1、第六节 离散型随机变量的均值与方差 备考方向明确 方向比努力更重要 复习目标 学法指导 1.了解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些简单实际问题.求均值、方差的关键是求分布列.若已知分布列,则可直接按定义(公式)求解;若已知随机变量X的均值、方差,求X的线性函数y=aX+b的均值、方差可直接利用性质求解;若能分析出随机变量服从常用的分布,可直接利用它们的均值、方差公式求解,但在没有准确判断出分布列模型之前,不能乱套公式.知识链条完善 把散落的知识连起来 网络构建 一、离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为P(X=
2、xi)=pi,i=1,2,3,n.(1)均值:称E(X)=为随机变量X的均值或数学期望.x1p1+x2p2+xipi+xnpn(2)方差:称D(X)=为随机变量X的方差,其算术平方根D X 为随机变量 X 的标准差.二、均值与方差的性质 1.E(aX+b)=aE(X)+b.2.D(aX+b)=a2D(X)(a,b为常数).三、常用随机变量的均值 1.两点分布:若 ,则E(X)=p.2.二项分布:若XB(n,p),则E(X)=np.21xniiiE Xp拓展空间 1.概念(公式)理解(1)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平.(2)均值的单位与随机变量的单位相同.(3)方差刻画了随机变量的
3、取值与其均值的偏离程度.方差越小,则随机变量的取值就越集中在其均值周围;反之,方差越大,则随机变量的取值就越分散.(4)方差的单位是随机变量单位的平方.(5)方差是随机变量与其均值差的平方的均值,即D(X)是(X-E(X)2的期望.2.常用随机变量的方差(1)两点分布:若 ,则D(X)=p(1-p).(2)二项分布:若XB(n,p),则D(X)=np(1-p).温故知新 X-1 0 1 2 P a b c 112(A)524,18 (B)56,12 (C)35,13 (D)512,14 1.已知离散型随机变量X的分布列如下表.若E(X)=0,D(X)=1,则a,b的值分别是()D 解析:由分布
4、列的性质可得 a+b+c+112=1,又可得 E()=-a+c+2 112=-a+c+16=0,D()=(-1-0)2a+(0-0)2b+(1-0)2c+(2-0)2 112=1,化简可得 a+c+13=1,联立可解得 a=512,c=14,代入可得 b=14.故选 D.2.若随机变量 B(n,p),E()=53,D()=109,则 p 等于()(A)13(B)23(C)25(D)35 解析:由题意可知,5,3101,9EnpDnpp解方程组可得5,1.3np故选 A.A 解析:设 P(=1)=a,P(=2)=b,则11,521,abab 解得3,51,5ab 所以 D()=(0-1)2 15
5、+(1-1)2 35+(2-1)2 15=25.3.随机变量 的取值为 0,1,2.若 P(=0)=15,E()=1,则 D()=.答案:25 高频考点突破 在训练中掌握方法 考点一 离散型随机变量的均值与方差【例 1】设袋子中装有 a 个红球,b 个黄球,c 个蓝球,且规定:取出一个红球得 1 分,取出一个黄球得 2 分,取出一个蓝球得 3 分.(1)当 a=3,b=2,c=1 时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2 个球,记随机变量 为取出此 2 球所得分数之和,求 的分布列;解:(1)由题意得=2,3,4,5,6,故 P(=2)=3 366=14,P(=3)=2 3 26
6、6=13,P(=4)=2 3 12 26 6 =518,P(=5)=22 166=19,P(=6)=1 166=136.所以的分布列为 2 3 4 5 6 P 14 13 518 19 136(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球,记随机变量 为取出此球所得分数.若 E()=53,D()=59,求 abc.解:(2)由题意知的分布列为 1 2 3 P aabc babc cabc 所以 E()=aabc+2babc+3cabc=53,D()=(1-53)2aabc+(2-53)2babc+(3-53)2cabc=59.化简得 240,4110.abcabc 解得 a=3c,b=2c
7、,故 abc=321.反思归纳 (1)求离散型随机变量的均值与方差,可依题设条件求出随机变量的分布列,然后利用均值、方差公式直接求解;(2)由已知均值或方差求参数值,可依据条件利用均值、方差公式列含有参数的方程(组)求解;(3)注意随机变量的均值与方差的性质的应用.考点二 与两点分布、二项分布有关的均值、方差【例2】一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的销售量低于50个的概率;解:(1)设 A1表示事件“日销售量不低于
8、100 个”,A2表示事件“日销售量低于50 个”,B 表示事件“在未来连续 3 天里,有连续 2 天的日销售量都不低于 100个且另 1 天的销售量低于 50 个”,因此 P(A1)=(0.006+0.004+0.002)50=0.6,P(A2)=0.00350=0.15,P(B)=0.60.60.152=0.108.解:(2)X 可能取的值为 0,1,2,3,相应的概率为 P(X=0)=03C(1-0.6)3=0.064,P(X=1)=13C 0.6(1-0.6)2=0.288,P(X=2)=23C 0.62(1-0.6)=0.432,P(X=3)=33C 0.63=0.216.分布列为
9、X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 因为 XB(3,0.6),所以期望 E(X)=30.6=1.8,方差 D(X)=30.6(1-0.6)=0.72.(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列、期望E(X)及方差D(X).反思归纳 若随机变量X服从二项分布,则求X的均值或方差可利用定义求解,也可直接利用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解.迁移训练(2018全国卷)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检
10、验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为p(0p0;当 p(0.1,1)时,f(p)400,故应该对余下的产品作检验.考点三 均值与方差在决策中的应用【例3】现有两种投资方案,一年后投资盈亏的情况如下:(1)投资股市:投资结果 获利 30%不赔不赚 亏损 20%概率 12 18 38(2)购买基金:投资结果 获利 20%不赔不赚 亏损 10%概率 p 13 q(1)当 p=14时,求 q 的值;解:(1)因为“购买基金”后,投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种,且三种投资结果相互独立,所以 p+13+q=1.又因为 p=14,所以 q=512.解
11、:(2)记事件 A 为“甲投资股市且盈利”,事件 B 为“乙购买基金且盈利”,事件 C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”,则 C=A B A BAB,且 A,B 独立.由题意可知 P(A)=12,P(B)=p.所以 P(C)=P(A B)+P(A B)+P(AB)=12p+12(1-p)+12p=12+12p.因为 P(C)=12+12p 45,即 p 35,且 p 23.所以 35p 23.(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资,如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于 45,求 p 的取值范围;解:(3)假设丙选择“投资股市”方案进行投资,且记 X 为丙投
12、资股市的获利金额(单位:万元),所以随机变量 X 的分布列为 X 3 0-2 P 12 18 38 则 E(X)=3 12+0 18+(-2)38=34.假设丙选择“购买基金”方案进行投资,且记 Y 为丙购买基金的获利金额(单位:万元),(3)丙要将家中闲置的 10 万元钱进行投资,决定在“投资股市”和“投资基金”这两个方案中选择一种,已知 p=12,q=16,那么丙选择哪种投资方案,才能使得一年后投资收益的数学期望较大?给出结果并说明理由.所以随机变量 Y 的分布列为 Y 2 0-1 P 12 13 16 则 E(Y)=2 12+0 13+(-1)16=56.因为 E(X)E(Y),所以丙选
13、择“购买基金”,才能使得一年后的投资收益的数学期望较大.反思归纳 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量稳定于均值的程度,它从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据,一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定.迁移训练 张先生家住 H 小区,他工作在 C 科技园区,从家开车到公司上班路上有 L1,L2两条路线(如图),L1路线上有A1,A2,A3三个路口,各路口遇到红灯的概率均为 12;L2路线上有 B1,B2两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为 34,35.解:(1)设走 L1路线最多遇到 1 次红灯为事件 A,则 P(A)=03C(12)
14、3+13C 12(1-12)2=12.所以走 L1路线,最多遇到 1 次红灯的概率为 12.(1)若走L1路线,求最多遇到1次红灯的概率;解:(2)依题意,X 的可能取值为 0,1,2.P(X=0)=(1-34)(1-35)=110,P(X=1)=34(1-35)+(1-34)35=920,P(X=2)=34 35=920.(2)若走L2路线,求遇到红灯次数X的数学期望;随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 P 110 920 920 E(X)=1100+9201+9202=2720.解:(3)设选择 L1路线遇到红灯次数为 Y,随机变量 Y 服从二项分布,YB(3,12),所以 E(Y)
15、=3 12=32.因为 E(X)D(4)D(2)=D(5)D(3)D(6).课堂类题精练 在练习中体会学习的乐趣 类型一 求方差 1.已知某离散型随机变量X服从的分布列如表,则随机变量X的方差D(X)等于()B X 0 1 P m 2m(A)19(B)29(C)13(D)23 解析:由 m+2m=1,得 m=13,X 服从两点分布,则 E(X)=23,D(X)=13 23=29.故选 B.2.从装有除颜色外完全相同的 3 个白球和 m 个黑球的布袋中随机摸取一球,有放回地摸取 5 次,设摸得白球数为 X,已知 E(X)=3,则 D(X)等于()(A)85(B)65(C)45(D)25 解析:由
16、题意,XB(5,33m),又 E(X)=5 33m=3,所以 m=2,则 XB(5,35),故 D(X)=5 35(1-35)=65.B 3.已知 0a 12,随机变量 的分布列如下:-1 0 1 P a 12-a 12 当 a 增大时()(A)E()增大,D()增大(B)E()减小,D()增大(C)E()增大,D()减小(D)E()减小,D()减小 B 解析:由题意得,E()=-a+12,D()=(-a+12+1)2a+(-a+12)2(12-a)+(-a+12-1)2 12=-a2+2a+14,又因为 0a 12,所以当 a 增大时,E()减小,D()增大.故选 B.解析:由题意可知,10
17、 位成员中使用移动支付的人数 X 服从二项分布,即 XB(10,p),所以DX=10p(1-p)=2.4,所以 p=0.4 或 0.6.又因为 P(X=4)P(X=6),所以410C p4(1-p)60.5,所以 p=0.6.故选 B.4.(2018全国卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支 付 方 式 相 互 独 立,设 X 为 该 群 体 的 10 位 成 员 中 使 用 移 动 支 付 的 人数,DX=2.4,P(X=4)P(X=6),则p等于()(A)0.7 (B)0.6 (C)0.4 (D)0.3 B 解析:=1 的概率是122436C CC=35,=0 的概率是
18、3436CC=15,=2 的概率是212436C CC=15,则随机变量的均值是 1 35+0 15+2 15=1.类型二 求期望 5.(2017嘉兴模拟)已知一个袋子中装有4个红球和2个白球,假设每一个球被摸到的可能性是相等的,若从袋子中摸出3个球,记摸到白球的个数为,则=1的概率是 ;随机变量 的均值是 .答案:35 1 6.马老师从课本上抄录一个随机变量 的分布列如下表:x 1 2 3 p(=x)?!?请小牛同学计算 的均值.尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但能断定这两个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案 E()=.解析:设“?”处的数值为x,则“!”处的数值
19、为1-2x,则E()=1x+2(1-2x)+3x=x+2-4x+3x=2.答案:2 7.一个均匀小正方体的六个面中,三个面上标有数字0,两个面上标有数字1,一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次,则向上的数之积的数学期望是 .解析:设向上的数之积为 X,X 的可能取值为 0,1,2,4,P(X=1)=2266=19,P(X=2)=2 1 1 26 6 =19,P(X=4)=1 166=136,P(X=0)=3 33 33 336 =34,所以 E(X)=0 34+1 19+2 19+4 136=49.答案:49 解:(1)从袋子里有放回地取 3 次球,相当于做了 3 次独立重复试验,每次试
20、验取出红球 的概率为 37,取出黑球的概率为 47,设事件 A=“取出 2 个红球 1 个黑球”,则 P(A)=23C (37)2 47=3 949 47=108343.8.(2017杭州模拟)袋子里有完全相同的3只红球和4只黑球,今从袋子里随机取球.(1)若有放回地取3次,每次取一个球,求取出2个红球1个黑球的概率;解:(2)的可能取值为 3,4,5,6,P(=3)=033437C CC=435,P(=4)=123437C CC=1835,P(=5)=213437C CC=1235,P(=6)=303437C CC=135.(2)若无放回地取3次,每次取一个球,若取到红球得2分,取到黑球得1分.求得分 的分布列和数学期望.分布列为 3 4 5 6 P 435 1835 1235 135 从而得分的数学期望 E()=3 435+4 1835+5 1235+6 135=307.点击进入课时训练
