1、2015-2016学年广西南宁市宾阳中学高二（下）期末数学试卷 （理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1若A=2，3，4，B=x|x=m+n，m，nA，mn，则集合B中的元素个数是（）A2B3C4D52已知z1=2i，z2=1+3i，则复数+的虚部为（）A1B1CiDi3从5名男同学，4名女同学中任选5人参加一次夏令营，其中男同学，女同学均不少于2人的概率是（）ABCD4已知ABC的外接圆的圆心为O，AB=2，AC=3，BC=4，则=（）ABC2D75从点P（m，3）向圆C：（x+2）2+（y+2）2=1引切线，则切线长的最小值是（）A2B5CD4+6按照程序框图执行，第3
2、个输出的数是（）A4B5C6D77某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）A90cm2B129cm2C132cm2D138cm28从甲、乙、丙、丁、戊5个人中选1名组长1名副组长，但甲不能当副组长，不同的选法种数是（）A6B10C16D209若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是（）A（3，9B9，+）C9，27D27，+）10已知数列an满足：a1=2，an+1=1，则a2016=（）A2BC1D111已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点且F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）ABC3D212已知f（x）是定
3、义在1，1上的奇函数，当x0，1时，f（x）=，g（x）是定义在2，2上的偶函数，当x2，0时，g（x）=，方程f（g（x）=0，g（f（x）=0的实数根个数分别为a，b，则a+b等于（）A7B8C9D10二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分13 =14若x，y满足约束条件，则的取值范围是15若将函数y=sin2x的图象向右平移（0）个单位，得到的图象关于直线x=对称，则的最小值为16如图所示，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a，b（ab），原点O为AD的中点，抛物线y2=2px（p0）经过C，F两点，则=三、解答题：本大题共6小题，共70分17已知数列an是等差数列，an
4、+1an，a1a10=160，a3+a8=37（1）求数列an的通项公式；（2）若从数列an中依次取出第2项，第4项，第8项，第2n项，按原来的顺序组成一个新数列bn，求Sn=b1+b2+bn18在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且ac，已知=2，cosB=，b=3，求：（）a和c的值；（）cos（BC）的值19如图，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角（1）证明：ACBO1；（2）求二面角OACO1的余弦值20某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份200720082009201020
5、1120122013年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9（）求y关于t的线性回归方程；（）利用（）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： =， =21已知f（x）=（x2+mx+m）ex（1）当m=0时，求f（x）的单调区间；（2）若m2，证明：当x0时，f（x）2恒成立22已知椭圆=1（ab0）的离心率e=，左、右焦点分别为F1、F2，点，点F2在线段PF1的中垂线上（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：y=kx+m
6、与椭圆C交于M、N两点，直线F2M与F2N的倾斜角分别为，且+=，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标2015-2016学年广西南宁市宾阳中学高二（下）期末数学试卷 （理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1若A=2，3，4，B=x|x=m+n，m，nA，mn，则集合B中的元素个数是（）A2B3C4D5【考点】元素与集合关系的判断【专题】集合【分析】要对于A中元素两两相乘看所得的积，由集合元素的互异性得到不相等的元素的积【解答】解：B=x|x=n+m，m，nA，mn，由题意知：当n=2，m=3或4时m+n=5或6，当n=3，m=2或4，m+n=5或7，当n=
7、4，m=2或3时，m+n=6或7，根据集合的互异性可知集合B的元素个数为3，B=5，6，7故选：C2已知z1=2i，z2=1+3i，则复数+的虚部为（）A1B1CiDi【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】数系的扩充和复数【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可【解答】解：z1=2i，z2=1+3i，则复数+=i复数+的虚部为：1故选：A3从5名男同学，4名女同学中任选5人参加一次夏令营，其中男同学，女同学均不少于2人的概率是（）ABCD【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【专题】计算题；转化思想；定义法；概率与统计【分析】基本事件总数n=，其中男同学，女同学均不少于2人是指选
8、中的5人中有2名男同学3名女同学或选中的5人中有3名男同学2名女同学，由此能求出其中男同学，女同学均不少于2人的概率【解答】解：从5名男同学，4名女同学中任选5人参加一次夏令营，基本事件总数n=，其中男同学，女同学均不少于2人是指选中的5人中有2名男同学3名女同学或选中的5人中有3名男同学2名女同学，其中男同学，女同学均不少于2人包含的基本事件个数m=，其中男同学，女同学均不少于2人的概率p=故选：B4已知ABC的外接圆的圆心为O，AB=2，AC=3，BC=4，则=（）ABC2D7【考点】平面向量数量积的运算【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用【分析】作ODAB于D，OEAC于E，利用圆的
9、弦的性质可得AD=，求得=，同理可得=，从而求得=（）的值【解答】解：作ODAB于D，OEAC于E，O中，ODAB，AD=，cosOAD=，=AOABcosOAD=2，同理可得=，=（）=2=，故选：B5从点P（m，3）向圆C：（x+2）2+（y+2）2=1引切线，则切线长的最小值是（）A2B5CD4+【考点】直线与圆的位置关系【专题】综合题【分析】过A作x轴的垂线，与y=3交于点P，此时过点P作圆的切线PQ，切线长PQ最小，连接AQ，得到AQ垂直于PQ，先利用两点间的距离公式求出AP的长，然后在直角三角形APQ中，利用勾股定理即可求出PQ【解答】解：如图，当PAx轴时，过P点作的切线长最短，
10、根据PQ为圆的切线，Q为切点得到AQPQ，由圆的方程得到圆心（2，2），半径为1在直角三角形APQ中，AQ=1，PA=3（2）=5，根据勾股定理得PQ=2故选A6按照程序框图执行，第3个输出的数是（）A4B5C6D7【考点】程序框图【专题】算法和程序框图【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，A的值，当S=6时，不满足条件S5，结束可得第3个输出的数是5【解答】解：执行程序框图，有A=1，S=1输出1，S=2，满足条件S5，A=3，输出3，S=3，满足条件S5，A=5，输出5，S=4，满足条件S5，A=7，输出7，S=5，满足条件S5，A=9，输出9，S=6，不满足条件S5，结束故第3
11、个输出的数是5，故选：B7某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）A90cm2B129cm2C132cm2D138cm2【考点】由三视图求面积、体积【专题】立体几何【分析】几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，根据三视图判断直三棱柱的侧棱长与底面的形状及相关几何量的数据，判断四棱柱的高与底面矩形的边长，把数据代入表面积公式计算【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，其中直三棱柱的侧棱长为3，底面是直角边长分别为3、4的直角三角形，四棱柱的高为6，底面为矩形，矩形的两相邻边长为3和4，几何体的表面积S=246+36+33+234+234+（4+5）3=4
12、8+18+9+24+12+27=138（cm2）故选：D8从甲、乙、丙、丁、戊5个人中选1名组长1名副组长，但甲不能当副组长，不同的选法种数是（）A6B10C16D20【考点】排列、组合的实际应用【专题】应用题；方程思想；综合法；排列组合【分析】本题是一个分类计数问题首先不考虑限制条件从5个人中选两个安排两个组长有A52，若甲当副组长只有从4个人中选一个做组长，共有A41，用所有的结果减去不合题意的得到结果【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题首先不考虑限制条件有A52，若甲偏要当副组长有A41，用所有的结果减去不合题意的得到A52A41=16为所求故选C9若正数a，b满足ab=a+b+3
13、，则ab的取值范围是（）A（3，9B9，+）C9，27D27，+）【考点】基本不等式【专题】转化思想；不等式的解法及应用【分析】利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：ab=a+b+32+3，化为：230，解得3，即ab9当且仅当a=b=3时取等号ab的取值范围是9，+）故选：B10已知数列an满足：a1=2，an+1=1，则a2016=（）A2BC1D1【考点】数列递推式【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】利用递推关系可得an+3=an，即可得出【解答】解：数列an满足：a1=2，an+1=1，a2=1=，同理可得：a3=1，a4=2，an+3=an则a2016=a3671
14、+3=a3=1故答案为：C11已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点且F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）ABC3D2【考点】椭圆的简单性质；余弦定理；双曲线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论【解答】解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（aa1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2F1PF2=，由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）22r1r2cos，在椭圆中，化简为
15、即4c2=4a23r1r2，即，在双曲线中，化简为即4c2=4a12+r1r2，即，联立得， =4，由柯西不等式得（1+）（）（1+）2，即（）=即，d当且仅当时取等号，法2：设椭圆的长半轴为a1，双曲线的实半轴为a2，（a1a2），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2F1PF2=，由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）22r1r2cos=（r1）2+（r2）2r1r2，由，得，=，令m=，当时，m，即的最大值为，法3：设PF1|=m，|PF2|=n，则，则a1+a2=m，则=，由正弦定理得=，
16、即=sin=故选：A12已知f（x）是定义在1，1上的奇函数，当x0，1时，f（x）=，g（x）是定义在2，2上的偶函数，当x2，0时，g（x）=，方程f（g（x）=0，g（f（x）=0的实数根个数分别为a，b，则a+b等于（）A7B8C9D10【考点】分段函数的应用【专题】函数的性质及应用【分析】第一步：根据函数f（x）与g（x）的奇偶性分别作出对应的图象；第二步：由f（g（x）=0及f（x）的图象，得g（x）的值，从而由g（x）的图象得x的值，即得a，由g（f（x）=0及g（x）的图象，得f（x）的值，从而由f（x）的图象得x的值，即得b；第三步：计算a+b的值【解答】解：由，作出f（x）
17、在0，1内的图象，f（x）是定义在1，1上的奇函数，f（x）的图象关于坐标原点成中心对称，由对称性可作出f（x）在1，0）内的图象，如图1所示由g（x）=，作出g（x）在2，0内的图象，g（x）是定义在2，2上的偶函数，g（x）的图象关于y轴对称，由对称性可作出g（x）在（0，2内的图象，如图2所示（1）由方程f（g（x）=0，知g（x）=1，或1，或0，当g（x）=1时，x=2或2；当g（x）=1时，x=1或1；当g（x）=0时，x=，或0，或，a=7（2）由g（f（x）=0，知f（x）=（无解），或（无解），或0，当f（x）=0时，x=1或1或0，b=3从而a+b=7+3=10故答案为D二
18、、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分13 =【考点】定积分的简单应用【专题】计算题【分析】求出被积函数2x的原函数，将积分的上限、下限代入求值即可【解答】解： =（ x2+x1）|13=32+31（ 12+11）=，故答案为14若x，y满足约束条件，则的取值范围是（，13，+）【考点】简单线性规划【专题】数形结合；转化法；不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用分式性质进行转化，结合数形结合进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则=1+，设k=，则k的几何意义是区域内的点到定点C（1，2）的斜率，由图象知，OC的斜率k=2，BC的斜率k=2，则k的取
19、值范围是k2或k2，则1+k3或1+k1，即的取值范围是（，13，+），故答案为：（，13，+）15若将函数y=sin2x的图象向右平移（0）个单位，得到的图象关于直线x=对称，则的最小值为【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】三角函数的图像与性质【分析】根据函数y=Asin（x+）的图象变换规律可得所得函数的解析式为y=sin2（x），再由题意结合正弦函数的对称性可得22=k+，kz，由此求得的最小值【解答】解：将函数y=sin2x的图象向右平移（0）个单位，可得函数y=sin2（x）的图象，再根据得到的图象关于直线x=对称，可得22=k+，kz，即=+，kz，即 =，kz，再根
20、据0，可得的最小值为，故答案为：16如图所示，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a，b（ab），原点O为AD的中点，抛物线y2=2px（p0）经过C，F两点，则=【考点】直线与圆锥曲线的关系【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】可先由图中的点与抛物线的位置关系，写出C，F两点的坐标，再将坐标代入抛物线方程中，消去参数p后，得到a，b的关系式，再寻求的值【解答】解：由题意可得，将C，F两点的坐标分别代入抛物线方程y2=2px中，得a0，b0，p0，两式相比消去p得，化简整理得a2+2abb2=0，此式可看作是关于a的一元二次方程，由求根公式得，取，从而，故答案为：三、解答题：本大题共
21、6小题，共70分17已知数列an是等差数列，an+1an，a1a10=160，a3+a8=37（1）求数列an的通项公式；（2）若从数列an中依次取出第2项，第4项，第8项，第2n项，按原来的顺序组成一个新数列bn，求Sn=b1+b2+bn【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【专题】方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】（1）设等差数列an的公差为d，由an+1an，a1a10=160，a3+a8=37利用等差数列的通项公式即可得出（2）bn=32n+2再利用等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，an+1an，a1a10=160，a3+a8
22、=37，化为37a1+160=0，解得a1=32，或5（舍去），an=5+3（n1）=3n+2（2）bn=32n+2Sn=b1+b2+bn=3（21+22+2n）+2n=+2n=32n+16+2n18在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且ac，已知=2，cosB=，b=3，求：（）a和c的值；（）cos（BC）的值【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数【专题】三角函数的求值【分析】（）利用平面向量的数量积运算法则化简=2，将cosB的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出关系式，将b，cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13，联立即可求出ac的值；（）由
23、cosB的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出sinC的值，进而求出cosC的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值【解答】解：（）=2，cosB=，cacosB=2，即ac=6，b=3，由余弦定理得：b2=a2+c22accosB，即9=a2+c24，a2+c2=13，联立得：a=3，c=2；（）在ABC中，sinB=，由正弦定理=得：sinC=sinB=，a=bc，C为锐角，cosC=，则cos（BC）=cosBcosC+sinBsinC=+=19如图，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，
24、将它沿对称轴OO1折成直二面角（1）证明：ACBO1；（2）求二面角OACO1的余弦值【考点】二面角的平面角及求法【专题】证明题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离【分析】（1）由OAOO1，OBOO1，知AOB是所折成的直二面角的平面角，从而OAOB，进而推导出OCBO1，由此能证明ACBO1（2）推导出BO1平面AOC，设OCO1B=E，过点E作EFAC于F，连结O1F，则O1FE是二面角OACO1的平面角，由此能求出二面角OACO1的余弦值【解答】证明：（1）由题设知OAOO1，OBOO1，所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB从而AO平面OBCO1，OC是AC在面OBC
25、O1内的射影因为tanOO1A=，tanO1OC=，所以OO1B=60，O1OC=30，从而OCBO1由三垂线定理得ACBO1解：（2）由（1）ACBO1，OCBO1，知BO1平面AOC设OCO1B=E，过点E作EFAC于F，连结O1F（如图），则EF是O1F在平面AOC 内的射影，由三垂线定理得O1FAC所以O1FE是二面角OACO1的平面角由题设知OA=3，OO1=，O1C=1，所以=2，AC=，从而=，又O1E=OO1sin30=，所以sinO1FE=，cosO1FE=，二面角OACO1的余弦值为20某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份200
26、7200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9（）求y关于t的线性回归方程；（）利用（）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： =， =【考点】线性回归方程【专题】计算题；概率与统计【分析】（）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程（）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的
27、值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值【解答】解：（）由题意， =（1+2+3+4+5+6+7）=4，=（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，=0.5，=4.30.54=2.3y关于t的线性回归方程为=0.5t+2.3；（）由（）知，b=0.50，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元将2015年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3，得：=0.59+2.3=6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元21已知f（x）=（x2+mx+m）ex（1）当m=0时，求f（x）的单调
28、区间；（2）若m2，证明：当x0时，f（x）2恒成立【考点】函数恒成立问题；函数的单调性及单调区间【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数f（x）的最大值，根据m的范围判断即可【解答】解：（1）m=0时，f（x）=x2ex，f（x）=（2x）xex，当x2时，f（x）0，当x0时，f（x）0，当0x2时，f（x）0，当x0时，f（x）为减函数，当0x2时，f（x）为增函数，当x2时 f（x）为减函数（2）证明：f（x）=xx（2m）ex，x0
29、，m2，令f（x）0，解得：x2m，令f（x）0，解得：x2m，故f（x）在0，2m）递增，在（2m，+）递减，故f（x）的最大值是f（2m）=（4m）em2，m2，4m2，em21，故f（x）222已知椭圆=1（ab0）的离心率e=，左、右焦点分别为F1、F2，点，点F2在线段PF1的中垂线上（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，直线F2M与F2N的倾斜角分别为，且+=，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标【考点】椭圆的标准方程；恒过定点的直线；直线与圆锥曲线的综合问题【专题】综合题；压轴题【分析】（1）根据椭圆的离心率求得a和c的关系，进而根据椭圆C的左
30、、右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0）又点F2在线段PF1的中垂线上推断|F1F2|=|PF2|，进而求得c，则a和b可得，进而求得椭圆的标准方程（2）设直线MN方程为y=kx+m，与椭圆方程联立消去y，设M（x1，y1），N（x2，y2），根据韦达定理可表示出x1+x2和x1x2，表示出直线F2M和F2N的斜率，由+=可推断两直线斜率之和为0，把x1+x2和x1x2代入即可求得k和m的关系，代入直线方程进而可求得直线过定点【解答】解：（1）由椭圆C的离心率得，其中，椭圆C的左、右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0）又点F2在线段PF1的中垂线上|F1F2|=|PF2|，解得c=1，a2=2，b2=1，（2）由题意，知直线MN存在斜率，设其方程为y=kx+m由消去y，得（2k2+1）x2+4kmx+2m22=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则=（4km）24（2k2+1）（2m22）0即2k2m2+10则，且由已知+=，得化简，得2kx1x2+（mk）（x1+x2）2m=0整理得m=2k直线MN的方程为y=k（x2），因此直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）2017年2月8日
