1、6.4平面向量的应用6.4.1平面几何中的向量方法6.4.2向量在物理中的应用举例学 习 目 标核 心 素 养1.掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题(重点)2体会向量是处理几何问题、物理问题的重要工具(重点)3培养运用向量知识解决实际问题和物理问题的能力(难点)1.通过用向量方法解决几何问题的学习，提升数学运算和直观想象的核心素养2通过用向量方法解决物理问题的学习，提升数学想象、数学建模的核心素养.在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一桶水，两人手臂夹角越小越省力在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力问题：你能从数学的角度解释上述现象吗？1用向量方法解决平面几何问
2、题的“三步曲”(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题(3)把运算结果“翻译”成几何关系2向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等(2)向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解(3)动量mv是向量的数乘运算(4)功是力F与所产生的位移s的数量积1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)若，则直线AB与直线CD平行()(2)若ABC是直角三角形，则必有0.()(3)ABC中，若20，则ABC为等边三角形()(4)|.()答案(1)(2
3、)(3)(4)2已知平面内四边形ABCD和点O，若a，b，c，d，且acbd，则四边形ABCD为()A菱形B梯形C矩形D平行四边形D由条件知，则，即，四边形ABCD为平行四边形3已知在ABC中，a，b，且ab0，则ABC的形状为()A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D不能确定A由条件知BAC为钝角，所以ABC为钝角三角形4已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60，则力F所做的功W_J.300WFs6100cos 60300(J)向量在平面几何中的应用探究问题1用向量法如何证明平面几何中ABCD?提示法一：选择一组向量作基底；用基底表示和；证
4、明的值为0；给出几何结论ABCD法二：先求，的坐标，(x1，y1)，(x2，y2)，再计算的值为0，从而得到几何结论ABCD2用向量法如何证明平面几何中ABCD?提示法一：选择一组向量作基底；用基底表示和；寻找实数，使，即；给出几何结论ABCD法二：先求，的坐标，(x1，y1)，(x2，y2)利用向量共线的坐标关系x1y2x2y10得到，再给出几何结论ABCD以上两种方法，都是建立在A，B，C，D中任意三点都不共线的基础上，才有得到ABCD【例1】(1)已知非零向量与满足0且，则ABC的形状是()A三边均不相等的三角形B直角三角形C等腰三角形D等边三角形(2)已知四边形ABCD是边长为6的正方
5、形，E为AB的中点，点F在BC上，且BFFC21，AF与EC相交于点P，求四边形APCD的面积思路探究(1)先由平行四边形法则分析的几何意义，由数量积为0推出垂直关系，再由求BAC，最后判断ABC的形状(2)先建系设点P坐标，再根据A，P，F和C，P，E分别共线求点P坐标，最后求四边形APCD的面积(1)C由0，得A的平分线垂直于BC，所以ABAC，设，的夹角为，而cos ，又0，所以，BAC，故ABC为等腰三角形(2)解以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立直角坐标系，如图所示，A(0,0)，B(6,0)，C(6,6)，D(0,6)，F(6,4)，E(3,0)，设P(x，y)，(x，y)
6、，(6,4)，(x3，y)，(3,6)由点A，P，F和点C，P，E分别共线，得S四边形APCDS正方形ABCDSAEPSCEB363336.1将本例(1)的条件改为()(2)0，试判断ABC的形状解()(2)0，()()0，()0，()()0，220，即|2|20，|，ABC是等腰三角形2将本例(2)的条件“BFFC21”改为“BFFC11”，求证：AFDE.证明建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(6,0)，C(6,6)，D(0,6)，则中点E(3,0)，F(6,3)，(6,3)，(3，6)，633(6)0，AFDE.用向量法解决平面几何问题的两种方法(1)几何法：选取适当的基底
7、(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算向量在解析几何中的应用【例2】已知点A(1,0)，直线l：y2x6，点R是直线l上的一点，若2，求点P的轨迹方程思路探究解设P(x，y)，R(x0，y0)，则(1,0)(x0，y0)(1x0，y0)，(x，y)(1,0)(x1，y)由2，得又点R在直线l：y2x6上，y02x06，由得x032x，代入得62(32x)2y，整理得y2x，即为点P的轨迹方程用向量方法解决解析几何问题的步骤：一是把解析
8、几何问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原为解析几何问题.1已知ABC的三个顶点A(0，4)，B(4,0)，C(6,2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点(1)求直线DE的方程；(2)求AB边上的高线CH所在直线的方程解(1)设M(x，y)是直线DE上任意一点，则，因为点D，E分别为边BC，CA的中点，所以点D，E的坐标分别为D(1,1)，E(3，1)，(x1，y1)，(2，2)，所以(2)(x1)(2)(y1)0，即xy20为直线DE的方程(2)设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点，则，所以0，又(x6，y2)，(4,4)，所以4(x
9、6)4(y2)0，即xy40为所求直线CH的方程平面向量在物理中的应用探究问题1向量的数量积与功有什么联系？提示物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积2用向量方法解决物理问题的一般步骤是什么？提示用向量方法解决物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：问题转化，即把物理问题转化为数学问题；建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题中【例3】(1)一物体在力F1(3，4)，F2(2，5)，F3(3,1)的共同作用下从点A(1,1)移动到点B(0,5)在这个过程中三个力
10、的合力所做的功等于_(2)设作用于同一点的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，若|F1|1，|F2|2，且F1与F2的夹角为，如图所示求F3的大小；求F2与F3的夹角思路探究(1)(2)(1)40因为F1(3，4)，F2(2，5)，F3(3,1)，所以合力FF1F2F3(8，8)，(1,4)，则F188440，即三个力的合力所做的功为40.(2)解由题意|F3|F1F2|，因为|F1|1，|F2|2，且F1与F2的夹角为，所以|F3|F1F2|.设F2与F3的夹角为，因为F3(F1F2)，所以F3F2F1F2F2F2，所以2cos 124，所以cos ，所以.向量在物理中的应用(1)求力向量、
11、速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和的平行四边形法则求解.(2)用向量方法解决物理问题的步骤：把物理问题中的相关量用向量表示；转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决；结果还原为物理问题.2一条宽为km的河，水流速度为2 km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知ABkm，船在水中最大航速为4 km/h；问怎样安排航行速度，可使该船从A码头最快到达彼岸B码头？用时多少？解如图所示，设为水流速度，为航行速度，以AC和AD为邻边作ACED，当AE与AB重合时能最快到达彼岸根据题意知ACAE，在RtADE和ACED中，|2，|4，AED90，|2，20.5(h)，sin EAD，E
12、AD30.船实际航行速度大小为4 km/h，与水流成120角时能最快到达B码头，用时0.5小时方法必备1利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明2用向量解决物理问题一般按如下步骤进行：（1）转化：把物理问题转化为数学问题；（2）建模：建立以向量为主体的数学模型；（3）求解：求出数学模型的相关解；（4）回归：回到物理现象中，用已获取的数值去解释一些物理现象1过点M(2,3)，且垂直于向量u(2
13、,1)的直线方程为()A2xy70B2xy70Cx2y40Dx2y40A设P(x，y)是所求直线上任一点，则u.又(x2，y3)，所以2(x2)(y3)0，即2xy70.2已知作用在点A的三个力f1(3,4)，f2(2，5)，f3(3,1)，且A(1,1)，则合力ff1f2f3的终点坐标为()A(9,1)B(1,9)C(9,0)D(0,9)Aff1f2f3(3,4)(2，5)(3,1)(8,0)，设终点为B(x，y)，则(x1，y1)(8,0)，所以所以所以终点坐标为(9,1)3如果一架飞机先向东飞行200 km，再向南飞行300 km，设飞机飞行的路程为s km，位移为a，则()As|a|Bs|a|Cs|a|Ds与|a|不能比较大小A物理量中的路程是数量，位移是向量，从而s500，由位移的合成易得|a|500，故s|a|.4在ABC中，AB3，AC边上的中线BD，5，则AC的长为()A1B2 C3D4B因为，所以22，即21，所以|2，即AC2.5用两条成120角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N，则每根绳子的拉力大小为_N.10如图，由题意，得AOCCOB60，|10，则|10，即每根绳子的拉力大小为10 N
