1、高二下学期第一次月考数学试题 2019.3.21 共150分，考试时间120分钟。一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.设,则等于（ ） A. B. C. D.2.,则等于( )A.2cos() B. C. D.3.在曲线的切线中,与直线平行的切线方程是( )A. B. C. D.或4.函数的极值点是( )A. B. C. 或或0 D.5.设，则此函数在区间(0,)和(,1)内分别( )A.单调递增,单调递减 B.单调递增,单调递增C.单调递减,单调递增 D.单调递减,单调递减6.已知，则为( )A. B. C.0 D.7.方程的实根个数是( )A.3 B.2 C.1 D.0
2、8.若函数在区间上的最大值、最小值分别为、,则的值为( )A.2 B.4 C.18 D.209.已知，则等于( )A.0 B. C. D.210.函数，则( )A.仅有极小值 B.仅有极大值 C.有极小值0,极大值 D.以上皆不正确11.设是函数的导函数, 的图象如右图所示,则的图象最有可能是( ) 班级 姓名 考号 分数 12.已知有极大值和极小值，则的取值范围为( )A. B. C.或 D.或二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)13.已知函数是可导函数,且，则等于_.14.在半径为的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形的面积最大时，其梯形的上底长为_.1
3、5.设偶函数在点处可导，则_.16.函数在时有极值10，那么、的值为_.三、解答题(本大题共6小题,共74分)17.(本小题满分12分)已知函数在处有极值,其图象在处的切线平行于直线,试求函数的极大值与极小值之差.18.(本小题满分12分) 利用导数证明当时，19.(本小题满分12分)用长为90 cm、宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90角,再焊接而成(如图).问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少? 20.(本小题满分12分)已知函数(1)若的图象有与轴平行的切线，求的取值范围；(2)若在时取得极值，且时恒成立，求的取值范
4、围.21.(本小题满分12分)设,点是函数与的图象的一个公共点,两函数的图象在点处有相同的切线.(1)用表示、;(2)若函数在(-1,3)上单调递减,求的取值范围.22.(本小题满分14分)设、是函数的两个极值点，且.(1)证明：;(2)证明：;(3)若函数，证明：当且时，.高二下学期第一次月考数学试题 答案1.解析:=. 。答案:B2.解析: 答案:B3.解析:，又的斜率为4,设曲线的切线中与平行的切线的切点为，则,或. 切点为、均不在上.有两条直线与平行. 答案:D4.解析:f(x)=32x(x2-1)2,令,得或x=1,但或时,两侧的导数值的符号同号,不是极值点.答案:D5.解析:y=1
5、6x-.当x(0,)时,y0,y=8x2-lnx为增函数.答案:C6.解析:f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)-x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5),f(0)=-1(-2)(-3)(-4)(-5)=-5!. 答案:B7.解析:应用导数的几何意义易判断函数的增减性,然后根据极值判断实根的个数.设f(x)=x3-6x2+9x-10f(x)=3x2-12x+9f(x)=0得x1=1或x=3.x1时,f(x)单调递增,最大值为-6.当13时,f(x)单调递增,最小值为-10.由上分析知y=f(x)的图象如图,与x轴只有一个公共点, 所以只有一个实根。故选C.答
6、案:C8.解析:本题考查导数的应用.f(x)=3x2-3,令f(x)=0得x=1.当0x1时,f(x)0,则f(1)最小.又f(0)=-a,f(3)=18-a, 则f(3)f(0), 则最大值为f(3),即M=f(3),N=f(1)M-N=f(3)-f(1)=(18-a)-(-2-a)=20, 故选D.答案:D9.解析:f(x)=2x+2f(1), 令x=1得f(1)=2+2f(1), f(1)=-2.令x=0得f(0)=2f(1), f(0)=-4.答案:B 10.解析:f(x)=-e-x+e-x=e-x(-+)=e-x.令f(x)=0,得x=.当时, ；当时, . 时取极大值,.答案:B1
7、1.解析:由y=f(x)的图象可得. 当x0, y=f(x)在(-,0)上单调递增.当0x2时,f (x)2时,f(x)0, y=f(x)在(2,+)上单调递增. 答案:C12.解析:f(x)=3x2+2ax+a+6. 要使f(x)有极大值和极小值,需f(x)=0有两个不相等的实根. =4a2-12(a+6)0. a6或a-3. 答案:D13.解析:令x-a=h,则原式=2+=2f(a)+f(a)=3.答案:314.解析:设梯形的上底长为2x,高为h,面积为S,因为h=,所以S=(r+x) ,S=-=, 令S=0得x=,h=r,当0x0; 当xr时,S0.当x=时,S取极大值.又极值点唯一,因
8、此当梯形的上底长为r时,它的面积最大.答案:r15.解析:=-=-. f(0)=-f(0). f(0)=0. 答案:0 16.解析:f(x)=3x2+2ax+b. x=1是极值点, f(1)=0,即3+2a+b=0. 又, 1+a+b+a2=10. 由得或. 答案:或17.解:f(x)=3x2+2ax+b. f(x)在x=2处有极值，f(2)=0，即12+4a+b=0.又f(x)的图象在x=1处的切线平行于直线y=-3x-2, f(1)=-3, 即3+2a+b=-3.由，得 ，f(x)=3x2-6x. 由f(x)=0，得x1=0,x2=2.当x0；当0x2,f(x)2时,f(x)0.x=0时取
9、极大值,x=2时取极小值. f(0)-f(2)=c-8+12-c=4.18.证明:设f(x)=ln(1+x)-x+,其定义域为(-,+). f(x)=-1+x=0.所以f(x)在(-1,+)上是增函数. 由增函数定义知,当x0时,f(x)f(0)=0,即x0时,ln(1+x)x-.19.解:设容器高为,容器的容积为，则V(x)=x(90-2x)(48-2x) =4x3-276x2+4320x(0x24). 求V(x)的导数,得V(x)=12x2-552x+4 320=12(x2-46x+360)=12(x-10)(x-36),令V(x)=0,得x1=10,x2=36(舍去).当0x10时,V(
10、x)0,那么V(x)为增函数;当10x24时,V(x)0,那么V(x)为减函数.因此,在定义域(0,24)内,函数V(x)只有当x=10时取得最大值,其最大值为V(10)=10(90-20)(48-20)=19600(cm3).答:当容器的高为10 cm时,容器的容积最大,最大容积为19600 cm3. 20.解:( 1)f(x)=3x2-x+b，的图象上有与轴平行的切线，则有实数解，即方程3x2-x+b=0有实数解，由=1-12b0，得b.(2)由题意，是方程3x2-x+b=0的一个根，设另一根为，则 f(x)=x3-x2-2x+c, f(x)=3x2-x-2.当x(-1,-)时，f(x)0
11、； x(-,1)时，f(x)0.当x=-时，f(x)有极大值+c. 又f(-1)=+ c,f(2)=2+c,即当x-1,2时，f(x)的最大值为f(2)=2+c.对时,恒成立，。解得或。故的取值范围为.21.(1)解:因为函数f(x)、g(x)的图象都过点(t,0), 所以f(t)=0,即t3+at=0. 因为t0,所以a=-t2. g(t)=0,即bt2+c=0,所以c=ab.又因为f (x)、g(x)在点(t,0)处有相同的切线,所以f(t)=g(t).而f(x)=3x2+a,g(x)=2bx, 所以3t2+a=2bt. 将a=-t2代入上式得b=t. 因此c=ab=-t3. 故a=-t2
12、,b=t,c=-t3.(2)解法一:y=f(x)-g(x)=x3-t2x-tx2+t3,y=3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t).当y=(3x+t)(x-t)0时,函数y=f(x)-g(x)单调递减. 由y0,则-xt;若t0,则tx-.由题意,函数y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减,则(-1,3)(-,t)或(-1,3)(t,-).所以t3或-3,即t-9或t3.又当-9t0,x1x2=-a0,x1+x2=-. |x1|+|x2|=|x1-x2|=.|x1|+|x2|=2,+4a=4, 即b2=4a2-4a3. 又b20,00得0a,g(a)0.又0a1得x1,|x-x1|=x-x1. 又x10,x1x20. x2+22. x2, x-x2-20.|x-x2-2|=x2+2-x. |x-x1|+|x-x2-2|=x2-x1+2=4, |h(x)|4a.
