1、8.2三角恒等变换8.2.1两角和与差的余弦学 习 目 标核 心 素 养1能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用(难点)2能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式(重点)3能利用两角和与差的余弦公式化简、求值(重点)1通过两角和与差的余弦公式的推导，培养学生逻辑推理的核心素养2借助两角和与差的余弦公式的应用，培养学生的数学运算核心素养.某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上如图所示，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离约为60米，从点A观测电视发射塔的视角(CAD)约为45，CAB15，求这座电视发射塔的高度设电视发射塔的高度CDx.则ABACcos
2、1560cos 15，BCACsin 1560sin 15，BDABtan 6060cos 15tan 6060cos 15，所以xBDBC60cos 1560sin 15，如果能求出cos 15，sin 15的值，就可求出电视发射塔的高度了问题(1)306030，那么cos 30cos 60cos 30成立吗？类似的154530，那么cos 15cos 45cos 30成立吗？为什么？，R，cos()cos cos 成立吗？(2)如何用，的正弦、余弦值来表示cos()呢？提示(1)cos 30cos 60cos 30；cos 15cos 45cos 30.因为以上两式的左边的cos 30以及
3、cos 15都大于0，而右边的式子cos 60cos 30，cos 45cos 30都小于0.cos()cos cos .(2)cos()cos cos sin sin .两角和与差的余弦公式简记符号公式使用条件Ccos()cos_cos_sin_sin_，RCcos()cos_cos_sin_sin_思考：(1)两角和的余弦公式是怎样由两角差的余弦公式推导而来的？(2)两角和与差的余弦公式的结构特征是什么？可用什么口诀记忆？提示(1)在两角差的余弦公式cos()cos cos sin sin 中，只要用替换，便可以得到两角和的余弦公式(2)可简单记为“余余正正，符号相反”，即展开后的两项分别
4、为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；展开前两角间的符号与展开后两项间的符号相反1思考辨析(对的打“”，错的打“”)(1)cos(7040)cos 70cos 40.()(2)对于任意实数，cos()cos cos 都不成立()(3)对任意，R，cos()cos cos sin sin 都成立()(4)cos 30cos 60sin 30sin 601.()提示(1).cos(7040)cos 110cos 70cos 40.(2).当45，45时，cos()cos(4545cos(90)0，cos cos cos(45)cos 450，此时cos()cos cos .再如0，60时也成立(3).结
5、论为两角和的余弦公式(4).cos 30cos 60sin 30sin 60cos(6030)cos 30.答案(1)(2)(3)(4)2cos 22cos 38sin 22sin 38的值为()ABCDA原式cos(2238)cos 60.3化简cos()cos sin()sin 为()Asin(2)Bcos(2)Ccos Dcos C原式cos()cos .4cos(40)cos(20)sin(40)sin(20)_.cos(40)cos(20)sin(40)sin(20)cos(40)(20)cos(60)cos 60.利用两角和与差的余弦公式化简、求值【例1】(1)cos 345的值等
6、于()ABCD(2)化简下列各式：cos(21)cos(24)sin(21)sin(24)；sin 167sin 223sin 257sin 313.思路探究利用诱导公式、两角差的余弦公式求解(1)Ccos 345cos(36015)cos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30.(2)解原式cos(21)(24)cos 45.原式sin(18013)sin(18043)sin(18077)sin(36047)sin 13sin 43sin 77sin 47sin 13sin 43cos 13cos 43cos(1343)cos(30).1在两角和与差的余弦公式
7、中，可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体2两角和与差的余弦公式在求值应用中的一般思路：(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和或差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值1求下列各式的值：(1)cos ；(2)sin 460sin(160)cos 560cos(280)；(3)cos(20)cos(40)sin(20)sin(40)解(1)cos coscos coscos.(2)原式sin 100sin 160cos 200cos 280sin 80sin 20cos 20cos 80(co
8、s 80cos 20sin 80sin 20)cos 60.(3)cos(20)cos(40)sin(20)sin(40)cos(20)(40)cos 60.给值(式)求值【例2】(1)(教材P89例3改编)已知cos ，则cos_.(2)，为锐角，cos()，cos(2)，求cos 的值思路探究(1)可先求得sin ，再用两角差的余弦公式求cos.(2)可考虑拆角，即(2)()来求cos .(1)因为cos ，所以sin ，所以coscos cos sin sin .(2)解因为，为锐角，所以0.又因为cos()，所以0，所以02.又因为cos(2)，所以02，所以sin()，sin(2)，
9、所以cos cos(2)()cos(2)cos()sin(2)sin().解决三角函数求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2已知cos ，cos()，且，求cos 的值解因为，所以(0，)又因为cos ，cos()，所以sin ，sin().又因为()，所以cos cos()cos()cos sin()sin .已知三角函数值求角【例3】已知，均为锐角，且cos ，cos ，求的值思路探究
10、本题可先求出cos()的值，结合的范围，再求出的值解因为，均为锐角，cos ，cos ，所以sin ，sin ，所以cos()cos cos sin sin .又sin sin ，所以0，所以0.故.解决给值求角问题的一般步骤(1)求角的某一个三角函数值；(2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出要求的角.3若sin，sin，其中，则角的值为()ABCDB因为，所以0，因为，所以，由已知可得cos，cos.则cos()coscoscossinsin.因为，所以.利用角的变换求三角函数值探究问题1若已知和的三角函数值，如何求cos 的值？提示cos cos()cos()cos sin()sin
11、.2利用()如何求得cos ？提示cos cos()cos cos()sin sin()3若cos cos a，sin sin b，如何求cos()的值？提示cos().【例4】若0，0，cos，cos，则cos的值为()AB CD思路探究利用角的交换求解，.C因为0，0，所以，又因为cos，cos，所以sin，sin，所以coscoscoscossinsin.故选C巧妙变角是指将已知角灵活分拆、配凑成待求的角.主要针对已知某些角的三角函数值，求(或证明)另外角的三角函数值的题目，解决问题的关键是要善于观察.常见的“变角”有：单角变为和(差)角，如()，等；倍角化为和(差)角，如2()()，等
12、.4设cos，sin，其中，求cos 的值解因为，所以，所以sin，cos，所以cos coscoscossinsin.1对公式C和C的三点说明(1)公式的结构特点：公式的左边是差(和)角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和(差)式，可用口诀两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”(2)公式的适用条件：公式中的，不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos中的“”相当于公式中的角，“”相当于公式中的角.(3)公式的“活”用：公式的运算要“活”，体现在正用、逆用、变用而变用又涉及两个方面：公式本身的变用，如cos()cos cos sin sin .角的变用，也称为角的变换
13、，如cos cos()等2把握1组技巧由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角常见角的变换有：()；2()()；2()()3辨明1个易错点利用两角差的余弦公式解决给值求角问题时，易忽视角的范围而导致解题错误1下列式子中，正确的个数为()cos()cos cos ；cossin ；cos()cos cos sin sin .A0个B1个C2个D3个A由cos()cos cos sin sin 知错误，cossin ，故错误，故选A2已知锐角，满足cos ，cos()，则cos 等于()ABCDA因为，为锐角，cos ，cos()，所以sin ，sin()，所以cos cos()cos()cos sin()sin .故选A3sin 75_.sin 75cos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30.4已知cos ，则cos_.因为cos ，所以sin .所以coscos cos sin sin .5设，都是锐角，且cos ，sin()，求cos 的值解因为，都是锐角且cos ，所以，所以，所以cos()，sin ，所以cos cos()cos()cos sin()sin .
