1、1.4 角平分线 第一章 三角形的证明 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第2课时 三角形三条内角的平分线 1会证明和运用“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等”.(重点）2.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力(难点）学习目标 在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处？ABC导入新课情境引入 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？三角形的内角平分线 一发现：三角形的三条角平分线相交于一点.讲授新课活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度
2、尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.你能证明这个结论吗？剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论？与同伴交流 结论：三角形三个角的平分线相交于一点.怎样证明这个结论呢?试一试 点拨：要证明三角形的三条角平分线相交于一点，只要证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下：试试看，你会写出证明过程吗？AP是BAC的平分线 BP是ABC的平分线 PI=PHPG=PIPH=PG 点P在BCA的平分线上 ABCPFHDEIG已知：如图，ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，
3、BC，CA的距离相等.证明结论 证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.BM是ABC的角平分线，点P在BM上，PD=PE.同理PE=PF.PD=PE=PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.DEFABCPNM想一想：点P在A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？点P在A的平分线上.结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.DEFABCPNM例1.如图,在ABC中,已知AC=BC,C=90,AD是ABC的角平分线,DEAB,垂足为E.(1)如果CD=4cm,AC的长;EDABC（1）解：AD是ABC的角平分线,DEA
4、B,垂足为E，DE=CD=4cm.AC=BC,B=BAC.C=90,B=45.BE=DE.在等腰直角三角形BDE中，224 2cm.BDDE(44 2)cm.ACBCCDBD(2)求证:AB=AC+CD.EDABC（2）证明：由（1）的求解过程易知，RtACDRtAED(HL).AC=AE.BE=DE=CD,AB=AE+BE=AC+CD.MABCPOD例2：如图，在直角ABC中，AC=BC,C90，AP平分BAC，BD平分ABC;AP,BD交于点O，过点O作OMAC,若OM4,(1)求点O到ABC三边的距离和.温馨提示：不存在垂线段构造应用 12解：连接OC1112221()214 32642
5、ABCAOCBOCAOBSSSSAB OEBC ONAB OMOMABBCOM MABCPOD(2)若ABC的周长为32，求ABC的面积.例3 如图，在ABC中，点O是ABC内一点，且点O到ABC三边的距离相等若A40，则BOC的度数为()A110B120C130D140A解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，所以O是内心，即三条角平分线的交点，AO，BO，CO都是角平分线，所以有CBOABO ABC，BCOACO ACB，ABCACB18040140，OBCOCB70，BOC18070110.1212当堂练习1.如图，已知ABC，求作一点P，使P到A的两边的距离相等，且PAPB下列确定P点
6、的方法正确的是（）A.P为A，B两角平分线的交点B.P为A的平分线与AB的垂直平分线的交点C.P为AC，AB两边上的高的交点D.P为AC，AB两边的垂直平分线的交点ABCPB【解析】点P到A的两边的距离相等，P在A的角平分线上，PAPB，点P在AB的垂直平分线上.P为A的平分线与AB的垂直平分线的交点.2.如图,ABC中,C=90,DEAB,CBE=ABE,且AC=6cm,那么线段BE是ABC的，AE+DE=.CABED角平分线6cm3.如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A.ABC 的三条中线的交点 B.ABC 三
7、边的中垂线的交点 C.ABC 三条角平分线的交点 D.ABC 三条高所在直线的交点 CBCA 4.已知：如图，ABC中，C=90，AD是ABC的角平分线，DEAB于E，F在AC上,BD=DF.求证：CF=EB.证明：AD平分CAB,DEAB，C90（已知）,CDDE(角平分线的性质).在RtCDF和RtEDB中,CD=ED（已证）,DF=DB（已知）,RtCDFRtEDB(HL).CF=EB（全等三角形的对应边相等）.CFAEDB拓展思维 5.如图,直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,可选择的地址有几处?画出它的位置.l1l3l2P1P2P3P4l1l2l3三角形内角平分线的性质 性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等 课堂小结应用：位置的选择问题.