1、第 2 课时 利用基本不等式求最值1会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题2能够运用基本不等式解决生活中的应用问题 基本不等式与最值已知 x，y 都是正数，(1)如果积 xy 等于定值 P，那么当 xy 时，和 xy 有最小值 2 P；(2)如果和 xy 等于定值 S，那么当 xy 时，积 xy 有最大值14S2.温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若 a0，b0，且 ab16，则 ab64.()(2)若 ab2，则 ab 的最小值为 2 2.()(3)当 x1 时
2、，函数 yx 1x12xx1，所以函数 y 的最小值是 2xx1.()(4)若 xR，则 x221x222.()答案(1)(2)(3)(4)题型一利用基本不等式求最值【典例 1】(1)若 x0，求 y4x9x的最小值；(2)设 0 x2，求 x 4x2的最小值；(4)已知 x0，y0，且1x9y1，求 xy 的最小值思路导引 利用基本不等式求最值，当积或和不是定值时，通过变形使其和或积为定值，再利用基本不等式求解解(1)x0，由基本不等式得y4x9x2 4x9x2 3612，当且仅当 4x9x，即 x32时，y4x9x取最小值 12.(2)0 x0，y4x(32x)22x(32x)22x32x
3、2292.当且仅当 2x32x，即 x34时取“”y 的最大值为92.(3)x2，x20，x 4x2(x2)4x222 x24x226.当且仅当 x2 4x2，即 x4 时，x 4x2取最小值 6.(4)x0，y0，1x9y1，xy(xy)1x9y 10yx9xy102 916.当且仅当yx9xy 且1x9y1 时等号成立，即 x4，y12 时等号成立当 x4，y12 时，xy 有最小值 16.变式(1)本例(3)中，把“x2”改为“x2”，则 x 4x2的最值又如何？(2)本例(3)中，条件不变，改为求x22x4x2的最小值解(1)x0，x 4x2 x 2 4x2 2 2x 42x 2 2
4、2x42x22.当且仅当 2x 42x，即 x0 时，x 4x2取最大值2.(2)x22x4x2x222x24x2x2 4x222 x24x226当且仅当 x2 4x2，即 x4 时，原式有最小值 6.(1)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式(2)若多次使用基本不等式，等号成立的条件应相同针对训练1已知 x，y0，且满足x3y41，则 xy 的最大值为_解析 x，y0，x3y412 xy12，得 xy3，当且仅当x3y4即 x32，y2 时，取“”号，xy 的最大值为 3.答案 32已知 x，y0
5、，且 xy4，则1x3y的最小值为_解析 x，y0，(xy)1x3y 4yx3xy 42 3，当且仅当yx3xy，即 x2(31)，y2(3 3)时取“”号，又 xy4，1x3y1 32，故1x3y的最小值为 1 32.答案 1 323若 x3，则实数 f(x)4x3x 的最大值为_解析 x3，x30，x225x 2 x225x 30，当且仅当 x225x，即 x15 时，上式等号成立当 x15 时，y 有最小值 2000 元因此该楼房建为 15 层时，每平方米的平均综合费用最小课堂归纳小结1利用基本不等式求最大值或最小值时应注意：(1)x，y 一定要都是正数；(2)求积 xy 最大值时，应看
6、和 xy 是否为定值；求和 xy 最小值时，应看积 xy 是否为定值；(3)等号是否能够成立以上三点可简记为“一正、二定、三相等”.2.利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用3求解应用题的方法与步骤(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答.1已知 yx1x2(x0)，则 y 有()A最大值为 0 B最小值为 0C最小值为2 D最小值为 2答案 B2已知 0 x1，则当 x(1x)取最大值时，x 的值为()A.13B.12C.14D.23解析 0 x0.x(1x)x1x2214，当且仅当 x1x，即
7、x12时，等号成立答案 B3已知 p，qR，pq100，则 p2q2 的最小值是_答案 2004已知函数 f(x)4xax(x0，a0)在 x3 时取得最小值，则 a_.解析 由基本不等式，得 4xax24xax4 a，当且仅当 4xax，即 x a2 时，等号成立，即 a2 3，a36.答案 365某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为 y12x2200 x80000，该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？解 由题意可知，二氧化碳每吨的平均
8、处理成本为yx12x80000 x200212x80000 x200200，当且仅当12x80000 x，即 x400 时等号成立，故该单位月处理量为 400 吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为 200 元课后作业(十二)复习巩固一、选择题1当 x0 时，y12x 4x 的最小值为()A4 B8C8 3D16解析 x0，12x 0,4x0.y12x 4x212x 4x8 3.当且仅当12x 4x，即 x 3时取最小值 8 3，当 x0 时，y 的最小值为 8 3.答案 C2设 x，y 为正数，则(xy)1x4y 的最小值为()A6 B9C12 D15解析(xy)1x4y x1x4x
9、y yxy4y144xy yx52 4xy yx9.答案 B3若 x0，y0，且2x8y1，则 xy 有()A最大值 64 B最小值 164C最小值12D最小值 64解析 由题意 xy2x8y xy2y8x2 2y8x8 xy，xy8，即 xy 有最小值 64，等号成立的条件是 x4，y16.答案 D4已知 p0，q0，pq1，且 xp1p，yq1q，则 xy 的最小值为()A6 B5C4 D3解析 由 pq1，xyp1pq1q11p1q11p1q(pq)12qppq32qppq5，当且仅当qppq即 pq12时取等号，所以 B 选项是正确的答案 B5若 a1，则 a 1a1有最_(填“大”或
10、“小”)值，为_解析 a1，a10，a1 1a1(1a)11a2，a1 1a12，a 1a11.当且仅当 a0 时取等号答案 大 1二、填空题6已知 0 x0，x，y 为变量，a，b 为常数，且 ab10，axby1，xy 的最小值为 18，求 a，b.解 xy(xy)axby abbxy ayx ab2 ab(ab)2，当且仅当bxy ayx 时取等号故(xy)min(a b)218，即 ab2 ab18，又 ab10，由可得a2，b8 或a8，b2.10(1)已知 x0，y0，且 2x8yxy，求 xy 的最小值解(1)x3，x30，y0，x80，y 2xx8，xyx 2xx8x2x161
11、6x8(x8)16x8102 x8 16x81018.当且仅当 x8 16x8，即 x12 时，等号成立xy 的最小值是 18.解法二：由 2x8yxy0 及 x0，y0，得8x2y1，xy(xy)8x2y8yx 2xy 102 8yx 2xy 1018.当且仅当8yx 2xy，即 x2y12 时等号成立，xy 的最小值是 18.综合运用11已知 a0，b0，ab2，则 y1a4b的最小值是()A.72B4 C.92D5解析 ab2，ab2 1，1a4b1a4b ab2522ab b2a 5222ab b2a92(当且仅当2ab b2a，即 b2a 时，“”成立)，故 y1a4b的最小值为92
12、.答案 C12若 xy 是正数，则x 12y2y 12x2 的最小值是()A3 B.72C4 D.92解析 x 12y2y 12x2x2y2141x21y2 xyyxx2 14x2 y2 14y2 xyyx1124.当且仅当 xy 22 或 xy 22 时取等号答案 C13若对任意 x0，xx23x1a 恒成立，则 a 的取值范围是_解析 因为 x0，所以 x1x2，当且仅当 x1 时取等号，所以有xx23x11x1x3 12315，即xx23x1的最大值为15，故 a15.答案 15，14设 x1，则函数 yx5x2x1的最小值是_解析 x1，x10，设 x1t0，则 xt1，于是有 yt4
13、t1tt25t4tt4t52t4t59，当且仅当 t4t，即 t2 时取等号，此时 x1，当 x1 时，函数 yx5x2x1取得最小值 9.答案 915阳光蔬菜生产基地计划建造一个室内面积为 800 m2 的矩形蔬菜温室在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？解 设 矩 形 温 室 的 一 边 长 为 x m，则 另 一 边 长 为 800 xm(2x200)依题意得种植面积：S(x2)800 x 4 8001600 x 4x88081600 x 4x 80821600 x 4x648，当且仅当1600 x 4x，即 x20 时，等号成立即当矩形温室的一边长为 20 m，另一边长为 40 m 时种植面积最大，最大种植面积是 648 m2.
