1、四川省泸县第五中学2019-2020学年高二数学下学期第四学月考试试题 理（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“”的否定是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用全称命题的否定方法求解，改变
2、量词，否定结论.【详解】因为的否定为，所以选A.【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，一般处理策略是：先改变量词，然后否定结论.2.复数满足为虚数单位），则复数（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】对复数进行化简，在由共轭复数的性质即可求出【详解】复数可变形为则复数故选A.【点睛】在对复数的除法进行化简时，要采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”3.已知实数满足则“”是“”的（ ）A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据题意，由对数的性质分析可得“若，则”和“若，即，必有”，结合充分、必要条
3、件的定义分析可得答案.【详解】根据题意，实数满足，若，则，则“”是“”的充分条件，反之若，即，必有，则“”是“”的必要条件，故“”是“”的充要条件；故选：C【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，属于基础题.4.已知随机变量服从正态分布，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据正态分布的性质求解.【详解】因为随机变量服从正态分布，所以分布列关于对称，又所有概率和为1，所以.故选D.【点睛】本题考查正态分布的性质.5.若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（ ）A. 11B. 9C. 5D. 3【答案】B【解析】由双曲线定义得，即，解得，故选B考点：双
4、曲线的标准方程和定义6.已知，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为a0，b0，所以由0恒成立得m()(3ab)10恒成立因为26，当且仅当ab时等号成立，所以1016，所以m16，即m的最大值为16，故选B.7.为考察某动物疫苗预防某种疾病的效果，现对200只动物进行调研，并得到如下数据：未发病发病合计未注射疫苗206080注射疫苗8040120合计100100200（附：）0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828则下列说法正确的：（ ）A. 至少有99.9%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”B. 至多有99%的
5、把握认为“发病与没接种疫苗有关”C. 至多有99.9%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”D. “发病与没接种疫苗有关”的错误率至少有0.01%【答案】A【解析】分析】根据所给表格及公式，即可计算的观测值，对比临界值表即可作出判断.【详解】根据所给表格数据，结合计算公式可得其观测值为，所以至少有99.9%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”，故选：A.【点睛】本题考查了独立性检验思想的简单应用，属于基础题.8.直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为 （ ）A. B. C. 4D. 【答案】C【解析】【分析】首先解方程确定积分上限和积分下限，然后利用定积分可得封闭图形的面积.【详解】解方程可得
6、：，求解第一象限内围成的封闭图形的面积，则积分上限为2，积分下限为0，利用定积分求解面积的方法可得所求面积的值为：.故选C.【点睛】本题主要考查定积分的应用，利用定积分求解封闭图形的面积的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.若圆C:关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值是（ ）A. 2B. 4C. 3D. 6【答案】B【解析】试题分析：即，由已知，直线过圆心，即，由平面几何知识知，为使由点向圆所作的切线长的最小，只需圆心与直线上的点连线段最小，所以，切线长的最小值为，故选.考点：圆的几何性质，点到直线距离公式.10.某学生将语文、数学、英语、物理、化学、生物6科的作业安
7、排在周六、周日完成，要求每天至少完成两科，且数学，物理作业不在同一天完成，则完成作业的不同顺序种数为（ ）A. 600B. 812C. 1200D. 1632【答案】C【解析】【分析】根据特殊元素优先安排的原则，分两类，一天2科，另一天4科或每天各3科.一天2科，另一天4科的情况：先安排数学、物理，再安排另外4科，先分组再分配，一组1科，一组3科，最后给两个大组分别全排列每天各3科的情况同理最后把两种情况相加即可【详解】分两类：一天2科，另一天4科或每天各3科.第一步，安排数学、物理两科作业，有种方法；，第二步，安排另4科一组1科，一组3科，有种方法；第三步，完成各科作业，有种方法，所以共有种
8、.两天各3科，数学、物理两科各一组，另4科每组2科，第一步，安排数学、物理两科作业，有种方法；第二步，安排另4科每组2科，有种方法；第三步，完成各科作业，有种方法，所以共有种，综上，共有种.故选C.【点睛】本题考查分类计数原理，特殊元素优先安排的原则，分类不重不漏，属于基础题11.已知点A（2，0），O（0，0），若抛物线C：（p0）上存在两个不同的点M，使得OMAM，则p的取值范围（ ）A. (0,)B. (0,1)C. (0,2)D. (1,+)【答案】A【解析】【分析】求出以OA为直径的圆的方程与抛物线联立，利用判别式转化求解即可【详解】点A（2，0），O（0，0），若抛物线C：（p0）
9、上存在两个不同的点M，使得OMAM，可知以OA为直径的圆的方程与抛物线有两个交点可得：，所以，可得x=0或x=1-2p0，解得，故选A【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查分析问题解决问题的能力12.已知，则实数m的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用奇偶性的定义可知在为R上的偶函数，再利用导数可知在区间单调递增，于是，即为，由函数的性质可得，从而等价转化为，恒成立，不等号两侧分别构造函数，求得构造的左侧函数的最大值及右侧函数的最小值，即可求得实数m的取值范围【详解】解：函数的定义域为，为R上的偶函数，又，在R上单调递增，又，当时，在区间单调递增不等式，
10、由偶函数性质可得：，即，由函数的单调性可得：，恒成立，令，则，当时，上单调递增，当时，在上单调递减，；令，故在区间单调递减，故选：B【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，恒成立问题常见方法是通过分类讨论、分离变量等方法转化为函数最值的问题，解题时应注意转化过程中的等价性.第II卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.甲、乙两篮球运动员进行定点投篮，每人各投4个球，甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为，求甲至多命中2个且乙至少命中2个概率_.【答案】【解析】【分析】甲至多命中2个且乙至少命中2个包含的两个事件是相互独立事件，分别做出甲至多命中2个球的概率和乙至
11、少命中两个球的概率，根据相互独立事件的概率公式得到结果.【详解】甲至多命中2个且乙至少命中2个包含的两个事件是互相独立事件，设“甲至多命中2个球”为事件，“乙至少命中2个球”为事件，由题意，甲至多命中2个球且乙至少命中2个球的概率为，故答案为.【点睛】本题考查独立重复试验，考查离散型随机变量，是一个综合题，解题时注意进球的个数对应的是乙所得的分数，注意分数与进球个数的对应.14.已知,在处有极值,则 _ 【答案】【解析】分析】由题知为极值点,故,又联立求解即可.【详解】由题,故故答案为-6【点睛】本题主要考查了已知极值点与极值求参数的问题.属于基础题型.15.设抛物线：的焦点为，准线为，已知以
12、为圆心，为半径的圆交于两点，若，的面积为，则轴被圆所截得的弦长等于_【答案】【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形求出，由点到准线的距离写出的面积，从而求出的值【详解】如图所示，因为，所以圆的半径为，由抛物线定义知，点A到准线l的距离为，所以的面积为，解得根据弦长公式可得弦长等于，故答案为：【点睛】本题考查了抛物线的定义与性质的应用问题，也考查了数形结合应用问题，是基础题16.某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预计销量（万件）与广告费（万元）之间的函数关系为，已知生产此产品的年固定投入为万元，每生产1万件此产品仍需要再投入30万元，且能全部销售完，若每件甲产品销售价格
13、（元）定为：“平均每件甲产品生产成本的150%”与“年平均每件产品所占广告费的50%”之和，则当广告费为1万元时，该企业甲产品的年利润比不投入广告费时的年利润增加了_万元【答案】【解析】由题意可得，当广告费为万元时，产品的生产成本为（万元），每件销售价为（元），年销售收入为（万元），年利润为（万元），若不投入广告费，则，产品的生产成本为（万元），每件销售价为（元），年销售收入为（万元），年利润为（万元），故企业甲产品的年利润比不投入广告费时的年利润增加了万元，故答案为三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考
14、题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.若.（1）指出函数的单调递增区间；（2）求在的最大值和最小值.【答案】（1）在，递增；（2），【解析】【分析】（1）先对函数求导，利用导数的方法研究函数单调性，即可得出结果；（2）根据（1）的结果，得到函数单调性，进而可求出其最值.【详解】（1）因为所以，由可得或；由可得；所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；故函数的单调递增区间为，；（2）因为，所以由（1）可得，在上单调递减，在上单调递增；因此，又，所以.【点睛】本题主要考查导数的应用，通常先对函数求导，用导数的方法研究函数单调性，最值等，属于常考题型.18.某地种植常规稻A和杂
15、交稻B，常规稻A的亩产稳定为500公斤，今年单价为3.50元公斤，估计明年单价不变的可能性为10%，变为3.60元公斤的可能性为60%，变为3.70元公斤的可能性为30%统计杂交稻B的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如下；统计近10年来杂交稻B的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）的关系，得到的10组数据记为，并得到散点图如下，参考数据见下（1）估计明年常规稻A的单价平均值；（2）在频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，求杂交稻B的亩产平均值；以频率作为概率，预计将来三年中至少有二年，杂交稻B的亩产超过765公斤的概率；（3）判断杂交稻B的单价y（单位：元/公斤）与种植亩数x
16、（单位：万亩）是否线性相关？若相关，试根据以下的参考数据求出y关于x的线性回归方程；调查得知明年此地杂交稻B的种植亩数预计为2万亩若在常规稻A和杂交稻B中选择，明年种植哪种水稻收入更高？统计参考数据：，附：线性回归方程，【答案】（1）3.62（元公斤）； （2）；（3）明年选择种植杂交稻B收入更高.【解析】【分析】（1）先求分布列，再根据数学期望公式得结果，（2）根据组中值与对应概率乘积的和求平均值，根据独立重复试验概率公式求概率，（3）根据散点图判断是否线性相关，代入公式求，根据求，根据线性回归方程估计明年杂交稻B的单价，再乘以亩产平均值得收入，根据每年常规稻A的单价比当年杂交稻B的单价高5
17、0%得明年常规稻A的单价，再乘以500得收入，最后比较收入大小得结论.【详解】（1）设明年常规稻A的单价为，则的分布列为3.503.603.70P0.10.60.3，估计明年常规稻A的单价平均值为3.62（元公斤）； （2）杂交稻B的亩产平均值为：依题意知杂交稻B的亩产超过765公斤的概率为：，则将来三年中至少有二年，杂交稻B的亩产超过765公斤的概率为： （3）因为散点图中各点大致分布在一条直线附近，所以可以判断杂交稻B的单价y与种植亩数x线性相关， 由题中提供的数据得：，由 ，所以线性回归方程为， 估计明年杂交稻B的单价元公斤；估计明年杂交稻B的每亩平均收入为元亩，估计明年常规稻A的每亩平
18、均收入为元亩，因19051875，所以明年选择种植杂交稻B收入更高【点睛】函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.19.如图，在直三棱柱中，点是的中点（1）求异面直线与所成角的余弦值（2）求二面角的余弦值【答案】（1） （2）【解析】【分析】根据题意以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系（1）设异面直线与所成角为，利用公式求解（2）分别求出两个半平面的法向量，利用公式求解即可.【详解】（1）在直三棱柱中，点是的中点，以为原点，
19、为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，则，设异面直线与所成角为，则.异面直线与所成角的余弦值为（2），设平面的法向量，则，取，得，平面的法向量，设二面角的平面角为，则二面角的余弦值为【点睛】本题主要考查了建立空间直角坐标系，利用向量求异面直线所成角，二面角，属于中档题.20.已知点为圆上一点，轴于点，轴于点，点满足（为坐标原点），点的轨迹为曲线.（）求的方程；（）斜率为的直线交曲线于不同的两点、，是否存在定点，使得直线、的斜率之和恒为0.若存在，则求出点的坐标；若不存在，则请说明理由.【答案】（），（）存在， 或【解析】【分析】（）设，,由将用表示，然后将代入，化简即可得到结果；（）假设存
20、在定点满足题意，设，斜率为的直线的方程为，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和斜率和为0恒成立，可得结果.【详解】（）设，则，由得，所以，所以，又在圆上，所以，即.（）假设存在定点满足题意，设，斜率为的直线的方程为，则，得，所以，解得 又，因为，所以，则，则，则，则，则，所以对任意的恒成立，所以，解得或，所以存在定点或，使得、的斜率之和恒为0.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的坐标表示，考查了代入法求曲线的轨迹方程，考查了韦达定理，考查了斜率公式的应用，考查了字母运算能力，属于中档题.21.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数图像过点，求证：.【答案】(1) 当时，在上单调递增，当
21、时，在单调递增，在上单调递减；(2)见解析.【解析】分析】（1）函数的定义域为 ，.按或分类讨论即可；（2）由已知得，要证，即证，令，求导判断的单调性和最小值即可得出.【详解】（1）函数的定义域为 ，.当时， ，在上单调递增； 当时，由，得 .若 ，单调递增；若 ，单调递减综合上述： 当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在上单调递减. （2）函数图象过点，可得，此时要证，即证. 令， ，又令，当时，在上单调递增.由， 即，故存在 使得，此时，故 当时，；当时，.所以在上递减，在上递增，当时，有最小值 故成立【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，构造函数判断单调性并求出最小值，也考查了分
22、类讨论思想，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的参数方程为（为参数），为过点的两条直线，交于，两点，交于，两点，且的倾斜角为，.（1）求和的极坐标方程；（2）当时，求点到，四点的距离之和的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【详解】试题分析：（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到直线和的极坐标方程；（2）设，将代入曲线的极坐标方程，得到取得最大值，即可得到结论.试题解析：（1）依题意，直线的极坐标方程为，由，消去，得，将，代入上式，得，故的极坐标
23、方程为（2）依题意可设，且均为正数，将代入，得，所以，同理可得， ，所以点到四点的距离之和为 ，因为，所以当，即时，取得最大值，所以点到四点距离之和的最大值为.23.已知函数f（x）|2x1|x+1|（1）求不等式f（x）1的解集M；（2）结合（1），若m是集合M中最大的元素，且a+bm（a0，b0），求的最大值【答案】（1）；（2）5【解析】【分析】(1)分段去不等式中的绝对值再求解即可.(2)根据(1)可得,再根据柯西不等式求解最大值即可.【详解】（1）不等式f（x）1即|2x1|x+1|1，可得或或，解得：无解或x或x1，综上可得x1，即所求解集为，1；（2）由（1）可得a+b1（a，b0），由柯西不等式可得（）2（32+42）（a+b），即为（）225，可得5，当且仅当a，b时取得等号，则的最大值为5【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解以及柯西不等式的运用,属于中等题型.
