1、2016-2017学年湖北省宜昌市夷陵中学高二（上）期末数学试卷（理科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集为R，集合A=x|2x1，B=x|x23x+20，则ARB=（）Ax|x0Bx|1x2Cx|0x1或x2Dx|0x1或x22已知命题p：对于xR恒有2x+2x2成立；命题q：奇函数f（x）的图象必过原点，则下列结论正确的是（）Apq为真Bpq为真Cp（q）为真Dq为假3某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位
2、数是83则x+y的值为（）A7B8C9D104执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）ABC0D5若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A2cm2B cm3C3cm3D3cm36设等差数列an的公差d0，a1=2d，若ak是a1与a2k+1的等比中项，则k=（）A2B3C6D87在等腰ABC中，BAC=90，AB=AC=2，则的值为（）ABCD8过点P（4，8）且被圆x2+y2=25截得的弦长为6的直线方程是（）A3x4y+20=0B3x4y+20=0或x=4C4x3y+8=0D4x3y+8=0或x=49住在狗熊岭的7只动物，它
3、们分别是熊大，熊二，吉吉，毛毛，蹦蹦，萝卜头，图图为了更好的保护森林，它们要选出2只动物作为组长，则熊大，熊二至少一个被选为组长的概率为（）ABCD10函数y=Asin（x+）（0，|）的部分图象如图所示，则函数的一个表达式为（）Ay=4sin（x+）By=4sin（x）Cy=4sin（x）Dy=4sin（x+）11函数f（x）=（x）cosx（x且x0）的图象可能为（）ABCD12过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=3，则AOF的面积为（）ABCD2二填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，
4、模棱两可均不得分13函数y=的定义域是14如图所示，分别以A，B，C为圆心，在ABC内作半径为2的扇形（图中的阴影部分），在ABC内任取一点P，如果点P落在阴影内的概率为，那么ABC的面积是15设z=x+y，其中x，y满足，若z的最大值为12，则z的最小值为16已知F是双曲线C：x2=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6）当APF周长最小时，该三角形的面积为三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示（）分别求出两人得分的平均数与方差；（）请对两人的训练成绩作出评价18已知函数f（x）=co
5、sxcos（x+）（）求f（x）的最小正周期；（）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（c）=，a=2，且ABC的面积为2，求边长c的值19如图，某水域的两直线型岸边l1，l2 成定角120，在该水域中位于该角角平分线上且与顶点A相距1公里的D处有一固定桩现某渔民准备经过该固定桩安装一直线型隔离网BC（B，C分别在l1和l2上），围出三角形ABC养殖区，且AB和AC都不超过5公里设AB=x公里，AC=y公里（1）将y表示成x的函数，并求其定义域；（2）该渔民至少可以围出多少平方公里的养殖区？20端午节即将到来，为了做好端午节商场促销活动，某商场打算将进行促销活动的礼品盒重新设
6、计方案如下：将一块边长为10的正方形纸片ABCD剪去四个全等的等腰三角形SEE，SFF，SGG，SHH再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒SEFGH，其中A，B，C，D重合于点O，E与E重合，F与F重合，G与G重合，H与H重合（如图所示）（）求证：平面SEG平面SFH；（）当AE=时，求二面角ESHF的余弦值21等差数列an的前n项和为Sn，数列bn是等比数列，满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a52b2=a3（）求数列an和bn的通项公式；（）令cn=+bn，设数列cn的前n项和Tn，求T2n22如图，已知椭圆（ab0），A（2，0）是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且
7、=0，|=2|（）求椭圆的方程；（）设P、Q为椭圆上异于A，B且不重合的两点，且PCQ的平分线总是垂直于x轴，是否存在实数，使得=，若存在，请求出的最大值，若不存在，请说明理由2016-2017学年湖北省宜昌市夷陵中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集为R，集合A=x|2x1，B=x|x23x+20，则ARB=（）Ax|x0Bx|1x2Cx|0x1或x2Dx|0x1或x2【考点】交、并、补集的混合运算【分析】先求出集合AB，再求出B的补集，根据交集的定义即可求出【解答】解
8、：全集为R，集合A=x|2x1=x|x0，B=x|x23x+20=x|1x2，RB=x|x1或x2，ARB=x|0x1或x2故选：C2已知命题p：对于xR恒有2x+2x2成立；命题q：奇函数f（x）的图象必过原点，则下列结论正确的是（）Apq为真Bpq为真Cp（q）为真Dq为假【考点】复合命题的真假【分析】由基本不等式可判命题p为真命题，奇函数f（x）只有当x=0有意义时，才有图象必过原点，故q假，由复合命题的真假可得答案【解答】解：由基本不等式可得，2x+2x=，当且仅当，即x=0时，取等号，即对于xR恒有2x+2x2成立，故命题p为真命题奇函数f（x）只有当x=0有意义时，才有图象必过原点
9、如y=，为奇函数，但不过原点故命题q为假命题，q为真命题由复合命题的真假，可知，pq为假，pq为假，故选项A、C、D都错误，只有C选为正确故选C3某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83则x+y的值为（）A7B8C9D10【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数【分析】利用平均数求出x的值，中位数求出y的值，解答即可【解答】解：由茎叶图可知甲班学生的总分为702+803+902+（8+9+5+x+0+6+2）=590+x，又甲班学生的平均分是85，总分又等于857=595所以x=5乙
10、班学生成绩的中位数是80+y=83，得y=3x+y=8故选B4执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）ABC0D【考点】程序框图【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当i=1时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=2；当i=2时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=3；当i=3时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=3；当i=4时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=5；当i=5时，执行完循环体后：S=0，满足继续循环的条件，故i=6
11、；当i=6时，执行完循环体后：S=0，满足继续循环的条件，故i=7；当i=7时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=8；当i=8时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=9；当i=9时，执行完循环体后：S=，不满足继续循环的条件，故输出结果为，故选：A5若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A2cm2B cm3C3cm3D3cm3【考点】由三视图求面积、体积【分析】由几何体的三视图得到原几何体的底面积与高，进而得到该几何体的体积【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体为底面是直角梯形，高为的四棱锥，其中直角
12、梯形两底长分别为1和2，高是2故这个几何体的体积是（1+2）2=（cm3）故选：B6设等差数列an的公差d0，a1=2d，若ak是a1与a2k+1的等比中项，则k=（）A2B3C6D8【考点】等差数列与等比数列的综合【分析】根据等差数列的通项公式表示出ak与a2k+1，由ak是a1与a2k+1的等比中项，根据等比数列的性质列出关系式，根据公差d不为0，化简后得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值【解答】解：由a1=2d，得到ak=2d+（k1）d=（k+1）d，a2k+1=2d+2kd=（2k+2）d，又ak是a1与a2k+1的等比中项，所以（k+1）d2=2d（2k+2）d，化简得：（
13、k+1）2d2=4（k+1）d2，由d0，得到：（k+1）2=4（k+1），即k22k3=0，k为正整数，解得：k=3，k=1（舍去），则k的值为3故选：B7在等腰ABC中，BAC=90，AB=AC=2，则的值为（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【分析】将所求利用三角形法则表示为AB，AC对应的向量表示，然后利用向量的乘法运算求值【解答】解：由已知得到=（）（）=2，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，AB=AC=2，所以上式=；故选：A8过点P（4，8）且被圆x2+y2=25截得的弦长为6的直线方程是（）A3x4y+20=0B3x4y+20=0或x=4C4x3y+8=0D4x3y+8
14、=0或x=4【考点】直线与圆的位置关系【分析】由圆的方程，可知圆心（0，0），r=5，圆心到弦的距离为4，若直线斜率不存在，则垂直x轴x=4，成立；若斜率存在，由圆心到直线距离d=4，即可求得直线斜率，求得直线方程【解答】解：圆心（0，0），r=5，圆心到弦的距离为4，若直线斜率不存在，则垂直x轴x=4，圆心到直线距离=|04|=4，成立；若斜率存在y8=k（x4）即：kxy4k+8=0则圆心到直线距离d=4，解得k=，综上：x=4和3x4y+20=0，故选B9住在狗熊岭的7只动物，它们分别是熊大，熊二，吉吉，毛毛，蹦蹦，萝卜头，图图为了更好的保护森林，它们要选出2只动物作为组长，则熊大，熊二
15、至少一个被选为组长的概率为（）ABCD【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】熊大，熊二至少一个被选为组长的对立事件是熊大，熊二都有没有被选为组长，由此利用对立事件概率计算公式能求出熊大，熊二至少一个被选为组长的概率【解答】解：从住在狗熊岭的7只动物中选出2只动物作为组长，基本事件总数n=21，熊大，熊二至少一个被选为组长的对立事件是熊大，熊二都有没有被选为组长，熊大，熊二至少一个被选为组长的情况为=10，熊大，熊二至少一个被选为组长的概率p=故选：C10函数y=Asin（x+）（0，|）的部分图象如图所示，则函数的一个表达式为（）Ay=4sin（x+）By=4sin（x）Cy=4sin（x）
16、Dy=4sin（x+）【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】观察函数的图象可得A，由图可得周期T=16，代入周期公式T=可求，再把函数图象上的最值点代入结合已知的范围可得的值，即可得解【解答】解：由函数的图象可得最大值为4，且在一周期内先出现最小值，所以A=4，观察图象可得函数的周期T=16，=，又函数的图象过（2，4）代入可得sin（+）=1，+=2k+，|，=，函数的表达式y=4sin（x+）故选：A11函数f（x）=（x）cosx（x且x0）的图象可能为（）ABCD【考点】函数的图象【分析】先根据函数的奇偶性排除AB，再取x=，得到f（）0，排除C【解答】解：f（x
17、）=（x+）cos（x）=（x）cosx=f（x），函数f（x）为奇函数，函数f（x）的图象关于原点对称，故排除A，B，当x=时，f（）=（）cos=0，故排除C，故选：D12过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=3，则AOF的面积为（）ABCD2【考点】抛物线的简单性质【分析】利用抛物线的定义，求出A的坐标，再计算AOF的面积【解答】解：抛物线y2=4x的准线l：x=1|AF|=3，点A到准线l：x=1的距离为31+xA=3xA=2，yA=2，AOF的面积为=故选：B二填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错
18、位置，书写不清，模棱两可均不得分13函数y=的定义域是x|x2且x3【考点】函数的定义域及其求法【分析】由分式的分母不等于0，对数的真数大于0联立不等式组求解x的取值集合得答案【解答】解：由，解得：x2且x3函数y=的定义域是x|x2且x3故答案为：x|x2且x314如图所示，分别以A，B，C为圆心，在ABC内作半径为2的扇形（图中的阴影部分），在ABC内任取一点P，如果点P落在阴影内的概率为，那么ABC的面积是6【考点】模拟方法估计概率【分析】由题意知本题是一个几何概型，先试验发生包含的所有事件是三角形的面积S，然后求出阴影部分的面积，代入几何概率的计算公式即可求解【解答】解：由题意知本题是
19、一个几何概型，试验发生包含的所有事件是直角三角形的面积S，阴影部分的面积S1=22=2点P落在区域M内的概率为P=故S=6，故答案为：615设z=x+y，其中x，y满足，若z的最大值为12，则z的最小值为6【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，先求出最优解，利用数形结合即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+y得y=x+z，则直线截距最大时，z也最大平移直线y=x+z由图象可知当直线y=x+z经过点B时，直线y=x+z的截距最大，此时z最大为12，即x+y=12，由，得，即B（6，6），此时B也在直线y=k上，k=6，当直线y
20、=x+z经过点A时，直线y=x+z的截距最小，此时z最小，由，即，即A（12，6），此时z=x+y=12+6=6，故答案为：616已知F是双曲线C：x2=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6）当APF周长最小时，该三角形的面积为12【考点】双曲线的简单性质【分析】利用双曲线的定义，确定APF周长最小时，P的坐标，即可求出APF周长最小时，该三角形的面积【解答】解：由题意，设F是左焦点，则APF周长=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PF|+2|AF|+|AF|+2（A，P，F三点共线时，取等号），直线AF的方程为与x2=1联立可得y2+6y96=0，P的纵坐标为2，AP
21、F周长最小时，该三角形的面积为=12故答案为：12三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示（）分别求出两人得分的平均数与方差；（）请对两人的训练成绩作出评价【考点】极差、方差与标准差【分析】（）由茎叶图列出甲、乙近期的五次测试成绩得分，由此能求出两人得分的平均数与方差（）甲、乙二人的平均成绩相等，但乙比甲的成绩更稳定【解答】解：（）由茎叶图知甲近期的五次测试成绩得分分别为：10，13，12，14，16，甲得分的平均数为： =（10+13+12+14+16）=13，方差为： = （1013）2+
22、（1313）2+（1213）2+（1413）2+（1613）2=4，乙近期的五次测试成绩得分分别为：13，14，12，12，14，乙得分的平均数为： =（13+14+12+12+14）=13，方差为： = （1313）2+（1413）2+（1213）2+（1213）2+（1413）2=0.8（），甲、乙二人的平均成绩相等，但乙比甲的成绩更稳定18已知函数f（x）=cosxcos（x+）（）求f（x）的最小正周期；（）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（c）=，a=2，且ABC的面积为2，求边长c的值【考点】余弦定理；三角函数的周期性及其求法【分析】（1）由三角函数公式化简可
23、得f（x）=cos（2x+）+，由周期公式可得；（2）结合（1）可得C=，由题意和面积公式可得ab的值，进而由余弦定理可得c值【解答】解：（1）化简可得f（x）=cosxcos（x+）=cosx（cosxsinx）=cos2xsinxcosx=sin2x=cos（2x+）+，f（x）的最小正周期T=；（2）由题意可得f（C）=cos（2C+）+=，cos（2C+）=1，C=，又ABC的面积S=absinC=ab=2，ab=8，b=4，由余弦定理可得c2=a2+b22abcosC=12，c=219如图，某水域的两直线型岸边l1，l2 成定角120，在该水域中位于该角角平分线上且与顶点A相距1公里
24、的D处有一固定桩现某渔民准备经过该固定桩安装一直线型隔离网BC（B，C分别在l1和l2上），围出三角形ABC养殖区，且AB和AC都不超过5公里设AB=x公里，AC=y公里（1）将y表示成x的函数，并求其定义域；（2）该渔民至少可以围出多少平方公里的养殖区？【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】（1）由SABD+SACD=SABC，将y表示成x的函数，由0y5，0x5，求其定义域；（2）S=xysinA=sin120=（x5），变形，利用基本不等式，即可得出结论【解答】解：（1）由SABD+SACD=SABC，得，所以x+y=xy，所以y=又0y5，0x5，所以x5，所以定义域为x|x5；
25、（2）设ABC的面积为S，则结合（1）得：S=xysinA=sin120=（x5）=（x1）+24，当仅当x1=，x=2时取等号故当x=y=2时，面积S取最小值平方公里答：该渔民总共至少可以围出平方公里的养殖区20端午节即将到来，为了做好端午节商场促销活动，某商场打算将进行促销活动的礼品盒重新设计方案如下：将一块边长为10的正方形纸片ABCD剪去四个全等的等腰三角形SEE，SFF，SGG，SHH再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒SEFGH，其中A，B，C，D重合于点O，E与E重合，F与F重合，G与G重合，H与H重合（如图所示）（）求证：平面SEG平面SFH；（）当AE=时，求二面角E
26、SHF的余弦值【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定【分析】（）拼接成底面EFGH的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形，从而EGFH，EGFH，EGSO，由此能证明平面SEG平面SFH（）过O作OMSH交SH于M点，连EM，证明EMO为二面角ESHF的平面角，即可求得结论【解答】（1）证明：折后A，B，C，D重合于一点O，拼接成底面EFGH的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形，底面EFGH是正方形，故EGFH，在原平面EFGH是正方形，故EGFH，在原平面图形中，等腰三角形SEESGG，SE=SG，EGSO，又SO、FH平面SFH，SOFH=O，EC平面SFH，又EG平
27、面SEC，平面SEG平面SFH（）解：过O作OMSH交SH于M点，连EM，EO平面SFH，EOSH，SH面EMO，EMO为二面角ESHF的平面角当AE=时，即OE=RtSHO中，SO=5，SH=，OM=，RtEMO中，EM=，cosEMO=，所求二面角的余弦值为 21等差数列an的前n项和为Sn，数列bn是等比数列，满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a52b2=a3（）求数列an和bn的通项公式；（）令cn=+bn，设数列cn的前n项和Tn，求T2n【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（）求出cn，运用等比数列的求和公式和
28、裂项相消求和，即可得到所求【解答】解：（I）设数列an的公差为d，数列bn的公比为q，由a1=3，b1=1，b2+S2=10，a52b2=a3得，解得d=q=2，an=3+2（n1）=2n+1，bn=2n1（）cn=+bn=+2n1，=（）+2n1，前n项和Tn=（1+）+=（）+2n1=2n（+）则T2n=22n（+）22如图，已知椭圆（ab0），A（2，0）是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且=0，|=2|（）求椭圆的方程；（）设P、Q为椭圆上异于A，B且不重合的两点，且PCQ的平分线总是垂直于x轴，是否存在实数，使得=，若存在，请求出的最大值，若不存在，请说明理由【考点】直线与圆锥
29、曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】（）由已知条件推导出AOC是等腰直角三角形，C（1，1），由点C在椭圆上，得，由此能求出椭圆方程（）对于椭圆上两点P，Q，由PCQ的平分线总是垂直于x轴，知PC与CQ所在直线关于x=1对称，kPC=k，则kCQ=k，PC的直线方程为y=k（x1）+1，QC的直线方程为y=k（x1）+1，由此求出PQAB，从而得到存在实数，使得=，求出|的最大值，即可得出结论【解答】解：（I）=0，ACB=90，又|=2|，即|=2|，AOC是等腰直角三角形 A（2，0），C（1，1），而点C在椭圆上，b2=，所求椭圆方程为； （II）对于椭圆上两点P，Q，PCQ的平分线总是垂直于x轴，PC与CQ所在直线关于x=1对称，kPC=k，则kCQ=k，C（1，1），PC的直线方程为y=k（x1）+1，QC的直线方程为y=k（x1）+1，将代入得（1+3k2）x26k（k1）x+3k26k1=0，C（1，1）在椭圆上，x=1是方程的一个根，xP=以k替换k，得到xQ=kPQ=ACB=90，A（2，0），C（1，1），弦BC过椭圆的中心O，A（2，0），B（1，1），kAB=，kPQ=kAB，PQAB，存在实数，使得= |=当时即k=时取等号，又|=，max= 2017年3月22日
