1、第8讲 函数与方程 1函数的零点(1)定义：对于函数yf(x)(xD)，把使_成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)0有实根函数yf(x)的图象与_有交点函数yf(x)有_ f(x)0 x轴零点(3)零点存在性定理：如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_，那么函数yf(x)在区间_内有零点，即存在x0(a，b)，使得_ 2二次函数yax2bxc(a0)的图象与零点的关系 f(a)f(b)0(a，b)f(x0)0b24ac 0 0 0 二次函数yax2bxc(a0)的图象 与x轴的交点 _，_ _ 无交点 零点个数 2
2、 1 0(x1，0)(x2，0)(x1，0)【知识拓展】有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号 题组一 常识题 1(教材改编)函数f(x)ln x2x6的零点的个数是_【解析】函数f(x)单调递增，且f(2)0，故存在唯一零点【答案】1 2(教材改编)如果函数f(x)ex14x4的零点在区间(n，n1)(n为整数)内，则n_【解析】函数f(x)单调递增，且f(0)0，故其零点在区间(0，1)内，则n0.【答案】0 3
3、(教材改编)函数f(x)x32x2x的零点是_【解析】由f(x)x32x2x0，解得x10，x21，所以函数的零点是0，1.【答案】0，1 4.(教材改编)若函数f(x)x24xa存在两个不同的零点，则实数a的取值范围是_【解析】164a0，解得a0时，f(x)0，当x0时，f(x)0即可，即1m0且8m0，解得8m1.【答案】(8，1 8若二次函数f(x)x2kxk在R上无零点，则实数k的取值范围是_【解析】k24k0，解得0k0(x0)，所以 f(x)在(0，)上单调递增，又 f(3)ln 3230，f(2)ln 210，所以 f(2)f(3)0，所以 f(x)唯一的零点在区间(2，3)内
4、故选 B.【答案】B【反思归纳】跟踪训练 1(2019河南十所名校三联)设函数 f(x)13xln x，则函数 yf(x)()A在区间1e，1，(1，e)内均有零点B在区间1e，1，(1，e)内均无零点C在区间1e，1 内有零点，在区间(1，e)内无零点D在区间1e，1 内无零点，在区间(1，e)内有零点【解析】法一：(1)当 x1e，e 时，函数图象是连续的，且f(x)131xx33x 0，所以函数 f(x)在1e，e 上单调递减又 f1e13eln1e0，f(1)130，f(e)13eln e0，所以函数有唯一的零点在区间(1，e)内故选 D.法二：令 f(x)0 得13xln x，作出函
5、数 y13x 和 yln x 的图象，显然 yf(x)在1e，1 内无零点，在(1，e)内有零点故选 D.【答案】D考点二 函数零点个数问题【例 2】(1)函数 f(x)|x2|ln x 在定义域内的零点的个数为()A0 B1C2 D3(2)函数 f(x)ln xx22x，x0，4x1，x0，的零点个数是_【解析】(1)由题意可知f(x)的定义域为(0，)在同一直角坐标系中画出函数y|x2|(x0)，yln x(x0)的图象，如图所示：由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.(2)当x0时，作函数yln x和yx22x的图象，由图知，当x0时，f(x)有2个零点；当x0时，由f(x)0得
6、x，综上，f(x)有3个零点【答案】(1)C(2)3【反思归纳】跟踪训练 2 函数 f(x)exx2，x0 x22x，x0的零点个数是()A0 B1C2 D3【解析】当x0时，令f(x)0，即x22x0，解得x2，或x0(舍去)所以当x0时，只有一个零点；当x0时，f(x)exx2，而f(x)ex1，显然f(x)0，所以f(x)在0，)上单调递增，又f(0)e00210，所以当x0时，函数f(x)有且只有一个零点综上，函数f(x)只有2个零点，故选C.【答案】C 跟踪训练 3(2018全国卷)函数 f(x)cos3x6在0，的零点个数为_【解析】由题意知，cos 3x6 0，所以 3x6 2
7、k，kZ，所以 x9 k3，kZ，当 k0 时，x9；当 k1 时，x49；当 k2 时，x79，均满足题意，所以函数 f(x)在0，的零点个数为 3.【答案】3考点三 函数零点的应用【例 3】(2018全国卷)已知函数 f(x)ex，x0ln x，x0，g(x)f(x)xa.若 g(x)存在 2 个零点，则 a 的取值范围是()A1，0)B0，)C1，)D1，)(2)(分离参数法)若函数f(x)4x2xa，x1，1有零点，则实数a的取值范围是_【解析】(1)函数g(x)f(x)xa存在2个零点，即关于x的方程f(x)xa有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线yxa有2个交点，作出直线y
8、xa与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，a1，解得a1，故选C.(2)因为函数 f(x)4x2xa，x1，1有零点，所以方程 4x2xa0 在1，1上有解，即方程 a4x2x 在1，1上有解 方程 a4x2x 可变形为 a2x12214，因为 x1，1，所以 2x12，2，所以2x1221414，2.所以实数 a 的取值范围是14，2.【答案】(1)C(2)14，2【反思归纳】跟踪训练 4(2019新乡模拟)若函数 f(x)log2(xa)与 g(x)x2(a1)x4(a5)存在相同的零点，则 a 的值为()A4 或52B4 或2C5 或2 D6 或52【解析】g(x)x2(a1)x4(
9、a5)(x4)x(a5)，令g(x)0，得x4或xa5，则f(4)log2(4a)0或f(a5)log2(2a5)0，解得a5或a2.【答案】C 跟踪训练 5(2019绵阳模拟)函数 f(x)2x2xa 的一个零点在区间(1，2)内，则实数 a 的取值范围是()A(1，3)B(1，2)C(0，3)D(0，2)【解析】由题意，知函数 f(x)在(1，2)上单调递增，又函数一个零点在区间(1，2)内，所以f（1）0，即a0，解得 0a0，x2x，x0，若函数 g(x)f(x)m 有三个零点，则实数 m 的取值范围是_【解析】令g(x)f(x)m0，得f(x)m，则函数g(x)f(x)m有三个零点等价于函数f(x)与ym的图象有三个不同的交点，作出函数f(x)的图象如图：当 x0 时，f(x)x2xx1221414，若函数 f(x)与 ym 的图象有三个不同的交点，则14m0，即实数 m 的取值范围是14，0.【答案】14，0课时作业
