1、1.4 角平分线 第一章 三角形的证明 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第2课时 三角形三条内角的平分线 1会证明和运用“三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等”.(重点)2.经历探索、猜想、证明的过程,进一步发展学生的推理证明意识和能力(难点)学习目标 在一个三角形居住区内修有一个学校P,P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处?ABC导入新课情境引入 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线,你发现了什么?三角形的内角平分线 一发现:三角形的三条角平分线相交于一点.讲授新课活动2 分别过交点作三角形三边的垂线,用刻度
2、尺量一量,每组垂线段,你发现了什么?发现:过交点作三角形三边的垂线段相等.你能证明这个结论吗?剪一个三角形纸片,通过折叠找出每个角的角平分线,观察这三条角平分线,你是否发现同样的结论?与同伴交流 结论:三角形三个角的平分线相交于一点.怎样证明这个结论呢?试一试 点拨:要证明三角形的三条角平分线相交于一点,只要证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下:试试看,你会写出证明过程吗?AP是BAC的平分线 BP是ABC的平分线 PI=PHPG=PIPH=PG 点P在BCA的平分线上 ABCPFHDEIG已知:如图,ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证:点P到三边AB,
3、BC,CA的距离相等.证明结论 证明:过点P作PD,PE,PF分别垂直于AB,BC,CA,垂足分别为D,E,F.BM是ABC的角平分线,点P在BM上,PD=PE.同理PE=PF.PD=PE=PF.即点P到三边AB,BC,CA的距离相等.DEFABCPNM想一想:点P在A的平分线上吗?这说明三角形的三条角平分线有什么关系?点P在A的平分线上.结论:三角形的三条角平分线交于一点,并且这点到三边的距离相等.DEFABCPNM例1.如图,在ABC中,已知AC=BC,C=90,AD是ABC的角平分线,DEAB,垂足为E.(1)如果CD=4cm,AC的长;EDABC(1)解:AD是ABC的角平分线,DEA
4、B,垂足为E,DE=CD=4cm.AC=BC,B=BAC.C=90,B=45.BE=DE.在等腰直角三角形BDE中,224 2cm.BDDE(44 2)cm.ACBCCDBD(2)求证:AB=AC+CD.EDABC(2)证明:由(1)的求解过程易知,RtACDRtAED(HL).AC=AE.BE=DE=CD,AB=AE+BE=AC+CD.MABCPOD例2:如图,在直角ABC中,AC=BC,C90,AP平分BAC,BD平分ABC;AP,BD交于点O,过点O作OMAC,若OM4,(1)求点O到ABC三边的距离和.温馨提示:不存在垂线段构造应用 12解:连接OC1112221()214 32642
5、ABCAOCBOCAOBSSSSAB OEBC ONAB OMOMABBCOM MABCPOD(2)若ABC的周长为32,求ABC的面积.例3 如图,在ABC中,点O是ABC内一点,且点O到ABC三边的距离相等若A40,则BOC的度数为()A110B120C130D140A解析:由已知,O到三角形三边的距离相等,所以O是内心,即三条角平分线的交点,AO,BO,CO都是角平分线,所以有CBOABO ABC,BCOACO ACB,ABCACB18040140,OBCOCB70,BOC18070110.1212当堂练习1.如图,已知ABC,求作一点P,使P到A的两边的距离相等,且PAPB下列确定P点
6、的方法正确的是()A.P为A,B两角平分线的交点B.P为A的平分线与AB的垂直平分线的交点C.P为AC,AB两边上的高的交点D.P为AC,AB两边的垂直平分线的交点ABCPB【解析】点P到A的两边的距离相等,P在A的角平分线上,PAPB,点P在AB的垂直平分线上.P为A的平分线与AB的垂直平分线的交点.2.如图,ABC中,C=90,DEAB,CBE=ABE,且AC=6cm,那么线段BE是ABC的,AE+DE=.CABED角平分线6cm3.如图所示,是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在()A.ABC 的三条中线的交点 B.ABC 三
7、边的中垂线的交点 C.ABC 三条角平分线的交点 D.ABC 三条高所在直线的交点 CBCA 4.已知:如图,ABC中,C=90,AD是ABC的角平分线,DEAB于E,F在AC上,BD=DF.求证:CF=EB.证明:AD平分CAB,DEAB,C90(已知),CDDE(角平分线的性质).在RtCDF和RtEDB中,CD=ED(已证),DF=DB(已知),RtCDFRtEDB(HL).CF=EB(全等三角形的对应边相等).CFAEDB拓展思维 5.如图,直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,可选择的地址有几处?画出它的位置.l1l3l2P1P2P3P4l1l2l3三角形内角平分线的性质 性质:三角形的三条角平分线交于一点,并且这一点到三条边的距离相等 课堂小结应用:位置的选择问题.