1、第2讲 等差数列及其前n项和 1等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从_起，每一项与它的前一项的_都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列用符号表示为_(nN*，d为常数)第2项an1and差3等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam_(n，mN*)(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则_(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为_(nm)dakalaman2d(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为_的等差数列 md题组一 常识题 1(
2、教材改编)等差数列11，8，5，中，49是它的第_项【解析】由题意得a111，d8113，所以an11(n1)(3)3n14.由3n1449，得n21.【答案】21 2(教材改编)在等差数列an中，a23，a3a44，则a9_【解析】因为a3a44，所以公差d4，所以ana2(n2)d3(n2)44n5，则a949531.【答案】31【答案】54 3(教材改编)等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a56，则S9_【解析】因为 S99（a1a9）29a59654.4(教材改编)在100以内的正整数中有_个能被6整除的数.【解析】由题意知，能被6整除的数构成一个等差数列an，且a16，d6，则
3、an6(n1)66n.由an6n100，得n16，所以在100以内的正整数中有16个能被6整除的数【答案】16 题组二 常错题 索引：等差数列概念中的两个易误点，即同一个常数与常数；不能正确应用等差数列的性质；对等差数列的通项公式和前n项和公式之间的关系处理不清 5若数列an满足a11，an1ann，则数列an的通项公式为an_【解析】由 an1ann，得 a2a11，a3a22，anan1n1(n2)，以上各式相加，得 ana112(n1)（n1）（1n1）2n（n1）2，即 ann（n1）21，因为 a11，也适合上式，所以 an1n（n1）2.【答案】1n（n1）2【答案】2 6已知等差
4、数列an的前 n 项和为 Sn，且满足S33 S22 1，则数列an的公差是_【解析】Snn（a1an）2，Snn a1an2，又S33 S22 1，a1a32a1a221，即 a3a22，数列an的公差为 2.【答案】14 7已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S440，Sn210，Sn4130，则 n_【解析】易知 SnSn4anan1an2an380，S4a1a2a3a440，所以 4(a1an)120，则 a1an30，由 Snn（a1an）2210，得 n14.8设等差数列an的前n项和为Sn，且S510，S1030，则S15_【解析】因为数列an为等差数列，所以S5，S10
5、S5，S15S10也成等差数列设S15x，则10，20，x30成等差数列，所以22010(x30)，得x60，即S1560.【答案】60考点一 等差数列基本量的运算【例1】(1)记Sn为等差数列an的前n项和若a4a524，S648，则an的公差为()A1 B2 C4D8(2)设Sn为等差数列an的前n项和，a128，S9 9，则S16_【解析】(1)设an的公差为 d，则 由a4a524，S648，得（a13d）（a14d）24，6a1652 d48，解得 d4.故选 C.(2)设等差数列an的首项为 a1，公差为 d，由已知，得a12a111d8，S99a1982 d9，解得a13，d1.
6、S1616316152(1)72.【答案】(1)C(2)72【反思归纳】跟踪训练 1(1)(2019云南统考)设等差数列an的前 n 项和为Sn，S1122，a412，若 am30，则 m()A9 B10C11D15(2)张邱建算经卷上第 22 题为：今有女善织，日益功疾(注：从第 2 天起每天比前一天多织相同量的布)，第 1 天织 5 尺布，现在一月(按 30 天计)，共织 390 尺布，则第 2 天织布的尺数为()A.16129B.16131C.8115D.8015【解析】(1)设等差数列an的公差为 d，依题意S1111a111（111）2d22，a4a13d12，解得a133，d7，a
7、ma1(m1)d7m4030，m10.(2)由条件知该女子每天织布的尺数构成一个等差数列an，且 a15，S30390，设公差为 d，则 30530292d390，解得 d1629，则 a2a1d16129，故选 A.【答案】(1)B(2)A考点二 等差数列的判定与证明【例 2】(2019岳阳模拟)若数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 an2SnSn10(n2)，a112.(1)求证：1Sn 成等差数列(2)求数列an的通项公式【解析】(1)证明：当 n2 时，由 an2SnSn10，得 SnSn12SnSn1，所以 1Sn 1Sn12，又 1S1 1a12，故1Sn 是首项为 2，公差为
8、 2 的等差数列(2)由(1)可得 1Sn2n，Sn 12n.当 n2 时，anSnSn1 12n12（n1）n1n2n（n1）12n（n1）.当 n1 时，a112不适合上式 故 an12，n1，12n（n1），n2.【反思归纳】跟踪训练 2 已知数列an满足(an11)(an1)3(anan1)，a12，令 bn1an1.(1)证明：数列bn是等差数列(2)求数列an的通项公式【解析】(1)证明：1an111an1 anan1（an11）（an1）13，bn1bn13，bn是等差数列(2)由(1)及 b11a11 1211.知 bn13n23，an1 3n2，ann5n2.考点三 等差数列
9、的性质 角度1 基本性质amanapaq的应用【例3】(2018 怀化模拟)已知f(x)(x4)3x1，an是公差不为0的等差数列，f(a1)f(a2)f(a9)27，则f(a5)的值为()A0B1C3D5【解析】f(x)(x4)3x1，f(x)3(x4)3x4g(x4)，令x4t，可得函数g(t)t3t为奇函数且单调递增 an是公差不为0的等差数列，a1a9a2a8a3a7a4a62a5.f(a1)f(a2)f(a9)27，g(a1)g(a2)g(a9)0，g(a5)0，则f(a5)g(a5)33.故选C.【答案】C【例4】已知an，bn都是等差数列，若a1b109，a3b815，则a5a6
10、_【解析】因为an，bn都是等差数列，所以2a3a1a5，2b8b10b6，所以2(a3b8)(a1b10)(a5b6)，即2159(a5b6)，解得a5b621.【答案】21 角度2 奇偶数项和问题【例5】一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为3227，则该数列的公差d_【解析】设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.由已知条件，得S奇S偶354，S偶S奇3227，解得S偶192，S奇162.又 S 偶S 奇6d，所以 d19216265.【答案】5角度 3 SnSm性质的应用【例 6】(2019南昌模拟)设 Sn 是
11、等差数列an的前 n 项和，若a6a5 911，则S11S9等于()A1 B1C2 D.12【解析】S11S911（a1a11）29（a1a9）211a69a5 119 9111.【答案】A角度4 Sm，S2mSm，S3mS2m性质及应用【例7】设等差数列an的前n项和为Sn，且S312，S945，则S12_【解析】因为an是等差数列，所以S3，S6S3，S9S6，S12S9成等差数列，所以2(S6S3)S3(S9S6)，即2(S612)12(45S6)，解得S63；又2(S9S6)(S6S3)(S12S9)，即2(453)(312)(S1245)，解得S12114.【答案】114 角度5 等差数列前n项和最值问题【例8】(2018全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和，已知a17，S315.(1)求an的通项公式(2)求Sn，并求Sn的最小值【解析】(1)设an的公差为d，由题意得3a13d15.由a17得d2.所以an的通项公式为an2n9.(2)由(1)得Snn28n(n4)216.所以当n4时，Sn取得最小值，最小值为16.【反思归纳】课时作业
