1、专题突破练11等差数列、等比数列一、单项选择题1.(2021江西景德镇模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn,且满足a1+a2=7,am-1+am=73(m3),Sm=2 020,则m的值为() A.100B.101C.200D.2022.(2021山东临沂检测)已知等比数列an的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=()A.72B.81C.90D.993.(2021广东汕头一模)在正项等比数列an中,a2a4=16,a4+a5=24,则数列an的通项公式为()A.an=2n-1B.an=2nC.an=3nD.an=3n-14.(2021山东济宁一模)随着新冠疫情防控形势
2、的逐渐好转,某企业开始复工复产.经统计,该企业2020年7月到12月的月产量(单位:吨)逐月增加,且各月的产量成等差数列,其中7月的产量为10吨,12月的产量为20吨,则8月到11月的产量之和为()A.48吨B.54吨C.60吨D.66吨5.(2021广东深圳一模)在数列an中,a1=3,am+n=am+an(m,nN*),若a1+a2+a3+ak=135,则k=()A.10B.9C.8D.76.(2021山东淄博一模)若等差数列an的前n项和为Sn,则“S2 0200,S2 0210”是“a1 010a1 0110B.a10时,n的最小值为88.(2021山东临沂一模)已知数列an的前n项和
3、为Sn,则下列说法正确的是()A.若Sn=n2-1,则an是等差数列B.若Sn=2n-1,则an是等比数列C.若an是等差数列,则S99=99a50D.若an是等比数列,且a10,q0,则S2n-1S2n+1三、填空题9.(2021辽宁沈阳一模)在正项等比数列an中,+2a6a8+=100,则a5+a9=.10.(2021山东胜利一中月考)在等差数列an中,a1+a7=12,当取得最小值时,a 2 020=.11.(2021江苏南通金沙中学月考)已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为Sn和Tn,且,则使得为整数的正整数n的值为.四、解答题12.(2021福建龙岩模拟)已知数列an是等差数列
4、,且a3=-6,a6=0.(1)求数列an的通项公式;(2)若等比数列bn满足b1=a2,b2=a1+a2+a3,求数列bn的前n项和Sn.13.(2021全国甲,文18)记Sn为数列an的前n项和,已知an0,a2=3a1,且数列是等差数列.证明:an是等差数列.14.(2021河北张家口一模)已知公比小于1的等比数列an的前n项和为Sn,a2=,S3=.(1)求an;(2)求证:Sn0,q0.因为an为等比数列,所以a2a4=16,解得a3=4.所以a4+a5=a3(q+q2)=4(q+q2)=24,整理得q2+q-6=0,解得q=2.所以an=a3qn-3=42n-3=2n-1.4.C解
5、析 设2020年7月到12月的月产量(单位:吨)分别为a1,a2,a3,a4,a5,a6,由题意,可知a1=10,a6=20,a1,a2,a3,a4,a5,a6成等差数列,则a1+a6=a2+a5=a3+a4=30,故a2+a3+a4+a5=60.故8月到11月的产量之和为60吨.5.B解析 令m=1,由am+n=am+an,得an+1=a1+an,即an+1-an=a1=3,所以an是首项为3,公差为3的等差数列,所以an=3+3(n-1)=3n.所以a1+a2+a3+ak=135,整理得k2+k-90=0,解得k=9或k=-10(舍去).6.B解析 依题意,若S2 0200,S2 0210
6、,即a1 010+a1 0110,=2 021a1 0110,即a1 0110,所以a1 010a1 0110,充分性成立.当a1 0100时,满足a1 010a1 0110,S2 0210,S2 0210”是“a1 010a1 0110,所以a10,解得n7,又nN*,所以当Sn0时,n的最小值为8,故D正确.8.BC解析 对于A选项,因为Sn=n2-1,所以当n2时,an=Sn-Sn-1=2n-1,当n=1时,a1=S1=0,而a1=0不满足an=2n-1,故A错误.对于B选项,因为Sn=2n-1,所以当n=1时,a1=S1=1,当n2时,an=Sn-Sn-1=2n-1,又a1=1满足an
7、=2n-1,所以an=2n-1,所以=2,所以an是等比数列,故B正确.对于C选项,因为an是等差数列,所以S99=99a50,故C正确.对于D选项,由已知得当n=1时,S1S3-(1+q+q2)-(1+q)2=-q0,所以当n=1时,S2n-1S2n+10.又+2a6a8+=100,所以+2a5a9+=100,即=100,所以a5+a9=10.10.6解析 设等差数列an的公差为d.由等差中项的性质,得a1+a7=2a4=12,解得a4=6.所以=(6-d)2+62+(6+d)2=2d2+108.当d=0时,取得最小值,此时a2 020=a4=6.11.2,4,14解析 由已知得=3+因为为
8、整数,nN*,所以n+1=3,5,15,即n=2,4,14.所以正整数n的值为2,4,14.12.解 (1)设等差数列an的公差为d.因为a3=-6,a6=0,所以a1+2d=-6,a1+5d=0,解得a1=-10,d=2.所以an=-10+(n-1)2=2n-12.(2)设等比数列bn的公比为q.因为b2=a1+a2+a3=3a2,b1=a2=22-12=-8,所以q=3,所以Sn=4(1-3n).13.证明 是等差数列,a2=3a1,即数列的公差为+(n-1)=n,即Sn=n2a1.当n2时,Sn-1=(n-1)2a1,则an=Sn-Sn-1=n2a1-(n-1)2a1=(2n-1)a1.
9、当n=1时,a1=(21-1)a1,符合上式,an=(2n-1)a1,nN*.an+1-an=2a1,an是等差数列.14.(1)解 设等比数列an的公比为q(q0恒成立,所以当nN*时,0,所以1-1,即Sn1.15.解 (1)由已知得Sn=(Sn+1-Sn)+1,整理得Sn+1=3Sn-2,所以Sn+1-1=3(Sn-1).令n=1,得S1=a2+1=4,所以S1-1=3,所以Sn-1是以3为首项,3为公比的等比数列,所以Sn-1=33n-1=3n,所以Sn=3n+1.(2)由(1)知Sn=3n+1.当n2时,an=Sn-Sn-1=3n+1-(3n-1+1)=23n-1,当n=1时,a1=
10、S1=4,所以an=所以所以当n=1时,T1=,当n2时,Tn=+又T1=符合上式,所以Tn=16.解 若选.(1)设bn的公比为q.由已知得b2=T2-T1=2,b3=T3-T2=4,所以q=2,所以bn=22n-2=2n-1.所以a1=b1=1.设an的公差为d,由a3+a5=14,得1+2d+1+4d=14,解得d=2,所以an=2n-1.(2)由cn=lg an,得c1=c2=c3=c4=c5=0,c6=c7=c50=1,c51=c52=c100=2,所以c1+c2+c3+c100=145+250=145.若选.(1)设bn的公比为q.由已知得b2=T2-T1=2,b3=T3-T2=4
11、,所以q=2,所以bn=22n-2=2n-1.所以a1=b1=1.设an的公差为d,由S4=28,得41+d=28,解得d=4,所以an=4n-3.(2)由cn=lg an,得c1=c2=c3=0,c4=c5=c25=1,c26=c27=c100=2,所以c1+c2+c3+c100=122+275=172.若选.(1)设bn的公比为q.由已知得b2=T2-T1=2,b3=T3-T2=4,所以q=2,所以bn=22n-2=2n-1.所以a1=b1=1.设an的公差为d,由a8是a5与a13的等比中项,得(1+7d)2=(1+4d)(1+12d),解得d=0或d=2.又d0,所以d=2,所以an=2n-1.(2)由cn=lg an,得c1=c2=c3=c4=c5=0,c6=c7=c50=1,c51=c52=c100=2,所以c1+c2+c3+c100=145+250=145.
