1、第四节二次函数与幂函数1二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)；顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)，顶点坐标为(h，k)；零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为f(x)的零点(2)二次函数的图象与性质函数yax2bxc(a0)yax2bxc(a0)图象定义域R值域单调性在上减，在上增在上增，在上减对称性函数的图象关于x对称2.幂函数(1)定义：形如yx(R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数(2)五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质yxyx2yx3yxyx1图象定义域RRRx|x0x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶
2、性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(，0)减，(0，)增增增(，0)和(0，)减公共点(1,1)1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)二次函数yax2bxc，xR，不可能是偶函数()(2)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是.()(3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)()(4)当n0时，幂函数yxn在(0，)上是增函数()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)已知幂函数f(x)x的图象过点(4,2)，若f(m)3，则实数m的值为()A.BCD9D由题意可知4222，所以.所以f(x)x，故f(m)3m9.3已知函数f(x)ax2x5的图象在x轴上
3、方，则a的取值范围是()A.B.C.D.C由题意知即得a.4(2017衢州市适应性考试(二)二次函数f(x)2x2bx3(bR)零点的个数是()A0B1 C2D4C因为判别式b2240，所以原二次函数有2个零点，故选C.5若二次函数yax2bxc的图象与x轴交于A(2,0)，B(4,0)且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是_. 【导学号：51062031】yx22x8设ya(x2)(x4)，对称轴为x1，当x1时，ymax9a9，a1，y(x2)(x4)x22x8.求二次函数的解析式已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式解法一(
4、利用一般式)：设f(x)ax2bxc(a0).4分由题意得10分解得所求二次函数为f(x)4x24x7.15分法二(利用顶点式)：设f(x)a(xm)2n.f(2)f(1)，抛物线的图象的对称轴为x.4分m.又根据题意函数有最大值8，n8.yf(x)a28.8分f(2)1，a281，解得a4，f(x)4284x24x7.15分法三(利用零点式)：由已知f(x)10的两根为x12，x21，2分故可设f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a1.10分又函数的最大值是8，即8，解得a4，所求函数的解析式为f(x)4x24x7.15分规律方法用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取
5、二次函数解析式的形式，选法如下变式训练1已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意xR，都有f(2x)f(2x)，求f(x)的解析式解f(2x)f(2x)对xR恒成立，f(x)的对称轴为x2.2分又f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，f(x)0的两根为1和3.8分设f(x)的解析式为f(x)a(x1)(x3)(a0)又f(x)的图象过点(4,3)，3a3，a1.12分所求f(x)的解析式为f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3.15分二次函数的图象与性质角度1二次函数图象的识别及应用(1)设abc0，则二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是(
6、)A BCD(2)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_(1)D(2)(1)由A，C，D知，f(0)c0.abc0，ab0，对称轴x0，知A，C错误，D符合要求由B知f(0)c0，ab0，x0，B错误(2)作出二次函数f(x)的图象，对于任意xm，m1，都有f(x)0，则有即解得m0.角度2二次函数的最值问题(1)(2017绍兴一模)若xlog521，则函数f(x)4x2x13的最小值为()A4B3C1D0(2)(2017浙江五校第一次联考)已知函数f(x)x22ax1a在区间0,1上的最大值为2，则a的值为()A2B1或3C2或3D1或2
7、(1)A(2)D(1)xlog521log52xlog5512x，令t2x，则有yt22t3(t1)24，当t1，即x0时，f(x)取得最小值4.故选A.(2)函数f(x)(xa)2a2a1图象的对称轴为xa，且开口向下，分三种情况讨论如下：当a0时，函数f(x)x22ax1a在区间0,1上是减函数，f(x)maxf(0)1a，由1a2，得a1.当0a1时，函数f(x)x22ax1a在区间0，a上是增函数，在a,1上是减函数，f(x)maxf(a)a22a21aa2a1，由a2a12，解得a或a.0a1，两个值都不满足，舍去当a1时，函数f(x)x22ax1a在区间0,1上是增函数，f(x)m
8、axf(1)12a1a2，a2.综上可知，a1或a2.角度3二次函数中的恒成立问题已知a是实数，函数f(x)2ax22x3在x1,1上恒小于零，则实数a的取值范围为_. 【导学号：51062032】由题意知2ax22x30在1,1上恒成立当x0时，适合；当x0时，a2.因为(，11，)，当x1时，右边取最小值，所以a.综上，实数a的取值范围是.规律方法1.二次函数最值问题应抓住“三点一轴”数形结合求解，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，用函数的单调性及分类讨论的思想即可完成2由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是af(x)af(x
9、)max，af(x)af(x)min.与二次函数有关的综合问题(2015浙江高考)已知函数f(x)x2axb(a，bR)，记M(a，b)是|f(x)|在区间1,1上的最大值(1)证明：当|a|2时，M(a，b)2；(2)当a，b满足M(a，b)2时，求|a|b|的最大值解(1)证明：由f(x)2b，得对称轴为直线x.2分由|a|2，得1，故f(x)在1,1上单调，所以M(a，b)max|f(1)|，|f(1)|当a2时，由f(1)f(1)2a4，得maxf(1)，f(1)2，即M(a，b)2.当a2时，由f(1)f(1)2a4，得maxf(1)，f(1)2，即M(a，b)2.综上，当|a|2时
10、，M(a，b)2.8分(2)由M(a，b)2得|1ab|f(1)|2，|1ab|f(1)|2，故|ab|3，|ab|3.12分由|a|b|得|a|b|3.当a2，b1时，|a|b|3，且|x22x1|在1,1上的最大值为2，14分即M(2，1)2.所以|a|b|的最大值为3.15分规律方法(1)解决含参数的二次函数的最值问题，要形成分类讨论的习惯，重点在“轴与区间”的位置关系，其次是“端点值”的大小关系(2)解决|f(x)|的相关问题，可利用数形结合思想(3)求解过程中，求出的参数值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求变式训练3(2016浙江冲刺卷二)设二次函数f(x)ax24x
11、c(a0)(1)当c4a时，讨论函数g(x)|f(x)|的单调性；(2)若函数f(x)的值域为0，)，且f(1)4，求u的最大值解(1)当c4a时，f(x)ax24x4aa(x1)(a0)，则g(x)|f(x)|a|(a0).4分当1，即0，也即0a2时，函数g(x)在区间(，1上为减函数，在区间上为增函数，在区间上为减函数，在区间上为增函数.6分当a2时，g(x)|f(x)|2(x1)2，则函数g(x)在区间(，1上为减函数，在区间1，)上为增函数当a2时，有0，且0，即a0，c0，且ac4.u，令xac，由f(1)4，得ac8，又a0，c0，且ac4，所以ac24，13分故4x8，而u在区
12、间4,8上是增函数，故u的最大值为.15分幂函数的图象与性质(1)幂函数yf(x)的图象过点(4,2)，则幂函数yf(x)的图象是()A BCD(2)已知幂函数f(x)xm22m3(mN*)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则m的值为_(1)C(2)1(1)令f(x)x，则42，f(x)x.(2)f(x)在(0，)上是减函数，m22m30，解得1m3.又mN*，m1或m2.由于f(x)的图象关于y轴对称m22m3的值应为偶数，又当m2时，m22m3为奇数，m2舍去因此m1.规律方法1.幂函数的形式是yx(R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式2若幂函数yx(R)是偶
13、函数，则必为偶数当是分数时，一般将其先化为根式，再判断3若幂函数yx在(0，)上单调递增，则0，若在(0，)上单调递减，则0.变式训练4(1)设a0.5，b0.9，clog50.3，则a，b，c的大小关系是()AacbBcabCabcDbac(2)若(a1) (32a) ，则实数a的取值范围是_(1)D(2)(1)a0.50.25，b0.9，所以根据幂函数的性质知ba0，而clog50.30，所以bac.(2)易知函数yx的定义域为0，)，在定义域内为增函数，所以解得1a.思想与方法1二次函数的三种形式的选法(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大
14、(小)值有关的量时，常使用顶点式(3)已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便2研究二次函数的性质要注意(1)结合图象分析；(2)含参数的二次函数，要进行分类讨论3利用幂函数的单调性比较幂值大小的方法在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较4幂函数yx(R)图象的特征0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立易错与防范1对于函数yax2bxc，若是二次函数，就隐含着a0，当题目条件中未说明a0时，就要分a0，a0两种情况讨论2幂函数的图象一定会出现
15、在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点课时分层训练(六)二次函数与幂函数A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1已知幂函数f(x)kx的图象过点，则k()A.B1C.D2C由幂函数的定义知k1.又f，所以，解得，从而k.2函数f(x)2x2mx3，当x2，)时，f(x)是增函数，当x(，2时，f(x)是减函数，则f(1)的值为()A3B13 C7D5B函数f(x)2x2mx3图象的对称轴为直线x，由函数f(x)的增减区间可知2，m8，即f(x)2x28x3，
16、f(1)28313.3若幂函数y(m23m3)xm2m2的图象不过原点，则m的取值是()A1m2Bm1或m2Cm2Dm1B由幂函数性质可知m23m31，m2或m1.又幂函数图象不过原点，m2m20，即1m2，m2或m1.4已知函数yax2bxc，如果abc且abc0，则它的图象可能是()ABCDD由abc0，abc知a0，c0，则0，排除B，C.又f(0)c0，所以也排除A.5若函数f(x)x2axa在区间0,2上的最大值为1，则实数a等于() 【导学号：51062033】A1B1 C2D2B函数f(x)x2axa的图象为开口向上的抛物线，函数的最大值在区间的端点取得f(0)a，f(2)43a
17、，或解得a1.二、填空题6(2017金华十校联合测试改编)已知函数f(x)ax22ax1b(a0)若f(x)在2,3上的最大值为4，最小值为1，则a_，b_. 【导学号：51062034】10因为函数f(x)的对称轴为x1，又a0，所以f(x)在2,3上单调递增，所以即解方程得a1，b0.7已知P2，Q3，R3，则P，Q，R的大小关系是_PRQP23，根据函数yx3是R上的增函数且，得333，即PRQ.8已知函数f(x)x22ax5在(，2上是减函数，且对任意的x1，x21，a1，总有|f(x1)f(x2)|4，则实数a的取值范围是_2,3f(x)(xa)25a2，根据f(x)在区间(，2上是
18、减函数知，a2，则f(1)f(a1)，从而|f(x1)f(x2)|maxf(1)f(a)a22a1，由a22a14，解得1a3，又a2，所以2a3.三、解答题9已知幂函数f(x)x(m2m)1(mN*)经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2a)f(a1)的实数a的取值范围. 【导学号：51062035】解幂函数f(x)经过点(2，)，2(m2m)1，即22(m2m)1，m2m2，解得m1或m2.4分又mN*，m1.f(x)x，则函数的定义域为0，)，并且在定义域上为增函数由f(2a)f(a1)，得10分解得1a.a的取值范围为.15分10已知函数f(x)x2(2a1)x3，(1)当a
19、2，x2,3时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在1,3上的最大值为1，求实数a的值解(1)当a2时，f(x)x23x3，x2,3，对称轴x2,3，2分f(x)minf3，f(x)maxf(3)15，值域为.7分(2)对称轴为x.当1，即a时，f(x)maxf(3)6a3，6a31，即a满足题意；10分当1，即a时，f(x)maxf(1)2a1，2a11，即a1满足题意综上可知a或1.15分B组能力提升(建议用时：15分钟)1(2017浙江学军中学期中)函数f(x)(m2m1)x4m9m51是幂函数，对任意的x1，x2(0，)，且x1x2，满足0，若a，bR，且ab0，ab0，则f(
20、a)f(b)的值()A恒大于0B恒小于0C等于0D无法判断Af(x)(m2m1)x4m9m51是幂函数，m2m11，解得m2或m1.当m2时，指数4292512 0150，满足题意当m1时，指数4(1)9(1)5140，不满足题意，f(x)x2 015.幂函数f(x)x2 015是定义域R上的奇函数，且是增函数又a，bR，且ab0，ab，又ab0，不妨设b0，则ab0，f(a)f(b)0，又f(b)f(b)，f(a)f(b)，f(a)f(b)0.故选A.2设f(x)与g(x)是定义在同一区间a，b上的两个函数，若函数yf(x)g(x)在xa，b上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在a，b
21、上是“关联函数”，区间a，b称为“关联区间”若f(x)x23x4与g(x)2xm在0,3上是“关联函数”，则m的取值范围为_. 【导学号：51062036】由题意知，yf(x)g(x)x25x4m在0,3上有两个不同的零点在同一直角坐标系下作出函数ym与yx25x4(x0,3)的图象如图所示，结合图象可知，当x2,3时，yx25x4，故当m时，函数ym与yx25x4(x0,3)的图象有两个交点3(2017湖州市调测)已知函数f(x)ex(其中e是自然对数的底数)，g(x)x2ax1，aR.(1)记函数F(x)f(x)g(x)，且a0，求F(x)的单调递增区间；(2)若对任意x1，x20,2，x
22、1x2，均有|f(x1)f(x2)|g(x1)g(x2)|成立，求实数a的取值范围解(1)因为F(x)f(x)g(x)ex(x2ax1)，所以F(x)exx(a1)(x1).2分令F(x)0，因为a0，得x1或x|g(x1)g(x2)|成立，不妨设x1x2，根据f(x)ex在0,2上单调递增，所以有f(x1)f(x2)|g(x1)g(x2)|对x1x2恒成立，8分所以f(x2)f(x1)g(x1)g(x2)x2恒成立，即对x1，x20,2，x1x2恒成立，所以f(x)g(x)和f(x)g(x)在0,2上都是单调递增函数.11分当f(x)g(x)0在0,2上恒成立时，得ex(2xa)0在0,2上恒成立，得a(ex2x)在0,2上恒成立因为(ex2x)在0,2上为单调减函数，所以(ex2x)在0,2上取得最大值1，解得a1.13分当f(x)g(x)0在0,2上恒成立时，得ex(2xa)0在0,2上恒成立，即aex2x在0,2上恒成立，因为ex2x在0，ln 2上单调递减，在ln 2,2上单调递增，所以ex2x在0,2上取得最小值22ln 2，所以a22ln 2，14分所以实数a的取值范围为1,22ln 2.15分
