1、课时达标检测（四十九） 直线与圆锥曲线1已知双曲线1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的取值范围是()A. B(，)C. D解析：选C由题意知，右焦点为F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为yx.当过点F的直线与渐近线平行时，满足与双曲线的右支有且只有一个交点，数形结合可知该直线的斜率的取值范围是，故选C.2已知经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不同的交点P和Q，则k的取值范围是()A. B.C(，) D(，)(，)解析：选B由题意得，直线l的方程为ykx，代入椭圆方程得(kx)21，整理得x22kx10.直线l与椭圆有两个不同的交点P和
2、Q等价于8k244k220，解得k，即k的取值范围为.故选B.3过抛物线y22x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线()A有且只有一条 B有且只有两条C有且只有三条 D有且只有四条解析：选B通径2p2，|AB|x1x2p，|AB|32p，故这样的直线有且只有两条4斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()A2 B. C. D.解析：选C设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0.则x1x2t，x1x2.|AB|x1x2| ，故当t0时，|AB|max.5
3、已知椭圆C：1(ab0)，F(，0)为其右焦点，过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C的方程为_解析：由题意得解得故椭圆C的方程为1. 答案：1一、选择题1椭圆ax2by21与直线y1x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则()A. B.C. D.解析：选A设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，结合题意，由点差法得，1，所以.2经过椭圆y21的一个焦点作倾斜角为45的直线l，交椭圆于A，B两点设O为坐标原点，则等于()A3 BC或3 D解析：选B依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y0tan 45(x1)，即yx1
4、，代入椭圆方程y21并整理得3x24x0，解得x0或x，所以两个交点坐标分别为(0，1)，同理，直线 l经过椭圆的左焦点时，也可得.3已知抛物线y22px的焦点F与椭圆16x225y2400的左焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|AF|，则点A的横坐标为()A2 B2 C3 D3解析：选D16x225y2400可化为1，则椭圆的左焦点为F(3,0)，又抛物线y22px的焦点为，准线为x，所以3，即p6，即y212x，K(3,0)设A(x，y)，则由|AK|AF|得(x3)2y22，即x218x9y20，又y212x，所以x26x90，解得x3.4已知抛物线y22px
5、(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()Ax1 Bx1Cx2 Dx2解析：选B设A(x1，y1)，B(x2，y2)，两点在抛物线上，得(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)，又线段AB的中点的纵坐标为2，y1y24，又直线的斜率为1，1，2p4，p2，抛物线的准线方程为x1.5抛物线y24x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是()A4 B3 C4 D8解析：选Cy24x，F(1,0)，准线l：x1，过焦点F且斜率为的直线l1：y(x1)，与y24
6、x联立，解得A(3,2)，AK4，SAKF424.6若椭圆1的焦点在x轴上，过点作圆x2y21的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析：选C由题可设斜率存在的切线的方程为yk(x1)(k为切线的斜率)，即2kx2y2k10，由1，解得k，所以圆x2y21的一条切线的方程为3x4y50，可求得切点的坐标为，易知另一切点的坐标为(1,0)，则直线AB的方程为y2x2，令y0得右焦点为(1,0)，令x0得上顶点为(0,2)，故a2b2c25，所以所求椭圆的方程为1.二、填空题7设双曲线1的右顶点为A，右焦点为F.过点F平行于双
7、曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则AFB的面积为_解析：c5，设过点F平行于一条渐近线的直线方程为y(x5)，即4x3y200，联立直线与双曲线方程，求得yB，则S(53).答案：8在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C(0，c)任作一条直线，与抛物线yx2相交于A，B两点，若2，则c的值为_解析：设过点C的直线为ykxc(c0)，代入yx2得x2kxc，即x2kxc0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2k，x1x2c，(x1，y1)，(x2，y2)，因为2，所以x1x2y1y22，即x1x2(kx1c)(kx2c)2，即x1x2k2x1x2kc(x1x2)c22
8、，所以ck2ckckc22，即c2c20，所以c2或c1(舍去)答案：29中心为原点，一个焦点为F(0,5)的椭圆，截直线y3x2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆方程为_解析：由已知得c5，设椭圆的方程为1，联立得消去y得(10a2450)x212(a250)x4(a250)a2(a250)0，设直线y3x2与椭圆的交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由根与系数关系得x1x2，由题意知x1x21，即1，解得a275，所以该椭圆方程为1.答案：110已知抛物线C：y28x与点M(2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若0，则k_.解析：如图所示，设F为焦点，易知F(2，0
9、)，取AB的中点P，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为G，H，连接MF，MP，由0，知MAMB，则|MP|AB|(|AF|BF|)(|AG|BH|)，所以MP为直角梯形BHGA的中位线，所以MPAGBH，由|MP|AP|，得GAMAMPMAP，又|AG|AF|，AM为公共边，所以AMGAMF，所以AFMAGM90，则MFAB，所以k2.答案：2三、解答题11已知椭圆C：1(ab0)的两个焦点分别为F1(2，0)，F2(2,0)，离心率为.过点F2的直线l(斜率不为0)与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，O为坐标原点，直线OD交椭圆于M，N两点(1)求椭圆C的方程；(2)当四边形MF1
10、NF2为矩形时，求直线l的方程解：(1)由题意可知解得a，b.故椭圆C的方程为1.(2)由题意可知直线l的斜率存在设其方程为yk(x2)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x3，y3)，N(x3，y3)，由得(13k2)x212k2x12k260，所以x1x2，则y1y2k(x1x24)，所以AB的中点D的坐标为，因此直线OD的方程为x3ky0(k0)由解得y，x33ky3.因为四边形MF1NF2为矩形，所以F2MF2N0，即(x32，y3)(x32，y3)0，所以4xy0.所以40.解得k.故直线l的方程为x3y20或x3y20.12(2016大连双基测试)已知过点(2,0)的直线l1交抛物线C：y22px(p0)于A，B两点，直线l2：x2交x轴于点Q.(1)设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，求k1k2的值；(2)点P为抛物线C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB交直线l2于M，N两点，2，求抛物线C的方程解：(1)设直线l1的方程为xmy2，点A(x1，y1)，B(x2，y2)联立方程得y22pmy4p0，则y1y22pm，y1y24p.k1k20.(2)设点P(x0，y0)，直线PA：yy1(xx1)，当x2时，yM，同理yN.因为2，所以4yNyM2，即2，故p，所以抛物线C的方程为y2x.
