1、第43讲 空间角与距离的求法第43讲 空间角与距离的求法知识梳理第43讲 知识梳理11相等或互补第43讲 知识梳理第43讲 知识梳理设n1，n2分别是二面角l的两个面、的法向量，则 cosn1，n2_.而n1，n2的大小或补角即为二面角的大小，如图432所示 2利用空间向量求空间距离 (1)空间两点A、B之间的距离，可利用公式_，转化为求向量的_第43讲 知识梳理第43讲 知识梳理 (4)线与面、面与面的距离都可以化为_的距离求解 (5)利用向量求两异面直线的距离如图434所示，l1、l2是两条异面直线，n是l1与l2的公垂线段AC的方向向量，B、D分别是l1、l2上的任意两点，则l1与l2的
2、距离是d_.第43讲 知识梳理点到平面要点探究 探究点1 异面直线所成的角第43讲 要点探究例1 一个正方体的展开图如图435所示，B，C，D为原正方体的顶点，A为原正方体一条棱的中点在原来的正方体中，求CD与AB所成角的余弦值第43讲 要点探究解答 把正方体的展开图还原为正方体，以B为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系设正方体的棱长为2，则C(2,2,2)，D(0,0,2)，A(0,1,2)，B(0,0,0)思路 本题把展开图还原为正方体后，可以利用直线的方向向量，把两异面直线的问题转化为两方向向量的夹角，通过向量的夹角公式求得结果由于题目所给的载体是正方体，容易建立空间直角坐标系第43讲
3、 要点探究第43讲 要点探究第43讲 要点探究2011扬州调研 如图436，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，P为A1B上的点，且PCAB.(1)求的值；(2)求异面直线PC与AC1所成角的余弦值第43讲 要点探究第43讲 要点探究 探究点2 直线和平面所成的角第43讲 要点探究例2 2010课标全国卷 如图437所示，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点 (1)证明：PEBC；(2)若APBADB60，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值第43讲 要点探究第43讲 要点探究第43讲 要点探究2010福州质检 已知几何
4、体EFGABCD如图438所示，其中四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长为1，点M在边DG上(1)求证：BMEF；(2)是否存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45，若存在，试求点M的位置；若不存在，请说明理由第43讲 要点探究第43讲 要点探究第43讲 要点探究 探究点3 二面角第43讲 要点探究第43讲 要点探究第43讲 要点探究第43讲 要点探究第43讲 要点探究2010福建质检 如图4310所示，l1、l2是两条互相垂直的异面直线，点P、C在直线l1上，点A、B在直线l2上，M、N分别是线段AB、AP的中点，且PCACa，PAa.(1)证明：PC平面ABC；(2
5、)设平面MNC与平面PBC所成的角为(090)现给出下列四个条件：CMAB；ABa；CMAB；BCAC.请你从中再选择两个条件以确定cos 的值，并求之.第43讲 要点探究第43讲 要点探究第43讲 要点探究例4 把长、宽分别为2、2的长方形ABCD沿对角线AC折成60的二面角，求顶点B和D的距离 探究点4 两点间的距离第43讲 要点探究第43讲 要点探究第43讲 要点探究第43讲 要点探究第43讲 规律总结规律总结 1用空间向量解决立体几何问题的思路与步骤 (1)用空间向量解决立体几何问题，有两种基本思路：一种是利用空间向量表示几何量，利用向量的运算进行判断，此种方法不需要建立坐标系；另一种
6、是用空间向量的坐标表示几何量，利用向量的坐标运算进行判断，此种方法需要建立坐标系(2)用空间向量解决立体几何问题的一般步骤是：建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第43讲 规律总结通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题把向量运算的结果“翻译”成相应的几何意义，即回归到图形问题 2求空间角(异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角)一直是高考的热点，空间中的各类角都可以转化为向量之间的角；而用向量法求解时，只需利用公式，通过简单的向量运算即可解决求解时，应注意下面几点：第43讲 规律总结
7、(1)设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则 (2)在求直线和平面所成的角时，误认为直线的方向向量和平面的法向量的夹角就是直线和平面所成的角，当是钝角，90；当是锐角时，90.第43讲 规律总结(3)要注意二面角与它的两个面的法向量所成的角的关系：设n1，n2分别是二面角l的两个面、的法向量，若n1，n2与、的关系如图4313(1)(2)所示，则二面角的平面角与两个法向量的夹角互补;第43讲 规律总结若n1，n2与、的关系如图4313(3)(4)所示，则二面角的平面角与两个法向量的夹角相等 3空间中点到平面的距离的计算是立体几何中的一个难点，也是高考中的命题热点，求点到平面的距离，用向量法求解一般有以下方法：(1)求出点在平面内的射影的坐标，转化为两点的距离问题；(2)求出平面的法向量，通过向量在单位法向量上的射影的长度求解
