1、江苏省无锡市太湖高级中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】对集合取并集即可.【详解】集合,.故选:B.【点睛】本题考查了集合的并集,属于基础题.2.函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由二次根式的含义可知,求解即可.【详解】由题意,解得.即函数的定义域为.故选:C.【点睛】本题考查函数的定义域,注意偶次方根被开方数大于等于0,属于基础题.3.若是偶函数，则的增区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】
2、由偶函数的性质,可知对任意,恒成立,即可求出的值,然后求出函数的增区间即可.【详解】函数是定义在的偶函数,恒成立,即,则,对任意恒成立,故.则,由二次函数的性质可知,的单调递增区间是.故选:B.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用,考查函数的单调性,属于基础题.4.函数是定义在上的奇函数，若时，则（ ）A. 3B. -1C. 1D. -3【答案】D【解析】【分析】由解析式,先求出,再由是奇函数,可得.【详解】由题意,函数是定义在上的奇函数,.故选:D.【点睛】本题考查求函数值,考查奇函数的性质,属于基础题.5.已知函数是幂函数，且在上为增函数，则实数的值是（ ）A. 2B. -1C. -1或2D.
3、 -2【答案】A【解析】【分析】由幂函数的概念,可得,求出的值,并验证是否在上为增函数即可.【详解】函数是幂函数,解得或.若,则,函数在上为增函数,符合题意;若,则,函数在上为减函数,不符合题意,舍去.故实数的值是2.故选:A.【点睛】本题考查幂函数概念的应用,考查函数单调性的应用,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.6.设，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】结合指数函数与对数函数的性质,判断三个数与0,1的大小关系,即可得出结论.【详解】由题意,即,即,即.故.故选:C.【点睛】本题考查比较几个数的大小关系,考查指数函数与对数函数的单调性的应用,考查学
4、生的推理能力,属于基础题.7.不等式的解集为A，集合，若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出集合,然后分和两种情况讨论集合,结合,可求出答案.【详解】,解得,故集合.若,显然不成立,即集合为空集,符合;若,则,解得.综上,的取值范围是.故选:D.【点睛】本题考查了不等式的解法,考查子集的性质,考查学生的计算求解能力,属于基础题.8.函数的图象必经过定点（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由对数函数恒过,令,可求得函数图象所过定点.【详解】令,得,则,即函数的图象必经过定点.故选:B.【点睛】本题考查函数图象恒过定点问题,考查对数函数
5、图象性质的应用,属于基础题.9.函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】结合复合函数的单调性,可知在上单调递增,且的最小值大于0,列出不等式,求解即可.【详解】令,函数在上单调递增,由复合函数的单调性可知,在上单调递增,且的最小值大于0.故,解得.故选:A.【点睛】本题考查复合函数的单调性的应用,考查二次函数与对数函数的性质,考查学生的计算能力与推理能力,属于中档题.10.已知函数是上的减函数，那么的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数的单调性,列出不等式,求解即可.【详解】由题意,函数是上的减函数,则,
6、解得.故选:D.【点睛】本题考查了函数的单调性,考查了分段函数的性质,属于基础题.11.设一元二次方程的两个实根为，则的最小值为（ ）A. B. C. 1D. 4【答案】C【解析】【分析】由一元二次方程有两个实根,可知且,可求出取值范围,然后结合韦达定理可得到的表达式,结合的取值范围可求出答案.【详解】一元二次方程有两个实根,解得且.又,则令,因为且,所以或,则,当时,取得最小值.故选:C.【点睛】本题考查了一元二次方程根判别式的应用,考查韦达定理的应用,考查学生的计算能力与推理能力,属于中档题.12.已知函数，若存在实数，当时，设，则取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】
7、【分析】根据题意,作出函数的图象,结合及的大小关系,可用来表示,求出范围即可.【详解】作出函数的图象,如下图,当时,的图象关于对称,当时,单调递减,.令,解得,令,解得.若存在实数,当时,则且,即,因为,所以,即.故选:A.【点睛】本题考查函数图象的应用,考查分段函数的性质,利用数形结合,观察图象的变化,得出变量的取值范围是解决本题的关键,属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知幂函数的图象过点，则_【答案】3【解析】【分析】先利用待定系数法代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求的值.【详解】设，由于图象过点,得，故答案为3.【点睛】本题考査幂函数的解析式，以及
8、根据解析式求函数值，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.14.设方程的解（其中），则_.【答案】1【解析】【分析】构造函数,求出的零点所在区间,可求出的值.【详解】令函数,显然函数是上的增函数,因为,且,所以函数的零点在区间上.故,.故答案为:1.【点睛】本题考查函数零点存在性定理的应用,考查学生的推理能力,属于基础题.15.设是上的偶函数，且满足，当时，则_.【答案】【解析】【分析】根据条件,可得是周期为4的函数,进而可得,再由可得,进而求出可得出答案.【详解】,故是周期为4的函数.则,因为,所以,当时,故.故答案为：【点睛】本题考查函数的周期性,考查学生的推理能力与计算能力,属于基
9、础题.16.已知函数，若方程有两个不同解，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】方程有两个不同的解可转化为,函数的图象与直线有两个交点,作出图形,可得出答案.【详解】由题意,可知函数的图象与直线有两个交点,作出函数的图象,如下图,当时,函数单调递减,值域为;当时,函数单调递减,值域为.由图象可知,当时,的图象与直线有两个交点.故答案为:.【点睛】本题考查函数图象的应用,将方程的解转化为函数图象的交点问题是解题的关键,考查了学生的推理能力,属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（1）化简：；（2）已知集合，若，求，的值.【答案】（1）2；（2），或，.【解析】【分析】（
10、1）结合指数幂及对数的运算律,化简计算即可;（2）由集合,可知或,分别讨论即可求出答案.【详解】（1）.（2）集合,则或,若,解得或,当时,显然不符合集合的互异性,舍去;当时,集合,符合题意.若,解得或,当时,不符合题意,舍去;当,时,符合题意.综上,或,.【点睛】本题考查指数式与对数式的化简计算,考查了相同集合的性质,考查学生的计算能力与推理能力,属于基础题.18.已知集合，.（1）求集合；（2）若，求实数的取值集合.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）求出集合,取交集即可;（2）由,分和两种情况分别讨论,可求出答案.【详解】（1）由题意,或.则.（2）,若,则,即,符合题意,若,则
11、,解得.综上,实数的取值范围是.故实数的取值集合是.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法,考查了集合的交集,考查了集合间的包含关系的应用,考查学生的计算求解能力,属于基础题.19.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品（百台），其总成本为（万元），其中固定成本为万元，并且每生产百台的生产成本为万元（总成本固定成本生产成本）销售收入（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数的解析式（利润销售收入总成本）；（2）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？【答案】（1）（2）当工厂生产百台时，可使赢
12、利最大为万元【解析】【分析】(1)先求出，再根据求解；（2）先求出分段函数每一段的最大值，再比较即得解.【详解】解：（1）由题意得， （2）当时，函数递减， （万元）当时，函数，当时，有最大值为（万元）所以当工厂生产百台时，可使赢利最大为万元【点睛】本题主要考查函数的解析式的求法，考查分段函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.（1）已知函数的定义域为，求实数的取值范围；（2）设，求函数的最大值与最小值.【答案】（1）；（2）最小值，最大值.【解析】【分析】（1）由函数的定义域为,可得恒成立,分和两种情况讨论即可;（2）令,可得,可化为,结合二次函数的单调性
13、,求最值即可.【详解】（1）因为函数的定义域为,恒成立.当时,显然成立.当时,应有且,解得.故的取值范围为.（2）令,则,函数可化为,对称轴为,所以函数在上单调递减,在上单调递增,.即有,时,函数取得最小值；当,时,函数取得最大值.【点睛】本题考查函数的定义域,考查不等式恒成立问题,考查指数函数与二次函数单调性的应用,考查学生的计算求解能力,属于基础题.21.已知函数，.（1）若方程的两个实根，满足，求的取值范围；（2）若函数在上的最小值为1，求a的值；（3）若存在，使得，求a的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由二次函数的性质,及两实根满足,可得,求解即可;（2）
14、令,由,可得,则函数在上的最小值为1,讨论的单调性,并求出最小值,即可求出a的值;（3）由存在,使得,可得函数在的最大值大于0,则或,求解即可.【详解】（1）因为的图象是开口向上的抛物线,且方程有两个实根,满足,所以,即,解得.（2）令,时,则函数在上的最小值为1,二次函数开口向上,对称轴为,若,即,在上单调递增,最小值为,解得,成立;若,即,在上单调递减,最小值为,显然无解,不成立;当,即,的最小值为，解得或,都不满足,舍去.综上,.（3）因为存在,使得,所以函数在的最大值大于0,根据二次函数的性质,在的最大值为或,故或,即或,解得.【点睛】本题考查了二次函数单调性与最值的应用,考查二次函数
15、的零点分布,考查了对数函数的单调性的应用,考查学生的逻辑推理能力与计算求解能力,属于中档题.22.已知函数.（1）判断函数的单调性并用定义法证明；（2）若对于任意的实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）设关于的函数有零点，求实数的取值范围.【答案】（1）是上增函数，证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）用定义法判断单调性即可,注意“作差”、“变形”、“定号”和“下结论”;（2）先判断函数的奇偶性,利用奇偶性可将不等式转化为,然后结合函数的单调性可得恒成立,结合二次函数的性质可求出实数的取值范围;（3）函数有零点,可得有解,结合函数的单调性和奇偶性可得方程有解,参变分离得,求出的取值范围即可.【详解】（1）由题意,且的定义域为,任取,且,则,且,故,所以函数是上的增函数.（2）由题意,又的定义域为,所以函数是上的奇函数.不等式可化为,即恒成立,函数是上的增函数,即对于任意的实数,恒成立,则,解得.（3）函数有零点,则有解,函数是上的奇函数,有解,函数是上的增函数,即有解,令,则,令,则在上单调递增,在上单调递减,故的最大值为,的值域为.所以,当时,方程有解,即函数有零点.【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用,考查函数零点的应用,考查方程有解问题,考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力,属于难题.
