1、专题过关检测二三角函数与解三角形一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021江西临川期中)已知角的终边经过点P(,a),若=-,则a=() A.B.C.-D.-2.(2021北京房山区一模)将函数f(x)=sin 2x的图象向左平移个单位长度得到函数y=g(x)的图象,则函数g(x)的图象的一条对称轴方程为()A.x=-B.x=-C.x=D.x=3.(2021北京西城区一模)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且C=60,a+2b=8,sin A=6sin B,则c=()A.B.C.6D.54.(2021山西
2、吕梁一模)已知函数f(x)=Asin(x+)部分图象如图所示,则f=()A.B.C.-D.5.(2021北京海淀区模拟)已知sin+cos ,则sin=()A.-B.-C.D.6.(2021福建福州期末)疫情期间,为保障市民安全,要对所有街道进行消毒处理,某消毒装备的设计如图所示,PQ为路面,AB为消毒设备的高,BC为喷杆,ABPQ,ABC=,C处是喷洒消毒水的喷头,且喷射角DCE=,已知AB=2,BC=1,则消毒水喷洒在路面上的宽度DE的最小值为()A.5-5B.5C.D.57.(2021浙江宁波模拟)在ABC中,“tan Atan B1”是“ABC为钝角三角形”的()A.充分不必要条件B.
3、必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.(2021安徽淮北一模)函数f(x)=2sinx+cos 2x的最大值为()A.1+B.C.2D.3二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)(a+c)(b+c)=91011,则下列结论正确的是()A.sin Asin Bsin C=456B.ABC是钝角三角形C.ABC的最大内角是最小内角的2倍D.若c=6,则ABC的外接圆半径R为10.(2021江苏苏州月考)已知函数f(x
4、)=(sin x+cos x)2,则()A.f(x)在区间上单调递增B.f(x)的图象关于点对称C.f(x)的最小正周期为D.f(x)的值域为0,411.(2021辽宁沈阳二模)关于f(x)=sin xcos 2x的说法正确的为()A.xR,f(-x)-f(x)=0B.T0,使得f(x+T)=f(x)C.f(x)在定义域内有偶数个零点D.xR,f(-x)-f(x)=012.(2021山东潍坊统考)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若依次成等差数列,则下列结论不一定成立的是()A.a,b,c依次成等差数列B.依次成等差数列C.a2,b2,c2依次成等差数列D.a3,b3,c3依
5、次成等差数列三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021安徽合肥期中)已知cos=-,则sin 2=.14.(2021北京东城区一模)已知函数f(x)=Asin(2x+),其中x和f(x)部分对应值如下表所示:x-0f(x)-2-2-222则A=.15.(2021广东茂名二模)在矩形ABCD内(包括边界)有E,F两点,其中AB=120 cm,AE=100 cm,EF=80 cm,FC=60 cm,AEF=CFE=60,则该矩形ABCD的面积为cm2.(答案如有根号可保留)16.(2021湖南长郡中学二模)如图,某湖有一半径为100 m的半圆形岸边,现决定在圆心O处设立一个水
6、文监测中心(大小忽略不计),在其正东方向相距200 m的点A处安装一套监测设备.为了监测数据更加准确,在半圆弧上的点B以及湖中的点C处,再分别安装一套监测设备,且满足AB=AC,BAC=90.四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”.设AOB=,则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为m2.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2021江西上饶一模)已知f(x)=2cos xsinx+-sin2x+sin xcos x.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)若x,求y=f(x)的值域.18.(12分)(2021河北石家庄一模)在A
7、BC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2a-b=2ccos B.(1)求角C;(2)若a=2,D是AC的中点,BD=,求边c.19.(12分)(2021广东韶关一模)在cos C+(cos A-sin A)cos B=0;cos 2B-3cos(A+C)=1;bcos C+csin B=a这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中并解答.问题:在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a+c=1,求角B和b的最小值.20.(12分)(2021山东枣庄二模)已知函数f(x)=sin(x+)0,0B,f,求cos,并证明sin A.21.(12分)(2021福建宁德期末)在股票
8、市场上,投资者常参考股价(每一股的价格)的某条平滑均线的变化情况来决定买入或卖出股票.股民老张在研究股票的走势图时,发现一只股票的均线近期走得很有特点:若建立平面直角坐标系Oxy如图所示,则股价y(单位:元)和时间x(单位:天)的关系在ABC段可近似地用函数y=asin(x+)+b(00,0)为奇函数,且f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为.(1)当x时,求f(x)的单调递减区间;(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,当x时,求函数g(x)的值域;(3)对于第(2)问中的函数g(x),记方程g(x)=在区间上的根从小到大
9、依次为x1,x2,xn,试确定n的值,并求x1+2x2+2x3+2xn-1+xn的值.专题过关检测二三角函数与解三角形1.C解析 由题意,角的终边经过点P(,a),可得|OP|=(O为坐标原点),又由=-,根据三角函数的定义,可得cos,且a0,0,|的部分图象知,A=2,T=3,所以T=4=,所以=又f=2sin=2,可得+=2k+,kZ,解得=2k+,kZ.|1,所以1,因为0A,0B0,cos Acos B0,故A,B同为锐角,因为sin Asin Bcos Acos B,所以cos Acos B-sin Asin B0,即cos(A+B)0,所以A+B,因此0C1”,故必要性不成立,所
10、以为既不充分也不必要条件.8.B解析 因为f(x)=2sin+cos 2x,所以f(x)=2sin+sin=2sinx+2sincos令=x+,g()=2sin +2sin cos =2sin +sin 2,则g()=2cos +2cos 2=2(2cos2-1)+2cos =4cos2+2cos -2,令g()=0,得cos =-1或cos =,当-1cos 时,g()0;当cos 1时,g()0,所以当(kZ)时,g()单调递减;当(kZ)时,g()单调递增,所以当=+2k(kZ)时,g()取得最大值,此时sin =,所以f(x)max=2+29.ACD解析 因为(a+b)(a+c)(b+
11、c)=91011,所以可设a+b=9x,a+c=10x,b+c=11x(其中x0),解得a=4x,b=5x,c=6x,所以sin Asin Bsin C=abc=456,所以A中结论正确;由以上解答可知c边最大,所以三角形中角C最大,又cos C=0,所以C为锐角,所以B中结论错误;由以上解答可知a边最小,所以三角形中角A最小,又cos A=,所以cos 2A=2cos2A-1=,所以cos 2A=cos C.由三角形中角C最大且角C为锐角可得2A(0,),C,所以2A=C,所以C中结论正确;由正弦定理,得2R=(R为ABC外接圆半径),又sin C=,所以2R=,解得R=,所以D中结论正确.
12、10.ACD解析 f(x)=sin2x+3cos2x+2sin xcos x=2+cos 2x+sin 2x=2sin2x+2;对于A选项:x,2x+,f(x)=2sin+2在区间上单调递增,故A正确;对于B选项:f=2sin+2=0,由函数f(x)的图象(图略)可知-是f(x)的一个极小值点,故B错误;对于C选项:由f(x)=2sin+2可知,函数的最小正周期T=,故C正确;对于D选项,sin-1,1,f(x)=2sin+20,4,故D正确.11.BD解析 对于A,当x=时,f-f=sincos-sincos=-0,故A错误.对于B,因为f(x+2)=sin(2+x)cos2(x+2)=si
13、n xcos 2x,所以T=20,使得f(x+T)=f(x),故B正确.对于C,因为f(-x)=sin(-x)cos(-2x)=-sin xcos 2x=-f(x),所以f(x)为奇函数,因为x=0在定义域内,所以f(0)=0,故f(x)有奇数个零点,故C错误.对于D,f(-x)-f(x)=sin(-x)cos2(-x)-sin xcos 2x=sin xcos 2x-sin xcos 2x=0,故D正确.12.ABD解析 因为依次成等差数列,所以,整理得,所以2,整理得2b2=a2+c2,即a2,b2,c2依次成等差数列.但数列a,b,c或或a3,b3,c3不一定是等差数列,除非a=b=c,
14、但题目没有说ABC是等边三角形.13.-解析 由cos=-可得cos,所以(cos -sin )=,即cos -sin =,两边平方可得1-sin 2=,故sin 2=-14.4解析 由题意可得所以所以tan =-,又因为|,所以=-,所以A=4.15.14 400解析 连接AC交EF于点O(图略),由AEF=CFE=60,得AEFC,所以AEO与CFO相似,所以,所以EO=50 cm,FO=30 cm,在AEO中,由余弦定理得,AO2=AE2+EO2-2AEEOcosAEO=(100)2+(50)2-210050cos 60=22 500,所以AO=150 cm,同理CO=90 cm,所以A
15、C=240 cm,从而BC=120 cm,所以矩形ABCD的面积为14 400 cm2.16.(10 000+25 000)解析 在OAB中,AOB=,OB=100 m,OA=200 m,AB2=OB2+OA2-2OBOAcosAOB,即AB=100,S四边形OACB=SOAB+SABC=OAOBsin +AB2,于是S四边形OACB=1002=1002sin(-)+(其中tan =2),所以当sin(-)=1时,S四边形OACB取最大值10 000=10 000+25 000,即“直接监测覆盖区域”面积的最大值为(10 000+25 000)m2.17.解 (1)f(x)=2cos xsin
16、(1-cos 2x)+sin 2x=2cos xcos 2x+sin 2x=sin 2x+(2cos2x-1)+cos 2x+sin 2x=sin 2x+cos 2x=2sin,令2k-2x+2k,kZ,解得k-xk+,kZ,因此,函数f(x)的单调递增区间为,kZ.(2)x,-2x+,-sin1,-1f(x)2,因此当x时,y=f(x)的值域为(-1,2.18.解 (1)因为2a-b=2ccos B,由正弦定理得2sin A-sin B=2sin Ccos B,因为sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,代入上式得,2sin Bcos C+2cos Bsin
17、 C-sin B=2sin Ccos B,即2sin Bcos C-sin B=0,即sin B(2cos C-1)=0.因为B(0,),所以sin B0,所以2cos C=1,即cos C=,又0C,所以C=(2)依题意,在CBD中,CB=2,CD=b,BD=,C=,利用余弦定理的推论可得,cos C=cos,即b2-4b+4=0,解得b=2.在ABC中,b=a=2,C=,故ABC是等边三角形,故c=2.19.解 若选择:在ABC中,有A+B+C=,则由题意可得cos-(A+B)+(cos A-sin A)cos B=0,即-cos(A+B)+cos Acos B-sin Acos B=0,
18、sin Asin B-cos Acos B+cos Acos B-sin Acos B=0,sin Asin B=sin Acos B,又sin A0,所以sin B=cos B,则tan B=又B(0,),所以B=因为a+c=1,所以c=1-a,a(0,1).所以b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=a2+(1-a)2-a(1-a)=3a2-3a+1=3,因为a(0,1),所以当a=时,b2取得最小值,且(b2)min=,即b的最小值为若选择:在ABC中,有A+B+C=,则由题意可得2cos2B-1-3cos(-B)=2cos2B+3cos B-1=1,解得cos B=或co
19、s B=-2(舍去),又B(0,),所以B=因为a+c=1,所以c=1-a,a(0,1).所以b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=a2+(1-a)2-a(1-a)=3a2-3a+1=3,因为a(0,1),所以当a=时,b2取得最小值,且(b2)min=,即b的最小值为若选择:由正弦定理可将已知条件转化为sin Bcos C+sin Csin B=sin A,又sin A=sin-(B+C)=sin(B+C)=sin Bcos C+sin Ccos B,所以sin Csin B=sin Ccos B,又sin C0,所以sin B=cos B,所以tan B=又B(0,),所以
20、B=因为a+c=1,所以c=1-a,a(0,1).所以b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=a2+(1-a)2-a(1-a)=3a2-3a+1=3,因为a(0,1),所以当a=时,b2取得最小值,且(b2)min=,即b的最小值为20.解 (1)由f(0)=,得sin =,又00,结合题中函数f(x)的图象可知,所以0,所以有0(6k-1),即k,又kZ,所以k=1,从而=(61-1)=2,因此,f(x)=sin(2)由f,得sin(A-B)=,又由题意可知0A-B,所以A=,又因为函数y=sin x在区间上单调递增,A,所以sin Asin=21.解 (1)点C,D关于直线l
21、对称,点C坐标为(234-44,16),即(24,16).把点A,B,C的坐标分别代入函数解析式,得-,得a=-3,-,得a=-6,2sin-2sin =sin-sin ,cos +sin =cos +sin ,cos =sin =sin ,tan =-0,=,代入,得b=19.将=,b=19代入得,a=6.于是ABC段对应的函数解析式为y=6sin+19,由对称性得DEF段对应的函数解析式为y=6sin(68-x)+19.设点F的坐标为(xF,yF),则由(68-xF)+,解得xF=92.因此可知,当x=92时,股价见顶.(2)由(1)可知,yF=6sin+19=6sin+19=25,故这次
22、操作老张能赚3 000(25-16)=27 000(元).22.解 (1)由题意,函数f(x)=sin(x+)+2sin2-1=sin(x+)-cos(x+)=2sin,因为函数f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为,所以T=,可得=2.又f(x)为奇函数,且f(x)在x=0处有定义,可得f(0)=2sin=0,所以-=k,kZ,因为0,所以=,因此f(x)=2sin 2x.令+2k2x+2k,kZ,解得+kx+k,kZ,所以f(x)的单调递减区间为,kZ,又因为x,故函数f(x)的单调递减区间为(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,可得y=2sin的图象,再把横坐标缩小为原来的,得到函
23、数y=g(x)=2sin4x-的图象,当x时,4x-,当4x-=-时,函数g(x)取得最小值,且最小值为-2,当4x-时,函数g(x)取得最大值,且最大值为,故函数g(x)的值域为-2,.(3)由方程g(x)=,即2sin,即sin4x-=(*)因为x,可得4x-,设=4x-,其中,则方程(*)可转化为sin =,结合正弦函数y=sin 的图象,如图,可得方程sin =在区间上有5个解,设这5个解分别为1,2,3,4,5,所以n=5,其中1+2=3,2+3=5,3+4=7,4+5=9,即4x1-+4x2-=3,4x2-+4x3-=5,4x3-+4x4-=7,4x4-+4x5-=9,解得x1+x2=,x2+x3=,x3+x4=,x4+x5=,所以x1+2x2+2x3+2x4+x5=(x1+x2)+(x2+x3)+(x3+x4)+(x4+x5)=
