1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(四十一)一、选择题1.在用数学归纳法证明凸n边形内角和定理时,第一步应验证()(A)n=1时成立(B)n=2时成立(C)n=3时成立(D)n=4时成立2.已知n是正偶数,用数学归纳法证明时,若已假设n=k(k2且为偶数)时命题为真,则还需证明()(A)n=k+1时命题成立(B)n=k+2时命题成立(C)n=2k+2时命题成立(D)n=2(k+2)时命题成立3.(2013河源模拟)某个命题与正整数n有关,若n=k(kN*)时命题成立,那么可推得当n=k+1时该
2、命题也成立,现已知n=5时,该命题不成立,那么可以推得()(A)n=6时该命题不成立(B)n=6时该命题成立(C)n=4时该命题不成立(D)n=4时该命题成立4.(2013岳阳模拟)用数学归纳法证明不等式1+(nN*)成立,其初始值至少应取()(A)7(B)8(C)9(D)105.设Sk=+,则Sk+1=()(A)Sk+(B)Sk+(C)Sk+-(D)Sk+-6.用数学归纳法证明+(nn0,n0N*),则n的最小值等于()(A)1(B)2(C)3(D)47.(2013潍坊模拟)对于不等式n+1(nN*),某同学的证明过程如下:(1)当n=1时,1+1,不等式成立.(2)假设当n=k(k1,kN
3、*)时,不等式成立,即k+1,则当n=k+1时,=(k+1)+1,所以当n=k+1时,不等式也成立.对于上述证法,()(A)过程全部正确(B)n=1时验证不正确(C)归纳假设不正确(D)从n=k到n=k+1的推理不正确8.(能力挑战题)已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然数m,使得对任意nN*,f(n)都能被m整除,则m的最大值为()(A)18(B)36(C)48(D)54二、填空题9.(2013洛阳模拟)用数学归纳法证明1+1)时,第一步应验证的不等式是.10.用数学归纳法证明:(n+1)+(n+2)+(n+n)=(nN*)的第二步中,当n=k+1时等式左边与n=k时的等式左边的差等
4、于.11.若数列an的通项公式an=,记cn=2(1-a1)(1-a2)(1-an),试通过计算c1,c2,c3的值,推测cn=.12.已知f(n)=1+(nN*),用数学归纳法证明f(2n)时,f(2k+1)-f(2k)等于.三、解答题13.用数学归纳法证明:+=(nN*).14.用数学归纳法证明不等式:+(nN*且n1).15.(能力挑战题)设f(n)=1+.是否存在关于正整数n的函数g(n),使等式f(1)+f(2)+f(n-1)=g(n)f(n)-1对于n2的一切正整数都成立?证明你的结论.答案解析1.【解析】选C.凸多边形至少有三边,所以应验证n=3时成立.2.【解析】选B.因n是正
5、偶数,故只需证等式对所有偶数都成立,因k的下一个偶数是k+2,故选B.3.【解析】选C.由n=k(kN*)成立,可推得当n=k+1时该命题也成立.因而若n=4成立,必有n=5成立.现知n=5不成立,所以n=4一定不成立.4.【思路点拨】用等比数列的前n项和求出不等式的左边,解不等式即可得到初始值.【解析】选B.1+=,整理得2n128,解得n7,所以初始值至少应取8.5.【解析】选C.由已知得Sk=+,Sk+1=+,因此Sk+1=Sk+-.6.【解析】选C.当n=1时,左边=1,右边=11=1,不等式不成立;当n=2时,左边=+=3,右边=2,不等式不成立,当n=3时,左边=7,右边=9,不等
6、式成立,当n=4时,左边=15,右边=16,不等式成立,所以n的最小值等于3.7.【解析】选D.从n=k到n=k+1的推理时没有运用归纳假设,因此证明不正确.8.【思路点拨】先求出当n=1,2,3时f(n)的值,由此猜想m的最大值,再用数学归纳法证明结论成立.【解析】选B.由于f(1)=36,f(2)=108,f(3)=360都能被36整除,猜想f(n)能被36整除,即m的最大值为36.当n=1时,可知猜想成立.假设当n=k(k1,kN*)时,猜想成立,即f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除;当n=k+1时,f(k+1)= (2k+9)3k+1+9=(2k+7)3k+9+36(k+5)3
7、k-2,因此f(k+1)也能被36整除,故所求m的最大值为36.9.【解析】由条件知n的第一个值为2,所以第一步应验证的不等式是1+2.答案:1+,不等式成立.(2)假设当n=k(k2,kN*)时,不等式成立,则+,则当n=k+1时,左边=+=+-+-.当n=k+1时,不等式成立,根据(1)(2)知,原不等式对nN*且n1都成立.15.【解析】当n=2时,得g(2)=2,当n=3时,得g(3)=3,猜想g(n)=n(n2,nN*).用数学归纳法证明猜想成立.(1)当n=2时,左边=f(1)=1,右边=2f(2)-1=1,左边=右边,所以等式成立.(2)假设当n=k(k2,kN*)时等式成立,即
8、f(1)+f(2)+f(k-1)=g(k)f(k)-1,那么当n=k+1时,f(1)+f(2)+f(k-1)+f(k)=kf(k)-1+f(k)=(k+1)f(k)-k=(k+1)f(k+1)-k=(k+1)f(k+1)-1,也就是说当n=k+1时等式也成立.由(1)(2)可知,等式对n2的一切正整数都成立.故存在关于正整数n的函数g(n)=n,使等式对n2的一切正整数都成立.【变式备选】已知函数f(x)=x3-x,数列an满足条件:a11,an+1f(an+1).试比较+与1的大小,并说明理由.【解析】+23-1,由此猜想:an2n-1.下面用数学归纳法证明这个猜想:当n=1时,a121-1=1,结论成立;假设n=k(k1且kN*)时结论成立,即ak2k-1,则当n=k+1时,由g(x)=(x+1)2-1在区间1,+)上单调递增知,ak+1(ak+1)2-122k-12k+1-1,即n=k+1时,结论也成立.由知,对任意nN*,都有an2n-1,即1+an2n,+=1-()n1.【方法技巧】“归纳猜想证明”类问题的一般解题思路通过观察有限个特例,猜想出一般性的结论,然后用数学归纳法证明.这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用,其关键是归纳、猜想出公式.关闭Word文档返回原板块。
