1、四川省泸县第四中学2020届高三数学三诊模拟考试试题 文（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数 ，则复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】在复
2、平面内对应的点坐标为在第一象限，故选A.2.已知集合，则满足的集合的个数是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】先求解集合，然后根据可求集合的个数.【详解】因为，所以集合可能.故选：A.【点睛】本题主要考查集合的运算，化简求解集合是解决这类问题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.3.若实数满足则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图所示，其中.作直线，平移直线，当其经过点时，取得最小值，故选B.点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可
3、行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.4.九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等问各得几何”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）这个问题中，甲所得为（ ）A. 钱B. 钱C. 钱D. 钱【答案】B【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别,则,解得,又,则,故选B.5.定义运算，则函数的大致图
4、象是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】图象题应用排除法比较简单，先根据函数为奇函数排除、；再根据函数的单调性排除选项，即可得到答案【详解】根据题意得，且函数为奇函数，排除、；当时，令，令，函数在上是先递减再递增的，排除选项；故选：【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的判断，考查根据解析式找图象，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题6.已知，且是第四象限角，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先化简已知得到，再化简=，再利用平方关系求值得解.【详解】因为，所以，因为=，是第四象限角，所以.故答案为B【点睛】(1)本题主要考查诱导
5、公式和同角的平方关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 利用平方关系求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍“”号.7.已知圆:，定点，直线:，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】通过圆心到直线的距离与圆的半径进行比较可得.【详解】若点在圆外，则，圆心到直线:的距离，此时直线与圆相交；若直线与圆相交，则，即，此时点在圆外.故选：C.【点睛】本题主要考查以直线和圆的位置关系为背景的条件的判定，明确直线和圆位置关系的代数表示是求解的关键，侧重考查逻辑
6、推理的核心素养.8.在边长为4的正方形ABCD内部任取一点M，则满足为锐角的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据为直角时，得到点M在以AB为直径的圆周上，然后确定当为锐角时，点M所在的区域，分别求得面积，代入公式求解.【详解】当为直角时，点M在以AB为直径的圆周上，此时，半圆的面积为，因为为锐角，所以点M在正方形内与圆周以外的部分，如图所示阴影部分：所以满足为锐角的概率为.故选：A【点睛】本题主要考查几何概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9.函数在单调递减，且为奇函数若，则满足的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根
7、据函数的奇偶性把变换为对应函数值，再利用函数的单调性得到答案.【详解】函数在为奇函数若，满足则：函数在单调递减即：故答案为D【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，属于简单题型.10.函数的图象向右平移个单位后关于原点对称，则函数在上的最大值为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由条件根据函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得，由此根据求得的值，得到函数解析式即可求最值【详解】函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得，由题意，得，函数在区间的最大值为，故选B【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，考查了正弦函数
8、最值的求法，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，能根据正弦函数的性质求最值，属于基础题11.已知双曲线：的焦距为，焦点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用双曲线：的焦点到渐近线的距离为，求出，的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程【详解】双曲线：的焦点到渐近线的距离为，可得：，可得，则的渐近线方程为故选A【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，构建出的关系是解题的关键，考查计算能力，属于中档题.12.已知，则，不可能满足的关系是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据即可得出，根据，即可判断出结果【详解】；，
9、；，故正确；，故C错误；，故D正确故C【点睛】本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：和不等式的应用，属于中档题第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数在处取得极值，则的值为_.【答案】1【解析】【分析】求导，根据在处取得极值，令求解即可.【详解】因为，所以，因为在处取得极值，所以解得，经检验成立.故答案为：1【点睛】本题主要考查导数与函数极值，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14.已知向量，则在方向上的投影为_.【答案】1【解析】【分析】根据，得在上的投影为，求出，代入投影的公式计算即可【详解】向量，在方向上的投影为，
10、故答案为：1【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算及几何意义，属于基础题15.若过点且斜率为的直线与抛物线的准线相交于点，与的一个交点为，若，则_【答案】【解析】【分析】由直线方程为与准线得出点坐标，再由可得，点为线段的中点，由此求出点A的坐标，代入抛物线方程得出的值.【详解】解：抛物线的准线方程为过点且斜率为的直线方程为，联立方程组，解得，交点坐标为，设A点坐标为，因为，所以点为线段的中点，所以，解得，将代入抛物线方程，即，因为，解得.【点睛】本题考查了抛物线的性质、向量相等等知识，解决几何问题时，往往可以转化为代数问题来进行研究，考查了数形结合的思想.16.如图，正方体的棱长为1，线段上
11、有两个动点，且，现有如下四个结论：；平面；三棱锥的体积为定值；异面直线所成的角为定值，其中正确结论的序号是_【答案】【解析】【分析】对于，可由线面垂直证两线垂直；对于，可由线面平行的定义证明线面平行；对于，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于，可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值【详解】对于，由，可得面，故可得出，此命题正确；对于，由正方体的两个底面平行，在平面内，故与平面无公共点，故有平面，此命题正确；对于，为定值，到距离为定值，所以三角形的面积是定值，又因为点到面距离是定值，故可得三棱锥的体积为定值，此命题正确；对于，由图知，当与重合时，此时与上底面中心为重合，则两
12、异面直线所成的角是，当与重合时，此时点与重合，则两异面直线所成的角是，此二角不相等，故异面直线所成的角不为定值，此命题错误综上知正确，故答案为【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查线面平行的判断、线面垂直的判断与性质、棱锥的体积公式以及异面直线所成的角，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必
13、须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.如图：在中，.（1）求角；（2）设为的中点，求中线的长.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）通过求出的值，利用正弦定理求出即可得角；（2）根据求出的值，由正弦定理求出边，最后在中由余弦定理即可得结果.【详解】（1），.由正弦定理，即.得，为钝角，为锐角，故.（2），.由正弦定理得，即得.在中由余弦定理得：，.【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查三角函数知识的运用，属于中档题.18.在某外国语学校举行的(高中生数学建模大赛)中,参与大赛的女生与男生人数之比为,且成绩分布在,分数在以
14、上(含)的同学获奖按女生、男生用分层抽样的方法抽取人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图如图所示()求的值,并计算所抽取样本的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；()填写下面的列联表,并判断在犯错误的概率不超过的前提下能否认为“获奖与女生、男生有关”女生男生总计获奖不获奖总计附表及公式：其中,【答案】（），；（）详见解析.【解析】【分析】()根据概率的性质知所有矩形的面积之和等于列式可解得； ()由频率分布直方图知样本中获奖的人数为,不获奖的人数为,从而可得列联表,再计算出,与临界值比较可得【详解】解：(),()由频率分布直方图知样本中获奖的人数为,不获奖的人数为,列联表如下
15、：女生男生总计获奖不获奖总计因为,所以在犯错误的概率不超过的前提下能认为“获奖与女生,男生有关”【点睛】本题主要考查独立性检验，以及由频率分布直方图求平均数的问题，熟记独立性检验的思想，以及平均数的计算方法即可，属于常考题型.19.四棱锥中,平面，为的中点，过点作于.(1) 求证：；(2) 求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）取的中点，连接，由是的中点，可推出四边形CDEM为平行四边形，从而可证；（2）过过作交于点，由平面，推出，再根据，求得，由，从而可求出三棱锥的体积.试题解析：(1)证明:取的中点，连接.是的中点,四边形CDEM为平行四边形， (2)过作交AB
16、于N点.平面，则.为点到面的距离，在直角中，.， ， 三棱锥体积20.已知为圆上一点，过点作轴的垂线交轴于点，点满足（1）求动点的轨迹方程；（2）设为直线上一点，为坐标原点，且，求面积的最小值.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）设出A、P点坐标，用P点坐标表示A点坐标，然后代入圆方程，从而求出P点的轨迹；（2）设出P点坐标，根据斜率存在与否进行分类讨论，当斜率不存在时，求出面积的值，当斜率存在时，利用点P坐标表示的面积，减元后再利用函数单调性求出最值，最后总结出最值.【详解】解：（1） 设，由题意得：，由，可得点是的中点，故，所以，又因为点在圆上，所以得，故动点的轨迹方程为.（2）
17、设，则，且，当时，此时；当时，因为,即故，代入 设 因为恒成立， 在上是减函数，当时有最小值，即,综上：的最小值为【点睛】本题考查了点的轨迹方程、椭圆的性质等知识，求解几何图形的长度、面积等的最值时，常见解法是设出变量，用变量表示出几何图形的长度、面积等，减元后借助函数来研究其最值.21.已知函数，且点处取得极值（）若关于的方程在区间上有解，求的取值范围；（）证明：【答案】（）；（）证明见解析【解析】【分析】（）求导，利用求值；分离常数，构造函数，转化为求函数的值域问题；（）作差构造函数，将证明不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题【详解】（）， 函数在点处取得极值，即当时，则得经检验符合题意
18、 ， 令， 则当时，随的变化情况表：1（1，2）2（2，3）3+0-极大值计算得：，所以的取值范围为 （）证明：令，则，令，则，函数在递增，在上的零点最多一个又，存在唯一的使得，且当时，；当时，即当时，；当时，在递减，在递增，从而由得即，两边取对数得：，从而证得 （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.已知曲线的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是: （是参数）.若直线与曲线相交于、两点，且，试求实数值.设为曲线上任意一点，求的取值范围.【答案】
19、或；.【解析】【分析】把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆心到直线的距离求出值；把曲线的普通方程化为参数方程，利用三角恒等变换求出的取值范围.【详解】解：曲线的极坐标方程是化为直角坐标方程为：，直线的直角坐标方程为：.圆心到直线的距离（弦心距）,圆心到直线的距离为 ：,或.曲线的方程可化为，其参数方程为： （为参数）为曲线上任意一点， 的取值范围是.【点睛】本题考查参数方程与极坐标的应用，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23.已知函数，.（）若不等式对恒成立，求正实数的取值范围；（）设实数为（）中的最大值.若正实数，满足，求的最小值.【答案】（）；（）8.【解析】【分析】（）利用绝对值不等式可求的最小值为，从而有，结合可得的取值范围.（）利用基本不等式可求的最小值.【详解】（1），当且仅当时等号成立，解得，正实数的取值范围为.（2）由（1）知，即.，当且仅当时取得最小值为8.【点睛】本题考查绝对值不等式以及基本不等式的应用，注意绝对值不等式中，等号成立的条件是，而用基本不等式求最值时，注意验证等号成立的条件.
