1、高三数学试题（理）第 1 页共 4 页安徽六校教育研究会 2022 届高三第一次素质考试理科数学试题考试时间：120 分钟试卷分值：150 分第 I 卷 选择题（共 60 分）一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分).1设集合 A x N|x2 8x 12 0，B x log2(x 1)2，则 A B()Ax 3 x 5Bx 2 x 5C3，4D3，4，52复数 z (3 i)(1 i)3，则|z|（）A4 2B4C 2 3D 2 23.一个至少有 3 项的数列an中，前 n 项和()211nnaanS是数列na为等差数列的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充
2、要条件D 既不充分也不必要条件4.下列说法正确的是（）A.经过三点确定一个平面B.各个面都是三角形的多面体一定是三棱锥C.各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱D.一个三棱锥的四个面可以都为直角三角形5.二项式)()1(Nnxn的展开式中3x 的系数为20，则n（）A.7B.6C.5D.46.将点)54,53(A绕原点逆时针旋转 4 得到点 B，则点 B 的横坐标为（）A.1027B.526C.102D.1027.已知抛物线)0(22ppxy，A 和 B 分别为抛物线上的两个动点，若2AOB（O为坐标原点）,弦 AB 恒过定点)0,4(，则抛物线方程为（）A.xy22 B.xy42 C.xy82
3、D.xy162 8.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若高三数学试题（理）第 2 页共 4 页向此正方形中丢一粒种子，则种子落入白色部分的概率为（）A.3223B.1611C.85D.1699把 1、2、3、4、5、6、7 这七个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先减后增，则这样的数列共有()A.20 个B.62 个C.63 个D.64 个10.我国的洛书中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，.,9填入33的方格内，使三行、三列、对角线的三个数之和都等于15.
4、如图所示.一般地，将连续的正整数2,.,3,2,1n 填入nn个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做 n 阶幻方.记 n 阶幻方的对角线上的数的和为nN，如图三阶幻方记为,153 N那么11N的值为（）A.670B.671C.672D.67511已知双曲线12222 byax的左右焦点为21,FF，过2F 的直线交双曲线于NM,两点（M在第一象限），若21FMF与21FNF的内切圆半径之比为 3：2，则直线 MN 的斜率为（）A.6B.62C.3D.3212设,4ln4,2ln2,22ecbea则（）A.bacB.acbC.bcaD.abc第 II 卷 选择题（共
5、90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）.13已知向量ba,满足,2|ba),3,1(ba则|-|ba_.14在棱长为 2 的正四面体 ABCD 中，AE 是 ABC的高线，则异面直线 AE 和CD 夹角的正弦值为_.高三数学试题（理）第 3 页共 4 页15.正割(secant)及余割（cosecant）这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔威发首先引入.sec，csc 这两个符号是荷兰数学家基拉德在三角学中首先使用，后经欧拉采用得以通行在三角中，定义正割cos1sec，余割sin1csc.已知0t，且16cscsec22xtx对任意的实数),2(Zkkxx
6、均成立，则t 的最小值为_.16已知函数0,3620|,3|)(3xxxxxxf，设25)(kxxg，且函数)()(xgxfy的图像经过四个象限，则实数 k 的取值范围为_.三、解答题（共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17（本小题满分10分）已知数列na的前n 项和为nS，且满足)14(32nnS（Nn）,设.log2nnab(1)分别求na和 nb的通项公式；(2)求数列)3)(1(4nnbb的前前n 项和nT.18.（本小题满分12分）三角形 ABC 中，角CBA,所对的边分别为cba,，已知cbabca2233(1)求;B(2)若,3b求 ABC的面积最大值.19
7、（本小题满分 12 分）近日，国家卫健委公布了 2020 年 9 月到 12 月开展的全国性近视专项调查结果：2020 年，我国儿童青少年总体近视率为 52.7%.为掌握某校学生近视情况，从该校高三（1）班随机抽取 7 名学生，其中 4 人近视、3 人不近视.现从这 7 人中随机抽取球 3 人做进一步医学检查.（1）用 X 表示抽取的 3 人中近视的学生人数，求随机变量 X 的分布列与数学期望；（2）设 A 为事件“抽取的 3 人，既有近视的学生，又有不近视的学生”，求事件 A 发生的概率.高三数学试题（理）第 4 页共 4 页20.（本小题满分 12 分）如图，在多面体 ABCEFM 中，底
8、面 ABC 是等腰直角三角形，,2ACB四边形 ABFE 为矩形，,ABCAE面,62,/CMACAECMAEN为 AB 中点，面 EMN 交 BC 于点G.（1）求CG 长；（2）求二面角NEGB的余弦值.21（本小题满分 12 分）.已知椭圆 C:22221(0)xyabab的离心率为63，21,FF是椭圆 C 的左右焦点，P 为椭圆上的一个动点，且21FPF面积的最大值为3 2.（1）求椭圆 C 的方程；（2）过椭圆 C 的右焦点2F 作与 x 轴不垂直的直线 1l 交椭圆于BA,两点，第一象限点 M 在椭圆上且满足xMF 2轴，连接MBMA,记直线MBMAAB,的斜率分别为21,kkk
9、,探索122kkk是否为定值，若是求出；若不是说明理由.22（本小题满分 12 分）设1,qp，满足,111 qp证明：（1）对任意正数 x，有xqpx p 1；（2）对任意正数ba,，有abqbpaqp.参考答案第页（共 5 页）1安徽六校教育研究会 2022 届高三第一次素质考试理科数学参考答案及评分标准一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分）题号123456789101112答案CACDBABCBBBD二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13.3214.63315.916.)65,29(三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17.（1
10、）由)14(32nnS知，当2n时，)14(321-1-nnS两式相减，得12112)14(32)14(32nnnnnnSSa即)2(212 nann-3 分当 n=1 时，2)14(3211 Sa故 n=1 时也适合上式)(2*12Nnann12log2nabnn-5 分综上：)(2*12Nnann，)(12*Nnnbn（2）由（1）知111)22(24)3)(1(4nnnnbbnn-7 分111111141313121211nnnnnTn-10 分18.(1)cbabca2233)()(222cabcacaca-2 分222bcaca212cos222acbcaB-5 分参考答案第页（共
11、5 页）2),0(B3B-6 分(2)由3,3Bb及余弦定理知Baccabcos2222-8 分accaca223（”成立时“当且仅当 ca）3ac故-11 分43343sin21acBacS433面积的最大值为故ABC-12 分19.解：（1）随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,且-1 分).3,2,1,0()(37334kCCCkXPkk所以，随机变量 X 的分布列为：X0123P35135123518354-5 分随机变量 X 的数学期望712354335182351213510)(XE.-7 分（2）设 B 为事件“抽取的 3 名学生中，不近视 2 人，近视 1 人”；设C
12、 为事件“抽取的 3 名学生中，不近视 1 人，近视 2 人”，则CBA，且 B 与C 互斥，从而76)1()2()()(XPXPCBPAP.-12 分20.延长ACEM,交于一点 H，连接 BH,EACM/且EACM21 C 为 AH 中点，BC 为ABH 的中线，N 为 AB 的中点知，参考答案第页（共 5 页）3 HN 为 ABH的中线GBCHN G 为 ABH的重心故1:2:GCBG由6BC知2CG-5 分（2）如图以C 为原点CMCBCA,分别为zyx,轴正向建立空间直角坐标系，则)0,3,3(),6,0,6(),0,2,0(),0,6,0(NEGB)0,1,3(),6,2,6(),
13、0,4,0(GNGEGB-6 分设面 GBE 的法向量为),(1111zyxn 06260400111111zyxyGEnGBn即知1,111xz得令故面GBE 的一个法向量为)1,0,1(1n-8 分同理设面GBE 的法向量为),(2222zyxn 030626002221222yxzyxGNnGEn即知2,3,1222zyx得令故面GNE 的一个法向量为)2-,3-,1(2 n-10 分由图知二面角GENB为锐角1473723cos2121nnnnGENB.-12 分21.(1)由椭圆的离心率为 36 及21FPF的面积最大值为23可得方程组2222322136cbacbace，解得3,3
14、ba-4 分参考答案第页（共 5 页）4故椭圆C 的方程为：13922 yx-5 分（2）设),(),(2211yxByxA，由xMF 2轴，得)1,6(M，设直线 1l 的方程为)6(xky，与椭圆联立，139)6(22yxxky，代入消元得091866)132222kxkxk（,13918,136622212221kkxxkkxx-7 分)61)6(61)6(21)6161(2122211221121xxkxxkxyxykk)6)(6(62221)6161(221212121xxxxkxxk36362221133136222122kkkkk-11 分36221kkk-12 分22.(1)令
15、 xqpxxfp10 x，则 01 f，且 11 pxxf。-2 分当10 x时，0 xf，)(xf单调递减；当1x时，0 xf，)(xf单调递增，-4 分故)(xf在1x处取得极小值，也是最小值。故对任意,0 x有 01 fxf，结论得证。-5 分（2）令 bxqbpxxfqp0 x，则 abqbpaafqp，且 bxxfp1。-8 分当110pbx时，0 xf，)(xf单调递减；当11pbx时，0 xf，)(xf单调递增，故)(xf在11pbx处取得极小值，也是最小值。-10 分参考答案第页（共 5 页）5而11111pqpppbbqbpbbf0qqqbqbpb，其中1 ppq，故对任意,0 x有 011pbfxf，特别 0af，结论得证。-12 分
