1、第2讲 函数的单调性与最值1函数的单调性(1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有_，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1x2时，都有_，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)图 象 描 述 自左向右看图象是_自左向右看图象是_上升的下降的(2)单调区间的定义 如果函数yf(x)在区间D上是_或_，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，_叫做yf(x)的单调区间 增函数减函数区间D2函数的最值 前提 设函数yf(
2、x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件(1)对于任意的xI，都有_；(2)存在x0I，使得_(3)对于任意的xI，都有_；(4)存在x0I，使得_ 结论 M为函数yf(x)的最大值 M为函数yf(x)的最小值 f(x)Mf(x0)M f(x)Mf(x0)M题组一 常识题 1(教材改编)函数f(x)(2a1)x3是R上的减函数，则a的取值范围是_【解析】当 2a10，即 a12时，f(x)是 R 上的减函数【答案】a122(教材改编)函数f(x)(x2)25(x3，3)的单调递增区间是_；单调递减区间是_【解析】由函数f(x)(x2)25(x3，3)的图象即可得到单调区间【答案】(2，3 3
3、，2【答案】323(教材改编)函数 f(x)3x1(x2，5)的最大值与最小值之和等于_【解析】函数 f(x)3x1在2，5上是减函数，所以最大值为 f(2)1，最小值为 f(5)12.所以最大值与最小值之和为 11232.4函数f(x)|xa|1在2，)上是增函数，则实数a的取值范围是_【解析】因为函数f(x)|xa|1的单调递增区间是a，)，当f(x)在2，)上单调递增时，满足2，)a，)，所以a2.【答案】a2 题组二 常错题 索引：求单调区间忘记定义域导致出错；对于分段函数，一般不能整体单调，只能分段单调；利用单调性解不等式忘记在单调区间内求解；混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概
4、念 5 函 数 f(x)ln(4 3x x2)的 单 调 递 减 区 间 是_【解析】函数 f(x)的定义域是(1，4)，u(x)x23x4x322254，x(1，4)的单调递减区间为32，4，函数 f(x)的单调递减区间为32，4.【答案】32，46已知函数 f(x)（a2）x，x2，12x1，x2，满足对任意的实数x1x2，都有f（x1）f（x2）x1x20 成立，则实数 a 的取值范围为_【解析】由题意知函数 f(x)是 R 上的减函数，于是有a20，（a2）21221，由此解得 a138，即实数 a 的取值范围是，138.【答案】，138【答案】1，1)7函数 yf(x)是定义在2，2
5、上的减函数，且 f(a1)0)的单调性【解析】函数的定义域为x|x0任取 x1，x2x|x0，且 x1x2，则 f(x1)f(x2)x1ax1x2ax2（x1x2）（x1x2a）x1x2(x1x2)1 ax1x2.令 x1x2x0，1ax200 可得到 x0 a，这样就把 f(x)的定义域分为(，a，a，0)，(0，a，a，)四个区间，下面讨论它的单调性 若 0 x1x2 a，则 x1x20，0 x1x2a，所 以 x1x2 a0，即 f(x1)f(x2)，所以 f(x)在(0，a上单调递减 同理可得，f(x)在 a，)上单调递增，在(，a上单调递增，在 a，0)上单调递减 故函数 f(x)在
6、(，a和 a，)上单调递增，在 a，0)和(0，a上单调递减 考点二 确定函数的单调区间【例 2】求下列函数的单调区间：(1)yx22|x|1.(2)ylog12(x23x2)【解析】(1)由于 yx22x1，x0，x22x1，x0.即 y（x1）22，x0，（x1）22，x0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(，1和0，1，单调递减区间为1，0和1，)(2)令 ux23x2，则原函数可以看作 ylog12u 与 ux23x2 的复合函数 令 ux23x20，则 x1 或 x2.函数 ylog12(x23x2)的定义域为(，1)(2，)又 ux23x2 的对称轴 x32，且开口向上 ux2
7、3x2 在(，1)上是单调减函数，在(2，)上是单调增函数 而 ylog12u 在(0，)上是单调减函数，ylog12(x23x2)的单调递减区间为(2，)，单调递增区间为(，1)【反思归纳】跟踪训练 2(2019福州模拟)函数 ylog12(2x23x1)的递减区间为()A(1，)B.，34C.12，D.34，【解析】由 2x23x10，得函数的定义域为，12(1，)令 t2x23x1，则 ylog12t，t2x23x12x34218，t2x23x1 的单调增区间为(1，)又 ylog12t 在(1，)上是减函数，函数 ylog12(2x23x1)的单调减区间为(1，)【答案】A考点三 函数
8、单调性的应用 角度1 求函数的值域或最值【例3】(2019合肥模拟)已知函数f(x)(x22x)sin(x1)x1在1，3上的最大值为M，最小值为m，则Mm()A4 B2 C1D0【解析】设tx1，则f(x)(x22x)sin(x1)x1(t21)sin tt2，t2，2记g(t)(t21)sin tt2，则函数yg(t)2(t21)sin tt是奇函数由已知得yg(t)2的最大值为M2，最小值为m2，所以M2(m2)0，即Mm4.故选A.【答案】A 角度 2 比较函数值或自变量的大小【例 4】已知 ab0，则下列命题成立的是()Asin asin bBlog2alog2bCa12b12D.1
9、2a12b【解析】函数 ysin x 在(0，)上不是单调函数，所以不能判断出 sin a 与 sin b 的大小；函数 ylog2x 在(0，)上单调递增，结合 ab0 可得 log2alog2b；函数 yx12在(0，)上单调递增，结合 ab0 可得 a12b12；函数 y12x是单调递减函数，所以12a12b.故选 D.【答案】D角度 3 求解函数不等式【例 5】已知函数 f(x)x22x，x0，2xx2，x0，函数 g(x)|f(x)|1.若 g(2a2)g(a)，则实数 a 的取值范围是()A(2，1)B(，2)(2，)C(2，2)D(，2)(1，1)(2，)【解析】由题意可知，f(
10、x)为单调递增的奇函数，则g(x)为偶函数且在0，)上单调递增因为g(2a2)g(a)，所以|2a2|a|，即(2a2)2a2，解得a2或1a1或a2，即实数a的取值范围是(，2)(1，1)(2，)故选D.【答案】D 角度 4 利用单调性求参数的取值范围【例 6】已知函数 f(x)ax，x0，（a3）x4a，x0满足对任意x1x2，都有f（x1）f（x2）x1x20 成立，则实数 a 的取值范围是()A.0，14B(1，2C(1，3)D.12，1【解析】由f（x1）f（x2）x1x20，得 f(x)在定义域上是减函数，所以0a1，a30，4a1，解得 0a14，所以 a0，14.故选 A.【答案】A【反思归纳】课时作业
