1、第1讲圆与圆锥曲线的基本问题一、选择题1.(2015广东卷)平行于直线2xy10且与圆x2y25相切的直线的方程是()A.2xy0或2xy0B.2xy0或2xy0C.2xy50或2xy50D.2xy50或2xy50解析设所求切线方程为2xyc0，依题有，解得c5，所以所求切线的直线方程为2xy50或2xy50，故选D.答案D2.(2015安徽卷)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y2x的是()A.x21 B.y21C.x21 D.y21解析由双曲线性质知A、B项双曲线焦点在x轴上，不合题意；C、D项双曲线焦点均在y轴上，但D项渐近线为yx，只有C符合，故选C.答案C3.已知双曲线1(a0
2、，b0)的一条渐近线方程是yx，它的一个焦点在抛物线y224x的准线上，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析由双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程是yx，可设双曲线的方程为x2(0).因为双曲线1(a0，b0)的一个焦点在抛物线y224x的准线上，所以F(6，0)是双曲线的左焦点，即336，9，所以双曲线的方程为1.故选B.答案B4.(2015浙江卷)如图，设抛物线y24x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是()A. B. C. D.解析由图象知，由抛物线的性质知|BF|xB1，|AF|xA
3、1，xB|BF|1，xA|AF|1，.故选A.答案A5.(2015山东卷)一条光线从点(2，3)射出，经y轴反射后与圆(x3)2(y2)21相切，则反射光线所在直线的斜率为()A.或 B.或C.或D.或解析圆(x3)2(y2)21的圆心为(3，2)，半径r1.(2，3)关于y轴的对称点为(2，3).如图所示，反射光线一定过点(2，3)且斜率k存在，反射光线所在直线方程为y3k(x2)，即kxy2k30.反射光线与已知圆相切，1，整理得12k225k120，解得k或k.答案D二、填空题6.圆心在直线x2y0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为_.解析设圆C的圆
4、心为(a，b)(b0)，由题意得a2b0，且a2()2b2，解得a2，b1.所求圆的标准方程为(x2)2(y1)24.答案(x2)2(y1)247.(2015湖南卷)设F是双曲线C：1的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为_.解析不妨设F(c，0)，则由条件知P(c，2b)，代入1得5，e.答案8.(2015青岛模拟)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线均和圆C：x2y26x50相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为_.解析双曲线1的渐近线方程为yx，圆C的标准方程为(x3)2y24，圆心为C(3，0).又渐近线方程与圆C相切，即直线
5、bxay0与圆C相切，2，5b24a2.又1的右焦点F2(，0)为圆心C(3，0)，a2b29.由得a25，b24.双曲线的标准方程为1.答案1三、解答题9.已知曲线C上的动点P(x，y)满足到定点A(1，0)的距离与到定点B(1，0)的距离之比为.(1)求曲线C的方程；(2)过点M(1，2)的直线l与曲线C交于两点M、N，若|MN|4，求直线l的方程.解(1)由题意得|PA|PB|，故化简得：x2y26x10(或(x3)2y28)即为所求.(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1.将x1代入方程x2y26x10得y2，所以|MN|4，满足题意.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y
6、kxk2，由圆心到直线的距离d2，解得k0，此时直线l的方程为y2.综上所述，满足题意的直线l的方程为x1或y2.10.(2015安徽卷)设椭圆E的方程为1(ab0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|2|MA|，直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程.解(1)由题设条件知，点M的坐标为，又kOM，从而，进而得ab，c2b，故e.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB的方程为1，点N的坐标为.设点N关于直线AB的对称点S的坐标
7、为，则线段NS的中点T的坐标为.又点T在直线AB上，且kNSkAB1，从而有解得b3.所以a3，故椭圆E的方程为1.11.(2015重庆卷)如图，椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P、Q两点，且PQPF1.(1)若|PF1|2，|PF2|2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF1|PQ|，求椭圆的离心率e.解(1)由椭圆的定义，2a|PF1|PF2|(2)(2)4，故a2.设椭圆的半焦距为c，由已知PF1PF2，因此2c|F1F2|2，即c，从而b1.故所求椭圆的标准方程为y21.(2)连接F1Q，法一如图，设点P(x0，y0)在椭圆上，且PF1PF2，则1，xyc
8、2，求得x0，y0.由|PF1|PQ|PF2|得x00，从而|PF1|2.2(a2b2)2a(a)2.由椭圆的定义，|PF1|PF2|2a，|QF1|QF2|2a，从而由|PF1|PQ|PF2|QF2|，有|QF1|4a2|PF1|.又由PF1PF2，|PF1|PQ|，知|QF1|PF1|，因此，(2)|PF1|4a，即(2)(a)4a，于是(2)(1)4，解得e.法二如图，由椭圆的定义，|PF1|PF2|2a，|QF1|QF2|2a.从而由|PF1|PQ|PF2|QF2|，有|QF1|4a2|PF1|.又由PF1PQ，|PF1|PQ|，知|QF1|PF1|，因此，4a2|PF1|PF1|，得|PF1|2(2)a，从而|PF2|2a|PF1|2a2(2)a2(1)a.由PF1PF2，知|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)2，因此e.