1、江苏省无锡市江阴市青阳片2016届九年级数学上学期期中试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的.请把答案直接填写在答题卷相应位置上）15的相反数是( )A5BC5D2下列各式计算正确的是( )Aa3+2a2=3a5B3+4=7C（a6）2（a4）3=0D（a3）2a4=a93分解因式（x1）21的结果是( )A（x2）2Bx2C（x1）2Dx（x2）4盒子中装有2个红球和4个绿球，每个球除颜色外都相同，从盒子中任意摸出一个球，是绿球的概率是( )ABCD5如图，O是ABC的外接圆，已知ABO=30，则ACB的大小为( )A60B30C4
2、5D506某小作坊第一天剥鸡头米10斤，计划第二、第三天共剥鸡头米28斤设第二、第三天每天的平均增长率均为x，根据题意列出的方程是( )A10（1+x）2=28B10（1+x）+10（1+x）2=28C10（1+x）=28D10+10（1+x）+10（1+x）2=287为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进行了调查，下表是这10户居民2014年4月份用电量的调查结果：居民（户）1324月用电量（度/户）40505560那么关于这10户居民月用电量（单位：度），下列说法错误的是( )A中位数是55B众数是60C方差是29D平均数是548三角形的内心是( )A三条中线的交点B三个内角
3、的角平分线的交点C三条边的垂直平分线的交点D三条高的交点9已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）若点M（2，y1），N（1，y2），K（8，y3）也在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，则下列结论正确的是( )Ay1y2y3By2y1y3Cy3y1y2Dy1y3y210“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（mn）是关于x的方程1（xa）（xb）=0的两根，且ab，则a、b、m、n的大小关系是( )AmabnBamnbCam
4、bnDmanb二、填空题（本大题共有8小题，每小题2分，共16分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）112015年11月2日，国产C919大型客机首架机正式下线，其最大载客量190人，航程最大达4075公里，最大起飞重量72500kg；其中数据72500用科学记数法表示为_12如果一组数据2，0，3，5，x的极差是9，那么x的值是_13方程x2=3x的解是_14已知一元二次方程x23x50的两个根为x1，x2，则x1x2_15一个母线长为3cm的圆锥，侧面积为15 cm2，则它的底面圆半径是_ cm16若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，则6m+2n=_1
5、7如图，在平面直角坐标系中，P的圆心是（3，a）（a3），P与y轴相切，函数y=x的图象被P截得的弦AB的长为2，则a的值是_18如图，平面直角坐标系中，分别以点A（2，3），B（3，4）为圆心，以1、2为半径作A、B，M、N分别是A、B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值等于_三、解答题（本大题共有10小题，共84分请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19（16分）选择适当方法解下列方程：（1）x24x+1=0（用配方法）； （2）3x（x1）=22x（3）（x2）（x3）=12 （4）2x22x5=0（公式法）20如图，ABC中，已知BAC
6、=45，ADBC于D，BD=2，DC=3，求AD的长小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：（1）分别以AB、AC为对称轴，画出ABD、ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；（2）设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值21为了备战初三物理、化学实验操作考试，某校对初三学生进行了模拟训练，物理、化学各有4各不同的操作实验题目，物理用番号、代表，化学用字母a、b、c、d表示，测试时每名学生每科只操作一个实验，实验的题目由学生抽签确定，第一次抽签确定物理实验题目
7、，第二次抽签确定化学实验题目（1）请用树形图法或列表法，表示某个同学抽签的各种可能情况（2）小张同学对物理的、和化学的b、c号实验准备得较好，他同时抽到两科都准备的较好的实验题目的概率是多少？22人民商场销售某种商品，统计发现：每件盈利45元时，平均每天可销售30件经调查发现，该商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件（1）假如现在库存量太大，部门经理想尽快减少库存，又想销售该商品日盈利达到1750元，请你帮忙思考，该降价多少？（2）假如部门经理想销售该商品的日盈利达到最大，请你帮忙思考，又该如何降价？23如图，在ABC中，ABC=90，D是边AC上的一点，连接BD，使A=21，E是BC上的
8、一点，以BE为直径的O经过点D（1）求证：AC是O的切线；（2）若A=60，O的半径为2，求阴影部分的面积（结果保留根号和）24如图，直线y=3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x2）2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P（1）求a，k的值；（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长25阅读理解：配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值对于任意正实数a、b，可作如下变形a+b=（）2=（）22=（）2+2，又（）2
9、0，（）2+20+2，即a+b2（1）根据上述内容，回答下列问题：在a+b2（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b2，当且仅当a、b满足_时，a+b有最小值2（2）思考验证：如图1，ABC中，ACB=90，CDAB，垂足为D，CO为AB边上中线，AD=2a，DB=2b，试根据图形验证a+b2成立，并指出等号成立时的条件（3）探索应用：如图2，已知A为反比例函数y=的图象上一点，A点的横坐标为1，将一块三角板的直角顶点放在A处旋转，保持两直角边始终与x轴交于两点D、E，F（0，3）为y轴上一点，连结DF、EF，求四边形ADFE面积的最小值26操作：小明准备制作一个制作棱长为1cm的正方
10、体纸盒，现选用一些废弃的纸片进行如下设计：说明：方案一：图形中的圆过点A、B、C； 方案二：直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点 方案三中的每条边均过其中两个正方形的顶点纸片利用率=100%发现：（1）小明发现方案一中的点AB恰好为该圆一直径的两个端点你认为小明的这个发现是否正确，请说明理由（2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率约为38.2%，你知道怎么算的吗？请你写出他的计算过程；（3）对于方案二纸片的利用率，小明认为关键的是要求出此直角三角形的两直角边的长，你是这样想的吗？请你选用合适的方法求出方案二纸片的利用率（结果精确到0.1%）探究：（4）
11、小明感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三），请直接写出方案三的利用率：_（结果精确到0.1%）2015-2016学年江苏省无锡市江阴市青阳片九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的.请把答案直接填写在答题卷相应位置上）15的相反数是( )A5BC5D【考点】相反数【分析】根据相反数的定义解答【解答】解：只有符号不同的两个数称为互为相反数，则5的相反数为5，故选C【点评】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，a的相反数是a2下列各式计算正确的是( )Aa3+2a2=3a5B3+4=
12、7C（a6）2（a4）3=0D（a3）2a4=a9【考点】二次根式的加减法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法【分析】结合选项分别进行合并同类项、二次根式的加法运算、同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方等运算，然后选择正确答案【解答】解：A、a3和2a2不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、3+4=7，计算正确，故本选项正确；C、（a6）2（a4）3=1，原式计算错误，故本选项错误；D、（a3）2a4=a10，原式计算错误，故本选项错误故选B【点评】本题考查了合并同类项、二次根式的加法运算、同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方等知识，掌握运算法则是解答本题的关键3分解
13、因式（x1）21的结果是( )A（x2）2Bx2C（x1）2Dx（x2）【考点】因式分解-运用公式法【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可【解答】解：（x1）21=（x1）+1（x1）1=x（x2）故选：D【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键4盒子中装有2个红球和4个绿球，每个球除颜色外都相同，从盒子中任意摸出一个球，是绿球的概率是( )ABCD【考点】概率公式【分析】任意摸出一个球有6种情况，其中绿球有四种情况根据概率公式进行求解【解答】解：从盒子中任意摸出一个球，是绿球的概率是故选C【点评】本题考查的是古典型概率如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性
14、相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=5如图，O是ABC的外接圆，已知ABO=30，则ACB的大小为( )A60B30C45D50【考点】圆周角定理【分析】首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出AOB的度数，再利用圆周角与圆心角的关系求出ACB的度数【解答】解：AOB中，OA=OB，ABO=30；AOB=1802ABO=120；ACB=AOB=60；故选A【点评】此题主要考查了圆周角定理的应用，涉及到的知识点还有：等腰三角形的性质以及三角形内角和定理6某小作坊第一天剥鸡头米10斤，计划第二、第三天共剥鸡头米28斤设第二、第三天每天的平均增长率均为x，根据题意列出的方程
15、是( )A10（1+x）2=28B10（1+x）+10（1+x）2=28C10（1+x）=28D10+10（1+x）+10（1+x）2=28【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【专题】增长率问题【分析】等量关系为：第二天的生产量+第三天的生产量=28【解答】解：第二天的生产量为10（1+x），第三天的生产量为10（1+x）（1+x），那么10（1+x）+10（1+x）2=28故选B【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解决本题的关键是得到相应的等量关系7为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进行了调查，下表是这10户居民2014年4月份用电量的调查结果：居民（户）132
16、4月用电量（度/户）40505560那么关于这10户居民月用电量（单位：度），下列说法错误的是( )A中位数是55B众数是60C方差是29D平均数是54【考点】方差；加权平均数；中位数；众数【专题】常规题型【分析】根据中位数、众数、平均数和方差的概念分别求得这组数据的中位数、众数、平均数和方差，即可判断四个选项的正确与否【解答】解：用电量从大到小排列顺序为：60，60，60，60，55，55，50，50，50，40A、月用电量的中位数是55度，故A正确；B、用电量的众数是60度，故B正确；C、用电量的方差是39度，故C错误；D、用电量的平均数是54度，故D正确故选：C【点评】考查了中位数、众数
17、、平均数和方差的概念中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数8三角形的内心是( )A三条中线的交点B三个内角的角平分线的交点C三条边的垂直平分线的交点D三条高的交点【考点】三角形的内切圆与内心【分析】利用三角形的内心的概念即可得出答案【解答】解：三角形的内心为三个内角平分线的交点故选：B【点评】此题主要考查了三角形内心的概念解题的关键是要熟记内心的定义9已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A（1，2），B（3，2），C（5
18、，7）若点M（2，y1），N（1，y2），K（8，y3）也在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，则下列结论正确的是( )Ay1y2y3By2y1y3Cy3y1y2Dy1y3y2【考点】二次函数图象上点的坐标特征【专题】压轴题【分析】先由A（1，2），B（3，2），C（5，7），代入y=ax2+bx+c，得到二次函数得到二次函数的解析式，再比较y1、y2、y3的大小【解答】解：把A（1，2），B（3，2），C（5，7）代入y=ax2+bx+c得，解得函数解析式为y=x2x+=（x2）2+当x2时，y随x的增大而增大；当x2时，y随x的增大而减小；根据对称性，K（8，y3）的对称点是（4，y3）
19、；所以y2y1y3故选B【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了函数的增减性以及数形结合思想10“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（mn）是关于x的方程1（xa）（xb）=0的两根，且ab，则a、b、m、n的大小关系是( )AmabnBamnbCambnDmanb【考点】抛物线与x轴的交点【专题】数形结合【分析】依题意画出函数y=（xa）（xb）图象草图，根据二次函数的增减性求解【解答】解：依题意，画出函数y=（xa）（xb）的图象，如图所示函
20、数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为a，b（ab）方程1（xa）（xb）=0转化为（xa）（xb）=1，方程的两根是抛物线y=（xa）（xb）与直线y=1的两个交点由mn，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有ma；在对称轴右侧，y随x增大而增大，则有bn综上所述，可知mabn故选：A【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，考查了数形结合的数学思想解题时，画出函数草图，由函数图象直观形象地得出结论，避免了繁琐复杂的计算二、填空题（本大题共有8小题，每小题2分，共16分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应
21、位置上）112015年11月2日，国产C919大型客机首架机正式下线，其最大载客量190人，航程最大达4075公里，最大起飞重量72500kg；其中数据72500用科学记数法表示为7.25104【考点】科学记数法表示较大的数【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数【解答】解：72500=7.25104，故答案为：7.25104【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定n值是关键12如果一组数据2，0，3，5，x
22、的极差是9，那么x的值是4或7【考点】极差【分析】根据极差的定义，分两种情况：x为最大值或最小值时分别列式计算即可【解答】解：数据2，0，3，5，x的极差是9，当x为最大值时，x（2）=9，解得x=7，当x是最小值时，5x=9，解得：x=4；故答案为：4或7【点评】此题主要考查了极差的定义，正确理解极差的定义，列出算式是本题的关键，注意应该分两种情况讨论13方程x2=3x的解是x1=0，x2=3【考点】解一元二次方程-因式分解法【专题】计算题【分析】先移项，然后利用因式分解法解方程【解答】解：x2+3x=0，x（x3）=0，x=0或x3=0，所以x1=0，x2=3故答案为x1=0，x2=3【点
23、评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）14已知一元二次方程x23x50的两个根为x1，x2，则x1x25【考点】根与系数的关系【分析】直接根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x1x2【解答】解：一元二次方程x23x5=0的两根为x1，x2，x1x2=5故答案为5【点评】此题主要考查一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系为：
24、x1+x2=，x1x2=15一个母线长为3cm的圆锥，侧面积为15 cm2，则它的底面圆半径是5 cm【考点】圆锥的计算【分析】圆锥的侧面积=底面周长母线长2，把相应数值代入即可求解【解答】解：设底面半径为R，则底面周长=2Rcm，侧面展开图的面积=2R3=3R=15cm2，R=5cm故答案为：5【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解，解题的关键是能够熟练的掌握圆锥的有关公式16若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，则6m+2n=2【考点】一元二次方程的解【分析】先把x=1代入x2+3mx+n=0，得到3m+n=1，再把要求的式子进行整理，然后代入即可【解答】解：把
25、x=1代入x2+3mx+n=0得：1+3m+n=0，3m+n=1，则6m+2n=2（3m+n）=2（1）=2；故答案为：2【点评】此题考查了一元二次方程的解，解题的关键是把x的值代入，得到一个关于m，n的方程，不要求mn的值，要以整体的形式出现17如图，在平面直角坐标系中，P的圆心是（3，a）（a3），P与y轴相切，函数y=x的图象被P截得的弦AB的长为2，则a的值是2+3【考点】垂径定理；一次函数图象上点的坐标特征；勾股定理【分析】作PHy轴于H，PCAB于C，作PEx轴于E交AB于D，如图，先根据切线的性质得PH=2，即P的半径为2，再根据垂径定理，由PCAB得到BC=CD=AB=，接着在
26、RtBPC中利用勾股定理可计算出PC=1，由直线y=x为第一、三象限的角平分线得到DOE=45，则ODE=45，DE=OE=2，然后判断PCD为等腰直角三角形得到PD=PC=2，所以PE=PD+DE=2+3，即a=2+3【解答】解：作PHy轴于H，PCAB于C，作PEx轴于E交AB于D，如图，P与y轴相切，PH=2，即P的半径为2，PCAB，BC=CD=AB=2=，在RtBPC中，PC=2，直线y=x为第一、三象限的角平分线，DOE=45，ODE=45，DE=OE=3，PDC=45，PD=PC=2，PE=PD+DE=2+3故答案为：2+3【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出
27、等腰直角三角形是解答此题的关键18如图，平面直角坐标系中，分别以点A（2，3），B（3，4）为圆心，以1、2为半径作A、B，M、N分别是A、B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值等于4【考点】圆的综合题【分析】作A关于x轴的对称A，连接BA分别交A和B于M、N，交x轴于P，如图，根据两点之间线段最短得到此时PM+PN最小，再利用对称确定A的坐标，接着利用两点间的距离公式计算出AB的长，然后用AB的长减去两个圆的半径即可得到MN的长，即得到PM+PN的最小值【解答】解：作A关于x轴的对称A，连接BA分别交A和B于M、N，交x轴于P，如图，则此时PM+PN最小，点A坐标（2，3），点A
28、坐标（2，3），点B（3，4），AB=，MN=ABBNAM=31=4，PM+PN的最小值为4故答案为4【点评】本题考查了圆的综合题：掌握与圆有关的性质和关于x轴对称的点的坐标特征；会利用两点之间线段最短解决线段和的最小值问题；会运用两点间的距离公式计算线段的长；理解坐标与图形性质三、解答题（本大题共有10小题，共84分请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19（16分）选择适当方法解下列方程：（1）x24x+1=0（用配方法）； （2）3x（x1）=22x（3）（x2）（x3）=12 （4）2x22x5=0（公式法）【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元
29、二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法【专题】计算题【分析】（1）利用配方法得到（x2）2=3，然后利用直接开平方法解方程；（2）先变形得到3x（x1）+2（x1）=0，然后利用因式分解法解方程；（3）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程；（4）利用求根公式法解方程【解答】解：（1）x24x=1，x24x+4=1+4，（x2）2=3，x2=所以x1=，x2=；（2）3x（x1）=2（1x），3x（x1）+2（x1）=0（x1）（3x+2）=0， x1=0或3x+2=0，所以x1=1； x2=；（3）x25x+6=12，x25x6=0，（x6）（x+1）=0，所以x1=6； x2=1，
30、（4）解方程：2x22x5=0；x= 所以x1=； x2=【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）也考查了配方法和公式法解一元二次方程20如图，ABC中，已知BAC=45，ADBC于D，BD=2，DC=3，求AD的长小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：（1）分别以AB、AC为对称轴，画出ABD、ACD的轴
31、对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；（2）设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值【考点】翻折变换（折叠问题）【专题】综合题；压轴题【分析】（1）：先根据ABDABE，ACDACF，得出EAF=90；再根据对称的性质得到AE=AF，从而说明四边形AEGF是正方形；（2）利用勾股定理，建立关于x的方程模型（x2）2+（x3）2=52，求出AD=x=6【解答】（1）证明：由题意可得：ABDABE，ACDACFDAB=EAB，DAC=FAC，又BAC=45EAF=90又ADBC，E=ADB=90，F=ADC=90又AE=AD，AF=
32、AD，AE=AF四边形AEGF是正方形（2）解：设AD=x，则AE=EG=GF=x，BD=2，DC=3，BE=2，CF=3BG=x2，CG=x3在RtBGC中，BG2+CG2=BC2（x2）2+（x3）2=52，（x2）2+（x3）2=52，化简得，x25x6=0解得x1=6，x2=1（舍），所以AD=x=6【点评】本题考查图形的翻折变换和利用勾股定理，建立关于x的方程模型的解题思想要能灵活运用21为了备战初三物理、化学实验操作考试，某校对初三学生进行了模拟训练，物理、化学各有4各不同的操作实验题目，物理用番号、代表，化学用字母a、b、c、d表示，测试时每名学生每科只操作一个实验，实验的题目由
33、学生抽签确定，第一次抽签确定物理实验题目，第二次抽签确定化学实验题目（1）请用树形图法或列表法，表示某个同学抽签的各种可能情况（2）小张同学对物理的、和化学的b、c号实验准备得较好，他同时抽到两科都准备的较好的实验题目的概率是多少？【考点】列表法与树状图法【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后利用树状图即可求得所有等可能的结果；（2）由小张同时抽到两科都准备的较好的实验题目的有b，c，b，c共4种情况，利用概率公式即可求得答案【解答】解：（1）画树状图得：如图，可得某个同学抽签的所有等可能情况有16种；（2）小张同时抽到两科都准备的较好的实验题目的有b，c，b，c共4种情况，他同时抽到两科
34、都准备的较好的实验题目的概率是=【点评】此题考查了列表法与树状图法求概率的知识注意列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比22人民商场销售某种商品，统计发现：每件盈利45元时，平均每天可销售30件经调查发现，该商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件（1）假如现在库存量太大，部门经理想尽快减少库存，又想销售该商品日盈利达到1750元，请你帮忙思考，该降价多少？（2）假如部门经理想销售该商品的日盈利达到最大，请你帮忙思考，又该如何降价？【考点】一元二次方程的应用；配方法的应用【专题
35、】应用题【分析】（1）设每件应降价x元，则每件盈利（45x）元，每天可以售出30+2x，所以此时商场平均每天要盈利（45x）（30+2x）元，根据商场平均每天要盈利1750元，为等量关系列出方程求解即可（2）设商场平均每天盈利y元，由（1）可知商场平均每天盈利y元与每件应降价x元之间的函数关系为：y=（45x）（30+2x），用“配方法”求出该函数的最大值，并求出降价多少【解答】解：（1）设每件降价x元，则每天可以售出（30+2x）件根据题意得：（45x）（30+2x）=1750，解得x1=10，x2=20 因为要减少库存，所以x=20 答：降价20元可使销售利润达到1750元（2）设商场平均
36、每天盈利y元，则商场平均每天盈利y元与每件应降价x元之间的函数关系为：y=（45x）（30+2x）=2（x15）2+1800 当x=15时 日盈利达到最大，为1800元【点评】此题主要考查了一元二次方程与二次函数的应用，关键在于理解清楚题意找出等量关系列出方程求解，另外还用到的知识点有“根的判别式”和用“配方法”求函数的最大值23如图，在ABC中，ABC=90，D是边AC上的一点，连接BD，使A=21，E是BC上的一点，以BE为直径的O经过点D（1）求证：AC是O的切线；（2）若A=60，O的半径为2，求阴影部分的面积（结果保留根号和）【考点】切线的判定；扇形面积的计算【专题】几何综合题；压轴
37、题【分析】（1）由OD=OB得1=ODB，则根据三角形外角性质得DOC=1+ODB=21，而A=21，所以DOC=A，由于A+C=90，所以DOC+C=90，则可根据切线的判定定理得到AC是O的切线；（2）解：由A=60得到C=30，DOC=60，根据含30度的直角三角形三边的关系得CD=OD=2，然后利用阴影部分的面积=SCODS扇形DOE和扇形的面积公式求解【解答】（1）证明：连接OD，OD=OB，1=ODB，DOC=1+ODB=21，而A=21，DOC=A，A+C=90，DOC+C=90，ODDC，AC是O的切线；（2）解：A=60，C=30，DOC=60，在RtDOC中，OD=2，CD
38、=OD=2，阴影部分的面积=SCODS扇形DOE=22=2【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线也考查了扇形面积的计算24如图，直线y=3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x2）2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P（1）求a，k的值；（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长【考点】二次函数综合题【专题】几何综合题【分析】（1）先求出直线y=3x+3与x轴交点A，与y轴交点B的坐标，
39、再将A、B两点坐标代入y=a（x2）2+k，得到关于a，k的二元一次方程组，解方程组即可求解；（2）设Q点的坐标为（2，m），对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2于点E在RtAQF与RtBQE中，用勾股定理分别表示出AQ2=AF2+QF2=1+m2，BQ2=BE2+EQ2=4+（3m）2，由AQ=BQ，得到方程1+m2=4+（3m）2，解方程求出m=2，即可求得Q点的坐标；（3）当点N在对称轴上时，由NC与AC不垂直，得出AC为正方形的对角线，根据抛物线的对称性及正方形的性质，得到M点与顶点P（2，1）重合，N点为点P关于x轴的对称点，此时，MF=NF=AF=CF=1，且AC
40、MN，则四边形AMCN为正方形，在RtAFN中根据勾股定理即可求出正方形的边长【解答】解：（1）直线y=3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，A（1，0），B（0，3）又抛物线y=a（x2）2+k经过点A（1，0），B（0，3），解得，故a，k的值分别为1，1；（2）设Q点的坐标为（2，m），对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2于点E在RtAQF中，AQ2=AF2+QF2=1+m2，在RtBQE中，BQ2=BE2+EQ2=4+（3m）2，AQ=BQ，1+m2=4+（3m）2，m=2，Q点的坐标为（2，2）；（3）当点N在对称轴上时，NC与AC不垂直，所以AC应为正方形的对角线
41、又对称轴x=2是AC的中垂线，M点与顶点P（2，1）重合，N点为点P关于x轴的对称点，其坐标为（2，1）此时，MF=NF=AF=CF=1，且ACMN，四边形AMCN为正方形在RtAFN中，AN=，即正方形的边长为【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二元一次方程组的解法，等腰三角形的性质，勾股定理，二次函数的性质，正方形的判定与性质，综合性较强，难度适中25阅读理解：配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值对于任意正实数a、b，可作如下变形a+b=（）2=（）22=（）2+2，又（）20，（）2+20+2，即a+b2（1）根据上述内容，回答下列问题：在a+b2（a、
42、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b2，当且仅当a、b满足a=b时，a+b有最小值2（2）思考验证：如图1，ABC中，ACB=90，CDAB，垂足为D，CO为AB边上中线，AD=2a，DB=2b，试根据图形验证a+b2成立，并指出等号成立时的条件（3）探索应用：如图2，已知A为反比例函数y=的图象上一点，A点的横坐标为1，将一块三角板的直角顶点放在A处旋转，保持两直角边始终与x轴交于两点D、E，F（0，3）为y轴上一点，连结DF、EF，求四边形ADFE面积的最小值【考点】反比例函数综合题【分析】（1）根据题中的例子即可直接得出结论；（2）根据直角三角形的性质得出CO=a+b，CD=，再由
43、（1）中的结论即可得出等号成立时的条件；（3）过点A作AHx轴于点H，根据S四边形ADFE=SADE+SFDE可知当DH=EH时DE最小，由此可得出结论【解答】解：（1）a+b2，a、b均为正实数，当且仅当a、b满足a=b时，a+b有最小值故答案为：a=b；（2）ABC中，ACB=90，CDAB，CO为AB边上中线，AD=2a，DB=2b，OC=（AD+BD）=a+b，CD=2，OCCD，即a+b2，当点D与点O重合时等式成立；（3）如图所示，过点A作AHx轴于点H，S四边形ADFE=SADE+SFDE=DE|yA|+DEOF=DE（|yA|+OF），当DH=EH时DE最小，A点的横坐标为1，
44、AH=4，DE最小为8，S四边形ADFE=8（4+3）=28【点评】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到用配方法可求最大（小）值，在a+b2（a、b均为正实数）中，若ab为定值，则当且仅当a、b满足a=b时，a+b有最小值2是解答此题的关键26操作：小明准备制作一个制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的纸片进行如下设计：说明：方案一：图形中的圆过点A、B、C； 方案二：直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点 方案三中的每条边均过其中两个正方形的顶点纸片利用率=100%发现：（1）小明发现方案一中的点AB恰好为该圆一直径的两个端点你认为小明的这个发现是
45、否正确，请说明理由（2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率约为38.2%，你知道怎么算的吗？请你写出他的计算过程；（3）对于方案二纸片的利用率，小明认为关键的是要求出此直角三角形的两直角边的长，你是这样想的吗？请你选用合适的方法求出方案二纸片的利用率（结果精确到0.1%）探究：（4）小明感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三），请直接写出方案三的利用率：49.9%（结果精确到0.1%）【考点】圆的综合题【分析】（1）连接AC、BC、AB，据每个小正方形的边长为1，可以证得ACB=90，故问题可求（2）求得圆的半径后可以求得纸片的面积，从而利用展开图的面积除以总面积即可求得
46、利用率；（3）如图，作辅助线，利用三角形全等和三角形相似对应边成比例，可以分别求得直角三角形的两个直角边的长度，于是问题可求；（4）利用方案（3）的方法，分析求解即可求得答案【解答】解：（1）小明的这个发现正确理由：如图1：连接AC、BC、AB，AC=BC=，AB=；AC2+BC2=AB2，ACB=90，AB为该圆的直径解法二：如图2：连接AC、BC、AB易证AMCBNC，ACM=CBN又BCN+CBN=90，BCN+ACM=90，即ACB=90，AB为该圆的直径（2）由题意知：AB=2=2，圆的半径为，圆的面积为5，展开图的面积为6，利用率=100%=100%=38.2%；（3）如图3：建立
47、平面直角坐标系，可得E（2，3）、F（4，2）得直线解析式为y=x+4，A（0，4）B（8，0）AC=4 BC=8SACB=16该方案纸片利用率=100%=100%=37.5%（4）探究：过点C作CDEF于D，过点G作GHAC，交BC于点H，设AP=a，PQEK，易得APQKQE，CEF是等腰三角形，GHL是等腰三角形，AP：AQ=QK：EK=1：2，AQ=2a，PQ=a，EQ=5a，EC：ED=QE：QK，EC=a，则PG=5a+a=a，GL=a，GH=a，=，解得：GB=a，AB=a，AC=a，SABC=ABAC=a2，S展开图面积=65a2=30a2，该方案纸片利用率=100%=100%=49.86%49.9%【点评】此题考查了圆周角的性质，相似三角形与全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理等知识此题综合性很强，难度较大，解题时要注意数形结合思想的应用
