1、高考资源网（） 您身边的高考专家3.3 等比数列知识梳理1.定义数列an从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.常数叫公比.2.通项公式：an=a1qn1，推广形式：an=amqnm.变式：q=（n、mN*）.3.前n项和Sn=注：q1时，=.4.等比中项：若a、b、c成等比数列，则b为a、c的等比中项，且b=.5.三个数或四个数成等比数列且又知积时，则三个数可设为、a、aq，四个数可设为、aq、aq3为好.6.证明等比数列的方法：（1）用定义：只需证=常数；（2）用中项性质：只需an+12=anan+2或=.点击双基1.一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小
2、内角是A.arccos B.arcsin C.arccosD.arcsin解析：设RtABC中，C=，则A与B互余且A为最小内角.又由已知得sin2B=sinA，即cos2A=sinA，1sin2A=sinA，解之得sinA=或sinA=（舍）.答案：B2.设an是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a1a2a3a30=230，那么a3a6a9a30等于A.210 B.220 C.216 D.215解析：由等比数列的定义，a1a2a3=（）3，故a1a2a3a30=（）3.又q=2，故a3a6a9a30=220.答案：B3.某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使
3、水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为A.5B.10C.14D.15解析：由题意列式（120%）n5%，两边取对数得n13.4.故n14.答案：C4.（2004年全国，文14）已知等比数列an中，a3=3，a10=384，则该数列的通项an=_.解析：由已知得q7=128=27，故q=2.an=a3qn3=32n3.答案：32n35.如下图，在杨辉三角中，从上往下数共有n（nN*）行，在这些数中非1的数字之和是_.11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1解析：观察可知，第n（nN*）行中有n个数，从左向右依次是二项式系数C，C，C，C，故当n3时，除了1外，第n行各数的和
4、为an=C+C+C=2n12.又前两行全部为数字1，故前n行非1的数字之和为a3+a4+an=2（n2）=2n2n.答案：2n2n典例剖析【例1】 已知等比数列an中，a1+a2+a3=7，a1a2a3=8，求an.剖析：利用等比数列的基本量a1，q，根据条件求出a1和q.解：设an的公比为q，由题意知解得或an=2n1或an=23n.评述：转化成基本量解方程是解决数列问题的基本方法.思考讨论用a2和q来表示其他的量好解吗？该题的an若成等差数列呢？【例2】 已知数列an为等差数列，公差d0，an的部分项组成下列数列：a，a，a，恰为等比数列，其中k11，k25，k317，求k1k2k3kn.
5、剖析：运用等差（比）数列的定义分别求得a，然后列方程求得kn.解：设an的首项为a1，a、a、a成等比数列，（a14d）2a1（a116d）.得a12d，q3.aa1（kn1）d，又aa13n1，kn23n11.k1k2kn2（133n1）n2n3nn1.评述：运用等差（比）数列的定义转化为关于kn的方程是解题的关键，转化时要注意：a是等差数列中的第kn项，而是等比数列中的第n项.【例3】 设各项均为正数的数列an和bn满足5，5，5成等比数列，lgbn，lgan+1，lgbn+1成等差数列，且a1=1，b1=2，a2=3，求通项an、bn.剖析：由等比中项、等差中项的性质得an+1=递推出a
6、n=（n2）.解：5，5，5成等比数列，（5）2=55，即2bn=an+an+1. 又lgbn，lgan+1，lgbn+1成等差数列，2lgan+1=lgbn+lgbn+1，即an+12=bnbn+1. 由及ai0，bj0（i、jN*）可得an+1=. an=（n2）. 将代入可得2bn=+（n2），2=+（n2）.数列为等差数列.b1=2，a2=3，a22=b1b2，b2=.=+（n1）（）=（n+1）（n=1也成立）.bn=.an=（n2）.又当n=1时，a1=1也成立.an=.评述：由Sn求an时要注意验证a1与S1是否一致.特别提示1.an为等比数列是an+12=anan+2的充分但不
7、必要条件.2.若证an不是等比数列，只需证ak2ak1ak+1（k为常数，kN，且k2）.闯关训练夯实基础1.若等比数列an的公比q0，前n项和为Sn，则S8a9与S9a8的大小关系是A.S8a9S9a8B.S8a9S9a8C.S8a9=S9a8D.不确定解析：由等比数列通项公式和前n项和公式得S8a9S9a8=a1q3a1q7=a12q7.又q0，则S8a9S9a80，即S8a9S9a8.答案：A2.银行一年定期的年利率为r，三年定期的年利率为q，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q的值应略大于A.B.（1+r）31C.（1+r）31D.r解析：由题意得（1+r）31+3q，
8、故q（1+r）31.答案：B3.（2003年上海，8）若首项为a1，公比为q的等比数列an的前n项和总小于这个数列的各项和，则首项a1，公比q的一组取值可以是（a1，q）=_.解析：由题意知且|q|1对nN都成立，a10，0q1.答案：（1，）（a10，0q1的一组数）4.设an是首项为1的正项数列，且（n+1）an+12nan2+an+1an=0（nN*），则它的通项公式an=_.解析：分解因式可得（n+1）an+1nanan+1+an=0，又an0，则（n+1）an+1nan=0，即=.又a1=1，由累积法可得an=.答案：5.定义一种运算“*”对于任意非零自然数n满足以下运算性质：（1）
9、1*1=1；（2）（n+1）*1=3（n*1）.试求n*1关于n的代数式.解：“n*1”是一个整体，联想数列通项形式，设n*1=an，则a1=1，an+1=3an，得an=3n1，即n*1=3n1.6.等比数列an的各项均为正数，其前n项中，数值最大的一项是54，若该数列的前n项之和为Sn，且Sn=80，S2n=6560，求：（1）前100项之和S100.（2）通项公式an.解：设公比为q，S2nSn=6480Sn，q1.则最大项是an=a1qn1（an0）. 又Sn=80， S2n=6560， 由解得a1=2，q=3，则（1）前100项之和S100=31001.（2）通项公式为an=23n1
10、.培养能力7.数列an的前n项和为Sn，数列bn中，b1=a1，bn=anan1（n2），若an+Sn=n.（1）设cn=an1，求证：数列cn是等比数列；（2）求数列bn的通项公式.（1）证明：a1=S1，an+Sn=n，a1+S1=1，得a1=.又an+1+Sn+1=n+1，两式相减得2（an+11）=an1，即=，也即=，故数列cn是等比数列.（2）解：c1=a11=，cn=，an=cn+1=1，an1=1.故当n2时，bn=anan1=.又b1=a1=，即bn=（nN*）.8.设数列an、bn（bn0，n*），满足an（n*），证明：an为等差数列的充要条件是bn为等比数列.证明：充分
11、性：若bn为等比数列，设公比为q，则anlgb1（n1）lgq，an1anlgq为常数，an为等差数列.必要性：由an得nanlgb1lgb2lgbn，（n1）an1lgb1lgb2lgbn1，n（an1an）an1lgbn1.若an为等差数列，设公差为d，则nda1ndlgbn1，bn110，bn10.102d为常数.bn为等比数列.探究创新9.有点难度哟！设数列an，a1，若以a1，a2，an为系数的二次方程：an1x2anx10（n*且n2）都有根、满足331.（1）求证:an为等比数列；（2）求an；（3）求an的前n项和Sn.（1）证明：，代入331得anan1，为定值.数列an是等
12、比数列.（2）解：a1，an（）n1（）n.an（）n.（3）解：Sn（+)+.思悟小结1.深刻理解等比数列的定义，紧扣从“第二项起”和“比是同一常数”这两点.2.运用等比数列求和公式时，需对q=1和q1进行讨论.3.证明数列an是等差数列的两种基本方法是：（1）利用定义，证明（n2）为常数；（2）利用等比中项，即证明an2=an1an+1（n2）.教师下载中心教学点睛1.等比数列的性质在求解中有着十分重要的作用，应让学生熟练掌握、灵活运用.2.解决等比数列有关问题的常见思想方法：（1）方程的思想：等比数列中五个元素a1、an、n、q、Sn可以“知三求二”；（2）分类讨论的思想：当a10，q1
13、或a10，0q1时为递增数列，当a10，q1或a10，0q1时为递减数列；当q0时为摆动数列；当q=1时为常数列.3.转化为“基本量”是解决问题的基本方法.拓展题例【例1】 数列an中，a1=1，an=an1+1（n2），求通项公式an.解：由an=an1+1，得an2=（an12）.令bn=an2，则bn1=an12，有bn=bn1.bn=bn1=bn2=bn3=b1=（）n1b1.a1=1，b1=a12=1.bn=（）n1.an=2.【例2】 已知数列an中，a1=，a2=并且数列log2（a2），log2（a3），log2（an+1）是公差为1的等差数列，而a2，a3，an+1是公比为的
14、等比数列，求数列an的通项公式.分析：由数列log2（an+1）为等差数列及等差数列的通项公式，可求出an+1与an的一个递推关系式；由数列an+1为等比数列及等比数列的通项公式，可求出an+1与an的另一个递推关系式.解两个关系式的方程组，即可求出an.解：数列log2（an+1）是公差为1的等差数列，log2（an+1）=log2（a2a1）+（n1）（1）=log2（）n+1=（n+1），于是有an+1=2（n+1）. 又数列an+1an是公比为的等比数列，an+1an=（a2a1）3（n1）=（）3（n1）=3（n+1）.于是有an+1an=3（n+1）. 由可得an=2（n+1）3（n+1），an=.- 8 - 版权所有高考资源网
