型三角函数的定义、诱导公式及基本关系考法全练1角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边经过点P(4，y)，且sin ，则tan ()ABCD解析：选C.因为角的
9、终边经过点P(4，y)，sin 0，0，|)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为()Af(x)sinBf(x)cosCf(x)cosDf(x)sin【解析】法一：根据函数g(x)的图象可知A1，T，T，2，所以g(x)sin(2x)，所以gsin0，所以k，kZ，k，kZ，又因为|0，0)中参数的值，关键是把握函数图象的特征与参数之间的对应关系，其基本依据就是“五点法”作图(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则MAB，mAB，解得B，A.(2)T定：由周期的求解公式T，可得.记住三角函数的周期T的相关结论：两个相邻对称中心之间的距离等于.两条相邻对
10、称轴之间的距离等于.对称中心与相邻对称轴的距离等于.(3)点坐标定：一般运用代入法求解值，在求解过程中，可以代入图象上的一个已知点(此时A，B已知)，也可代入图象与直线yB的交点(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)注意在确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”，利用“中心点”时要注意其所在单调区间的单调性，避免产生增解 命题角度二图象变换 (1)(一题多解)(2019广州市调研测试)将函数yf(x)的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到ysin的图象，则f(x)()AsinBsinCsinDsin(2)
11、若0，函数ycos的图象向右平移个单位长度后与函数ysin x的图象重合，则的最小值为()ABCD【解析】(1)法一：由题设知，fsin.设xt，则x2t，所以f(t)sinsin.故f(x)sin.故选B.法二：由题设知，先将函数ysin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将所得图象向右平移个单位长度即得函数f(x)的图象，故f(x)sinsin.故选B.(2)函数ycos的图象向右平移个单位长度后，所得函数图象对应的解析式为ycoscos，其图象与函数ysin xcos，kZ的图象重合，所以2k，kZ，所以6k，kZ，又0，所以的最小值为，故选B.【答案】(1)B(2)B三角函数图象的变
12、换规律由函数ysin x的图象变换得到yAsin(x)(A0，0)的图象的两种方法(1)函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”，但是左右平移变换只是针对x作的变换(2)函数f(x)sin(x)的图象向左(右)平移k个单位长度后，其图象对应的函数解析式为g(x)sin(xk)，而不是g(x)sin(xk) 命题角度三三角函数图象的应用 (1)(多选)(2019湖南省湘东六校联考)已知函数f(x)|sin x|cos x|，则下列说法正确的是()Af(x)的图象关于直线x对称Bf(x)的最小正周期为C(，0)是f(x)图象的一个对称中心Df(x)在区间上单调递减(2)已知函数f(x)4sinc
13、os x，若函数g(x)f(x)m在上有两个不同的零点，则实数m的取值范围为_【解析】(1)f(x)|sin x|cos x|sin 2x|，作出函数f(x)的图象如图所示，由图知函数f(x)的图象关于直线x对称，f(x)的最小正周期为，f(x)在区间上单调递减，f(x)的图象无对称中心，故C不正确(2)方程g(x)0同解于f(x)m，在平面直角坐标系中画出函数f(x)2sin在上的图象，如图所示，由图象可知，当且仅当m，2)时，方程f(x)m有两个不同的解【答案】(1)ABD(2)，2)巧用图象解决三角方程或不等式问题解决与三角函数相关的方程以及不等式问题，最基本的方法就是作出对应函数的图象
14、，然后结合函数的图象的特征确定方程的解或不等式的解集准确作出对应函数的图象是解决问题的关键，尤其是作出函数在指定区间上的图象，需要准确把握函数图象的端点值以及最值对点训练1(2019高考天津卷)已知函数f(x)Asin(x)(A0，0，|)是奇函数，且f(x)的最小正周期为，将yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)若g，则f()A2BCD2解析：选C.由f(x)为奇函数可得k(kZ)，又|0，0，00)和g(x)3cos(2x)1的图象的对称轴完全相同，则下列关于g(x)的说法正确的是()A最大值为3B在上单调递减C是g(x)图象的一个对称
15、中心D直线x是g(x)图象的一条对称轴(2)(一题多解)(2019洛阳尖子生第二次联考)已知函数f(x)sin(0)在区间上单调递增，则的取值范围为()ABCD【解析】(1)通解：因为函数f(x)2sin(0)和函数g(x)3cos(2x)1(|)的图象的对称轴完全相同，所以两个函数的周期一定相同，所以2，所以f(x)2sin，由2xk(kZ)，得函数f(x)图象的对称轴方程为x(kZ)，所以cos1(kZ)，所以对任意kZ均存在mZ，使得km.因为|，所以0)和函数g(x)3cos(2x)1的图象的对称轴完全相同，所以两个函数的周期一定相同，所以2，所以f(x)2sin，所以f()2sin2
16、，又2为函数f(x)的最小值，所以直线x为函数f(x)图象的一条对称轴，所以直线x为函数g(x)图象的一条对称轴，故选D.(2)法一：由题意，得，则，又0，所以，kZ，所以k0，则00)的形式，再对比ysin x的性质，即把x看成一个整体处理，但是一定要注意0，否则易出错；其次一定要结合图象进行分析 对点训练1(一题多解)(2019武昌区调研考试)已知函数f(x)sin xcos x(0)的最小正周期为2，则f(x)的单调递增区间是()A(kZ)B.(kZ)C(kZ)D.(kZ)解析：选B.法一：因为f(x)22sin ，f(x)的最小正周期为2，所以1，所以f(x)2sin，由2kx2k(k
17、Z)，得2kx2k(kZ)所以f(x)的单调递增区间为2k，2k(kZ)故选B.法二：因为f(x)22cos，f(x)的最小正周期为2，所以1，所以f(x)2cos，由2kx2k(kZ)，得2kx2k(kZ)，所以f(x)的单调递增区间为(kZ)，故选B.2(2019南昌模拟)已知函数f(x)2sin(x)(01，|)的图象经过点(0，1)，且关于直线x对称，则下列结论正确的是()Af(x)在上是减函数B若xx0是f(x)图象的对称轴，则一定有f(x0)0Cf(x)1的解集是，kZDf(x)图象的一个对称中心是解析：选D.由f(x)2sin(x)的图象经过点(0，1)，得sin ，又|，所以，
18、则f(x)2sin.因为f(x)的图象关于直线x对称，所以存在mZ使得m，得(mZ)，又01，所以，则f(x)2sin.令2nx2n，nZ，得4nx4n，nZ，故A错误；若xx0是f(x)图象的对称轴，则f(x)在xx0处取得极值，所以一定有f(x0)0，故B错误；由f(x)1得4kx4k，kZ，故C错误；因为f0，所以是其图象的一个对称中心，故D正确选D.3(多选)已知函数f(x)，则下列说法错误的是()Af(x)的周期是Bf(x)的值域是y|yR，且y0C直线x是函数f(x)图象的一条对称轴Df(x)的单调递减区间是，kZ解析：选ABC.函数f(x)的周期T2，故A错误；函数f(x)的值域
19、为0，)，故B错误；当x时，x，kZ，即直线x不是f(x)图象的对称轴，故C错误；令kxk，kZ，解得2k0，0)的图象上相邻两个最高点的距离为6，P是该函数图象上的一个最低点，则该函数图象的一个对称中心是()A(1，0)B(2，0)C(3，0)D(4，0)解析：选C.由题意可得函数f(x)的最小正周期T6，则.结合点P的坐标可得A2，且2k(kZ)，得2k(kZ)，所以f(x)2sin2sinx(kZ)令xk(kZ)，得x3k(kZ)，取k1可得该函数图象的一个对称中心是(3，0)三角函数的值域与最值问题典型例题 (1)已知将函数f(x)2sincos x的图象向左平移个单位长度后得到函数y
20、g(x)的图象，则g(x)在上的值域为()ABCD(2)(2019高考全国卷)函数f(x)sin3cos x的最小值为_【解析】(1)因为f(x)2cos xsin xcos xcos2xsin 2xcos 2xsin，所以g(x)sinsin.因为x，所以02x，则sin1，故g(x)1.故选C.(2)因为f(x)sin3cos xcos 2x3cos x2cos2x3cos x1，令tcos x，则t1，1，所以f(x)2t23t1.又函数f(x)图象的对称轴t1，1，且开口向下，所以当t1时，f(x)有最小值4.【答案】(1)C(2)4有关三角函数的值域与最值问题的解题策略(1)形如ya
21、sin xbcos xc的三角函数，要根据三角恒等变换把函数化为yAsin(x)k的形式，再借助三角函数的图象与性质确定值域与最值 (2)形如yasin2xbsin xc的三角函数，转化为二次函数去求解(3)形如yasin xcos xb(sin xcos x)c的三角函数，可先设tsin xcos x，再转化为关于t的二次函数去求解对点训练1(2019济南市模拟考试)若函数f(x)sin(0)在0，上的值域为，则的最小值为()ABCD解析：选A.因为0x，0，所以x.又f(x)的值域为，所以，所以，故选A.2函数f(x)2sin22sincos在区间上的最小值为_解析：由题意得，f(x)1c
22、ossin1sin 2xcos 2x1sin.因为x，所以2x，所以1sin，所以11sin0，所以函数f(x)在上的最小值为1.答案：1一、选择题1(2019高考全国卷)若x1，x2是函数f(x)sin x(0)两个相邻的极值点，则()A2B.C1D.解析：选A.依题意得函数f(x)的最小正周期T2()，解得2，选A.2(2019昆明市诊断测试)函数ysin图象的一条对称轴的方程为()AxBxCxDx解析：选D.由题意，令2xk(kZ)，得对称轴方程为x(kZ)，当k0时，函数ysin图象的一条对称轴的方程为x.故选D. 3(2019广东省七校联考)函数f(x)tan的单调递增区间是()A.
23、，kZB.，kZC.，kZD.，kZ解析：选B.由kk，kZ，得2kx0，|)的部分图象如图所示，点A(0，)，B，则函数f(x)图象的一条对称轴为()AxBxCxDx解析：选D.因为函数f(x)2cos(x)的图象过点A(0，)，所以2cos ，即cos ，所以2k(kZ)因为|，所以，由函数f(x)的图象知0，所以0，所以06，所以4，所以f(x)2cos.因为x时，f(x)2，所以x为函数f(x)图象的一条对称轴，故选D.6(一题多解)(2019武汉市调研测试)已知函数f(x)2sin在区间上单调递增，则的最大值为()A.B1C2D4解析：选C.法一：因为x，所以x，因为f(x)2sin
24、在上单调递增，所以，所以2，即的最大值为2，故选C.法二：逐个选项代入函数f(x)进行验证，选项D不满足条件，选项A、B、C满足条件f(x)在上单调递增，所以的最大值为2，故选C.7(2019福州市第一学期抽测)已知函数f(x)sin 2x2sin2x1在0，m上单调递增，则m的最大值是()A.B.C.D解析：选C.由题意，得f(x)sin 2xcos 2xsin，由2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，k0时，x，即函数f(x)在上单调递增因为函数f(x)在0，m上单调递增，所以0m，即m的最大值为，故选C.8(2019广东六校第一次联考)已知A是函数f(x)sincos的最大值，若存在
25、实数x1，x2使得对任意实数x，总有f(x1)f(x)f(x2)成立，则A|x1x2|的最小值为()A.B.C.D.解析：选B.f(x)sincossin 2 018xcos 2 018xcos 2 018xsin 2 018xsin 2 018xcos 2 018x2sin，故Af(x)max2，f(x)的最小正周期T.又存在实数x1，x2使得对任意实数x，总有f(x1)f(x)f(x2)成立，所以f(x2)f(x)max，f(x1)f(x)min，故A|x1x2|的最小值为AT，故选B.9(多选)已知函数f(x)sin 2xcos 2x，则下列判断错误的是()A关于直线x对称B关于直线x对
26、称C关于点对称D关于点对称解析：选BCD.f(x)sin 2xcos 2xsin，则fsinsin 1，即函数关于直线x对称，故A正确，D错误；fsinsin，则函数不关于直线x对称，也不关于点对称，故B，C错误10(多选)已知函数f(x)sin4xcos4x，则下列说法正确的是()Af(x)的最小正周期为Bf(x)的最大值为2Cf(x)的图象关于y轴对称Df(x)在区间上单调递增解析：选ACD.因为f(x)sin4xcos4xsin2xcos2xcos 2x，所以函数f(x)的最小正周期T，f(x)的最大值为1.因为f(x)cos(2x)cos 2xf(x)，所以f(x)为偶函数，其图象关于
27、y轴对称，因为ycos 2x在上单调递减，所以f(x)cos 2x在上单调递增，故选ACD.11(多选)已知函数f(x)2sin(2x)(0)，若将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称，则下列结论中正确的是()AB.是f(x)图象的一个对称中心Cf()2Dx是f(x)图象的一条对称轴解析：选ABD.由题意得，平移后的函数g(x)f2sin的图象关于y轴对称，则k，kZ，因为0，所以，故A正确；f(x)2sin，由2xk，kZ，得对称中心的横坐标为，kZ，故是f(x)图象的一个对称中心，故B正确；f()2sin2sin 2，故C不正确；由2xk，kZ，得x，kZ，所以x是
28、f(x)图象的一条对称轴，故D正确12(多选)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数g(x)Asin(x)的图象已知函数g(x)的部分图象如图所示，则下列关于函数f(x)的说法正确的是()Af(x)的最小正周期为，最大值为2Bf(x)的图象关于点中心对称Cf(x)的图象关于直线x对称Df(x)在区间上单调递减解析：选ACD.由图可知，A2，T4，所以3.又由g2可得2k(kZ)，且|0，00，0)为奇函数，所以cos 0(00)有零点，且值域M，则的取值范围是_解析：由0x，得x，当x0时，y.因为函数ysin在0，上有零点，所以0，.
29、因为值域M，所以，从而.答案：15(2019蓉城名校第一次联考)已知关于x的方程2sin2xsin 2xm10在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是_解析：因为2sin2xsin 2xm10，所以1cos 2xsin 2xm10，所以cos 2xsin 2xm0，所以2sinm，即sin.方程2sin2xsin 2xm10在上有两个不同的实数根，即ysin，x的图象与y的图象有2个不同的交点作出ysin，x及y的图象如图所示，则1，即2m0，xR，且f()，f().若|的最小值为，则f_，函数f(x)的单调递增区间为_解析：函数f(x)sin，0，xR，由f()，f()，且|的最小值为，得，即T3，所以.所以f(x)sin.则fsin .由2kx2k，kZ，得3kx3k，kZ，即函数f(x)的单调递增区间为，kZ.答案：，kZ
