1、第1讲圆与圆锥曲线的基本问题一、选择题1.(2015广东卷)平行于直线2xy10且与圆x2y25相切的直线的方程是()A.2xy0或2xy0B.2xy0或2xy0C.2xy50或2xy50D.2xy50或2xy50解析设所求切线方程为2xyc0,依题有,解得c5,所以所求切线的直线方程为2xy50或2xy50,故选D.答案D2.(2015安徽卷)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y2x的是()A.x21 B.y21C.x21 D.y21解析由双曲线性质知A、B项双曲线焦点在x轴上,不合题意;C、D项双曲线焦点均在y轴上,但D项渐近线为yx,只有C符合,故选C.答案C3.已知双曲线1(a0
2、,b0)的一条渐近线方程是yx,它的一个焦点在抛物线y224x的准线上,则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析由双曲线1(a0,b0)的一条渐近线方程是yx,可设双曲线的方程为x2(0).因为双曲线1(a0,b0)的一个焦点在抛物线y224x的准线上,所以F(6,0)是双曲线的左焦点,即336,9,所以双曲线的方程为1.故选B.答案B4.(2015浙江卷)如图,设抛物线y24x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则BCF与ACF的面积之比是()A. B. C. D.解析由图象知,由抛物线的性质知|BF|xB1,|AF|xA
3、1,xB|BF|1,xA|AF|1,.故选A.答案A5.(2015山东卷)一条光线从点(2,3)射出,经y轴反射后与圆(x3)2(y2)21相切,则反射光线所在直线的斜率为()A.或 B.或C.或D.或解析圆(x3)2(y2)21的圆心为(3,2),半径r1.(2,3)关于y轴的对称点为(2,3).如图所示,反射光线一定过点(2,3)且斜率k存在,反射光线所在直线方程为y3k(x2),即kxy2k30.反射光线与已知圆相切,1,整理得12k225k120,解得k或k.答案D二、填空题6.圆心在直线x2y0上的圆C与y轴的正半轴相切,圆C截x轴所得弦的长为2,则圆C的标准方程为_.解析设圆C的圆
4、心为(a,b)(b0),由题意得a2b0,且a2()2b2,解得a2,b1.所求圆的标准方程为(x2)2(y1)24.答案(x2)2(y1)247.(2015湖南卷)设F是双曲线C:1的一个焦点,若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为_.解析不妨设F(c,0),则由条件知P(c,2b),代入1得5,e.答案8.(2015青岛模拟)已知双曲线1(a0,b0)的两条渐近线均和圆C:x2y26x50相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为_.解析双曲线1的渐近线方程为yx,圆C的标准方程为(x3)2y24,圆心为C(3,0).又渐近线方程与圆C相切,即直线
5、bxay0与圆C相切,2,5b24a2.又1的右焦点F2(,0)为圆心C(3,0),a2b29.由得a25,b24.双曲线的标准方程为1.答案1三、解答题9.已知曲线C上的动点P(x,y)满足到定点A(1,0)的距离与到定点B(1,0)的距离之比为.(1)求曲线C的方程;(2)过点M(1,2)的直线l与曲线C交于两点M、N,若|MN|4,求直线l的方程.解(1)由题意得|PA|PB|,故化简得:x2y26x10(或(x3)2y28)即为所求.(2)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x1.将x1代入方程x2y26x10得y2,所以|MN|4,满足题意.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y
6、kxk2,由圆心到直线的距离d2,解得k0,此时直线l的方程为y2.综上所述,满足题意的直线l的方程为x1或y2.10.(2015安徽卷)设椭圆E的方程为1(ab0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|2|MA|,直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0,b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为,求E的方程.解(1)由题设条件知,点M的坐标为,又kOM,从而,进而得ab,c2b,故e.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线AB的方程为1,点N的坐标为.设点N关于直线AB的对称点S的坐标
7、为,则线段NS的中点T的坐标为.又点T在直线AB上,且kNSkAB1,从而有解得b3.所以a3,故椭圆E的方程为1.11.(2015重庆卷)如图,椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P、Q两点,且PQPF1.(1)若|PF1|2,|PF2|2,求椭圆的标准方程;(2)若|PF1|PQ|,求椭圆的离心率e.解(1)由椭圆的定义,2a|PF1|PF2|(2)(2)4,故a2.设椭圆的半焦距为c,由已知PF1PF2,因此2c|F1F2|2,即c,从而b1.故所求椭圆的标准方程为y21.(2)连接F1Q,法一如图,设点P(x0,y0)在椭圆上,且PF1PF2,则1,xyc
8、2,求得x0,y0.由|PF1|PQ|PF2|得x00,从而|PF1|2.2(a2b2)2a(a)2.由椭圆的定义,|PF1|PF2|2a,|QF1|QF2|2a,从而由|PF1|PQ|PF2|QF2|,有|QF1|4a2|PF1|.又由PF1PF2,|PF1|PQ|,知|QF1|PF1|,因此,(2)|PF1|4a,即(2)(a)4a,于是(2)(1)4,解得e.法二如图,由椭圆的定义,|PF1|PF2|2a,|QF1|QF2|2a.从而由|PF1|PQ|PF2|QF2|,有|QF1|4a2|PF1|.又由PF1PQ,|PF1|PQ|,知|QF1|PF1|,因此,4a2|PF1|PF1|,得|PF1|2(2)a,从而|PF2|2a|PF1|2a2(2)a2(1)a.由PF1PF2,知|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)2,因此e.