1、第三章 数列网络体系总览考点目标定位1.知识要求：（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义；了解递推公式是给出一种数列的表示方法，并能写出数列的前n项.（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.2.能力要求：培养观察能力、化归能力和解决实际应用问题的能力.复习方略指南本章在历年高考中占有较大的比重，约占10%12%，特别是2002年共计26分，占17%，2003年共计21分，占14%，2004年26分，占17%.考题类型既有选择题，也有填空题和解答题
2、，既有容易题，也有中档题，更有难题.由于等差数列和等比数列在内容上是平行的，所以在复习时要应用对比去认识、理解、掌握数列知识.纵观近几年的高考试题，可发现如下规律：1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有.2.数列中an与Sn之间的互化关系也是高考的一个热点.3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用.4.解答题的难度有逐年增大的趋势.因此复习中应注意：1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常
3、见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q1两种情况等等.4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如an与Sn的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳.5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果.3.
4、1 数列的概念知识梳理1.数列：按一定次序排列的一列数叫做数列.（1）数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，an，简记为an，其中an是数列的第n项.（2）可视数列为特殊函数，它的定义域是正自然数集的子集（必须连续），因此研究数列可联系函数的相关知识，如数列的表示法（列表法、图象法、公式法等）、数列的分类（有限和无穷、有界无界、单调或摆动等）.应注意用函数的观点分析问题.2.通项公式如果数列an的第n项an与项数n之间的函数关系可以用一个公式来表达，那么这个公式就叫做数列的通项公式，可以记为an=f（n）.并非每一个数列都可以写出通项公式，有些数列的通项公式也并非是唯一的.3.数列的前n项和
5、数列an的前n项之和，叫做数列的前n项和，常用Sn表示.Sn与通项an的基本关系是：an= Sn=a1+a2+an.4.数列的分类（1）按项分类有穷数列:项数有限；无穷数列:项数无限.（2）按an的增减性分类递增数列：对于任何nN*，均有an+1an；递减数列：对于任何nN*，均有an+1an；摆动数列：例如:1，1，1，1，；常数数列：例如：6，6，6，6，；有界数列：存在正数M使|an|M，nN*；无界数列：对于任何正数M，总有项an使得|an|M.5.递推是认识数列的重要手段，递推公式是确定数列的一种方式，根据数列的递推关系写出数列.点击双基1.数列an中，a1=1，对于所有的n2，nN
6、都有a1a2a3an=n2，则a3+a5等于A. B. C. D. 解析一：令n=2、3、4、5，分别求出a3=，a5=，a3+a5=.解析二：当n2时，a1a2a3an=n2.当n3时，a1a2a3an1=（n1）2.两式相除an=（）2，a3=，a5=.a3+a5=.答案：A2.已知数列an中，a1=1，a2=3，an=an1+（n3），则a5等于A. B. C.4D.5解析：令n=3，4，5，求a5即可.答案：A3.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn（万件）近似地满足关系式Sn=（21nn25）（n=1，2，12），按此预测，在本年度内，需求量超过1.
7、5万件的月份是A.5、6月B.6、7月C.7、8月D.8、9月解法一：由Sn解出an=（n2+15n9），再解不等式（n2+15n9）1.5，得6n9.解法二：将选项中的月份代入计算验证.答案：C4.已知an=，且数列an共有100项，则此数列中最大项为第_项，最小项为第_项.解析：an=1+，又4445，0，故第45项最大，第44项最小.答案：45 44典例剖析【例1】 在数列an中，a1=1，an+1=，求an.剖析：将递推关系式变形，观察其规律.解：原式可化为=n，=1，=2，=3，=n1.相加得=1+2+（n1），an=.评析：求数列通项公式，特别是由递推公式给出数列时，除迭加、迭代、
8、迭乘外还应注意变形式是否是等差（等比）数列.对于数列递推公式不要升温，只要能根据递推公式写出数列的前几项，由此来猜测归纳其构成规律.【例2】 有一数列an，a1a，由递推公式an1，写出这个数列的前4项，并根据前4项观察规律，写出该数列的一个通项公式.剖析：可根据递推公式写出数列的前4项，然后分析每一项与该项的序号之间的关系，归纳概括出an与n之间的一般规律，从而作出猜想，写出满足前4项的该数列的一个通项公式.解：a1a，an1，a2，a3，a4.观察规律：an形式，其中x与n的关系可由n1，2，3，4得出x2n1.而y比x小1，an.评述：从特殊的事例，通过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再
9、进行科学地证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视.思考讨论请同学总结解探索性问题的一般思路.【例3】 已知数列an的通项公式an=cn+，且a2=，a4=，求a10.剖析：要求a10，只需求出c、d即可.解：由题意知 解得an=n+.a10=10+=.评述：在解题过程中渗透了函数与方程的思想.闯关训练夯实基础1.若数列an前8项的值各异，且an+8=an对任意的nN*都成立，则下列数列中，能取遍数列an前8项值的数列是A.a2k+1B.a3k+1C.a4k+1D.a6k+1解析：由已知得数列以8为周期，当k分别取1，2，3，4，5，6，
10、7，8时，a3k+1分别与数列中的第4项，第7项，第2项，第5项，第8项，第3项，第6项，第1项相等，故a3k+1能取遍前8项.答案：B2.设ann210n11，则数列an从首项到第_项的和最大.A.10B.11C.10或11D.12解析：ann210n11是关于n的二项函数，它是抛物线f（x）x210x11上的一些离散的点，从图象可看出前10项都是正数，第11项是0，所以前10项或前11项的和最大.另解： 由n210n110得1n11，又nN*，0n11.前10项为正，第11项为0.答案：C3.设an是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对所有自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比
11、中项，写出此数列的前三项：_，_，_.解析：由题意得=，由此公式分别令n=1，n=2，n=3可依次解出前三项.答案：2 6 104.（2004年春季上海，8）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有_个点.解析：观察图中五个图形点的个数分别为1，12+1，23+1，34+1，45+1，故第n个图中个数为（n1）n+1=n2n+1.答案：n2n+15.已知数列an的前n项和Sn满足log2（Sn+1）=n+1，求数列an的通项公式.解：由已知Sn+1=2n1，得Sn=2n+11，故当n=1时，a1=S1=3；当n2时，an=SnSn1=2n，故an= 6.已知在正项数列an中
12、，Sn表示前n项和且2=an+1，求an.解：由已知2=an+1，得当n=1时，a1=1；当n2时，an=SnSn1，代入已知有2=SnSn1+1，即Sn1=（1）2.又an0，故=1或= 1（舍），即=1（n2），由定义得是以1为首项，1为公差的等差数列，=n.故an=2n1.培养能力7.（理）已知函数f（x）=2x+2（x1）的反函数为y=g（x），a1=1，a2=g（a1），a3=g（a2），an=g（an1），求数列an的通项公式.解：由已知得g（x）=+1（0x1），则a1=1，an+1=an+1.令an+1P=（anP），则an+1=an+P，比较系数得P=.由定义知，数列an是公
13、比q=的等比数列，则an=（a1）（）n1=1（）n.于是an=（）n.（文）根据下面各数列的前几项，写出数列的一个通项公式：（1）3，5，9，17，33，；（2），；（3）2，6，12，20，30，42，.解：（1）联想数列2，4，8，16，32，可知所求通项公式为an=2n+1.（2）分别观察各项分子与分母的规律，分子为偶数列2n；分母为13，35，57，79，故所求通项公式为an=.（3）将数列变形为12，23，34，45，于是可得已知数列的通项公式为an=（1）n+1n（n+1）.8.已知数列an的通项an=（n+1）（）n（nN）.试问该数列an有没有最大项？若有，求出最大项和最大项
14、的项数；若没有，说明理由.解：an+1an=（n+2）（）n+1（n+1）（）n=（）n，当n9时，an+1an0，即an+1an；当n=9时，an+1an=0，即an+1=an；当n9时，an+1an0，即an+1an；故a1a2a3a9=a10a11a12.数列an有最大项a9或a10，其值为10（）9，其项数为9或10.探究创新9.有一个细胞集合，在一小时里死亡两个，剩下的细胞每一个都分裂成两个，假设开始有10个细胞，问经过几个小时后，细胞的个数为1540个？解：设n小时后的细胞个数为an，依题意得an+1=2（an2），所以an+14=2（an4）.又a1=10，an4=（a14）2n
15、1=32n.an=32n+4，使32n+4=1540.n=9.思悟小结1.用归纳法依据前几项写出数列的一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维方法，需要我们有一定的数学观察能力和分析能力，并熟知一些常见的数列的通项公式，如：数列n2，2n，（1）n，2n，2n1，并了解an= 的合一形式an=a+ b.2.对于符号（数字、字母、运算符号、关系符号）、图形、文字所表示的数学问题，要有目的地从局部到整体多角度进行观察，从而得出结论.3.求数列的通项公式是本节的重点，主要掌握两种求法.（1）由数列的前几项归纳出一个通项公式，关键是善于观察.（2）数列an的前n项和Sn与数列an的通项公式an的关系，要
16、注意验证能否统一到一个式子中.教师下载中心教学点睛1.要注意强调数列、数列的项、数列的通项三个概念的区别.2.给出数列的方法中，递推关系包含两种：一种是项和项之间的关系；另一种是项和前n项和Sn之间的关系.要用转化的数学思想方法.转化是数学中最基本、最常用的解题策略，Sn和an的转化，可给出数列，问题总是在一步步的转化过程中得到解决，在运用转化的方法时，一定要围绕转化目标转化.3.重视函数与数列的联系，重视方程思想在数列中的应用.拓展题例【例1】 已知f（x）=（+）2（x0），又数列an（an0）中，a1=2，这个数列的前n项和的公式Sn（nN*）对所有大于1的自然数n都有Sn=f（Sn1）
17、.（1）求数列an的通项公式；（2）若bn=（nN*），求证b1+b2+bnn=1.分析：由于已知条件给出的是Sn与Sn1的函数关系，而要求的是an的通项公式，故关键是确定Sn.解：（1）f（x）=（+）2，Sn=（+）2.=.又=，故有=+（n1）=n，即Sn=2n2（nN*）.当n2时，an=SnSn1=2n22（n1）2=4n2；当n=1时，a1=2，适合an=4n2.因此，an=4n2（nN*）.（2）bn=1+，b1+b2+b3+bnn=1.【例2】 已知数列an中，an（0，），anan12，其中n2，n*，求证：对一切自然数n都有anan1成立.证明：an1anan2an（an1）2.0an，1an1.（an1）2.（an1）20.an1an0，即anan1对一切自然数n都成立.
