1、第 2 课时 定点、定值、探索性问题 考点一 定点问题【例 1】(2019洛阳模拟)设 M 是焦距为 2 的椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)上一点，A，B 是椭圆 E 的左、右顶点，直线 MA 与MB 的斜率分别为 k1，k2，且 k1k212.(1)求椭圆 E 的方程(2)已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)上点 N(x0，y0)处切线方程为x0 xa2 y0yb2 1.若 P 是直线 x2 上任意一点，从 P 向椭圆 E 作切线，切点分别为 C，D，求证直线 CD 恒过定点，并求出该定点坐标【解析】(1)由题意，2c2，c1，A(a，0)，B(a，0)，设 M(x，y)，k1k
2、212，yxa yxa12，即y2x2a212.M(x，y)在椭圆 E 上，x2a2y2b21，b21x2a2x2a2 12，b2a212，a22b2.又 a2b2c21，a22，b21.椭圆 E 的方程为x22y21.(2)设切点坐标为 C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(2，t)则切线方程分别为x1x2 y1y1，x2x2 y2y1.两切线均过点 P，2x12 ty11，2x22 ty21，即x1ty11，x2ty21，直线CD的方程为xty1.对于任意实数t，点(1，0)都适合这个方程，即直线CD恒过定点(1，0)【反思归纳】跟踪训练 1(2019合肥调研)设 O 为坐标原点，动点
3、M 在椭圆 C：x22y21 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足NP 2 NM.(1)求点 P 的轨迹方程(2)设点 Q 在直线 x3 上，且OP PQ 1.证明：过点 P且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.【解析】(1)设 P(x，y)，M(x0，y0)，设 N(x0，0)，NP(xx0，y)，NM(0，y0)由NP 2 NM 得 x0 x，y0 22 y.因为 M(x0，y0)在 C 上，所以x22y221.因此点 P 的轨迹方程为 x2y22.(2)证明：由题意知 F(1，0)设 Q(3，t)，P(m，n)，则 OQ(3，t)，PF(1m，n)，OQ P
4、F33mtn，OP(m，n)，PQ(3m，tn)由OP PQ 1 得3mm2tnn21，又由(1)知 m2n22，故 33mtn0.所以OQ PF0，即OQ PF.又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.考点二 定值问题【例 2】(2019济南模拟)如图，已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 22，且过点(2，2)，四边形 ABCD 的顶点在椭圆 E上，且对角线 AC，BD 过原点 O，kACkBDb2a2.(1)求OA OB 的取值范围(2)求证：四边形 ABCD 的面积为定值【解析】(1)由题意知ca 22，4a
5、2 2b21，a2b2c2，得a28，b24，椭圆的标准方程为x28y241.当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)由ykxmx22y28(12k2)x24kmx2m280.x1x24km12k2，x1x22m2812k2.y1y2(kx1m)(kx2m)k22m2812k2km4km12k2m2m28k212k2.kOAkOBb2a2y1x1y2x212，m28k212k2 122m2812k2m24k22.OA OB x1x2y1y22m2812k2m28k212k2 4k222k21 242k21，2OA OB b0)的离心率为3
6、5，过左焦点 F 且垂直于长轴的弦长为325.(1)求椭圆 C 的标准方程(2)点 P(m，0)为椭圆 C 的长轴上的一个动点，过点 P 且斜率为45的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，证明：|PA|2|PB|2 为定值【解析】(1)由题意可得方程组e21b2a2 925，2b2a 325，解得a5，b4.故椭圆 C 的标准方程为x225y2161.(2)证明：设 l 的方程为 x54ym，代入x225y2161，并整理得 25y220my8(m225)0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y245m，y1y28（m225）25.又|PA|2(x1m)2y214116y21
7、，同理，|PB|24116y22，|PA|2|PB|2 4116(y 21 y 22)4116(y1 y2)2 2y1y2 41164m5216（m225）2541.|PA|2|PB|2 为定值 考点三 探索性问题【例 3】(2019珠海质检)如图，椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的离心率是 22，过点 P(0，1)的动直线 l 与椭圆相交于 A，B 两点，当直线 l 平行于 x 轴时，直线 l 被椭圆 E 截得的线段长为 2 2.(1)求椭圆 E 的方程(2)设 O 为坐标原点，过点 P 的动直线与椭圆交于 A，B 两点是否存在常数，使得OA OB PAPB为定值？若存在，求 的值；若
8、不存在，请说明理由【解析】(1)由已知，点(2，1)在椭圆 E 上，因此 2a2 1b21，a2b2c2，ca 22.解得 a2，b 2.所以椭圆 E 的方程为x24y221.(2)当直线 AB的斜率存在时，设直线AB的方程为 ykx1，点 A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)联立x24y221，ykx1.得(2k21)x24kx20.判别式(4k)28(2k21)0 所以，x1x24k2k21，x1x222k21.从而，OA OB PAPB x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)1（24）k2（21）2k2112k212.所以，当 1
9、 时，12k2123.此时，OA OB PAPB3 为定值 当直线 AB 的斜率不存在时，直线 AB 即为直线 CD.此时，OA OB PAPBOC OD PCPD 213.故存在常数 1，使得OA OB PAPB为定值3.【反思归纳】跟踪训练 3 已知椭圆 C：9x2y2m2(m0)，直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M.(1)证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值(2)若 l 过点m3，m，延长线段 OM 与 C 交于点 P，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时 l 的斜率；若不能，说明理由【解析】(1)证
10、明：设直线 l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将 ykxb 代入 9x2y2m2，得(k29)x22kbxb2m20，故 xMx1x22 kbk29，yMkxMb 9bk29.于是直线 OM 的斜率 kOMyMxM9k，即 kOMk9.所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值(2)四边形 OAPB 能为平行四边形 因为直线 l 过点m3，m，所以 l 不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是 k0，k3.由(1)得 OM 的方程为 y9kx.设点 P 的横坐标为 xP.由y9kx，9x2y2m2得 x2P k2m29k281，即 xP km3 k29.将点m3，m 的坐标代入 l 的方程得 bm（3k）3，因此 xMk（k3）m3（k29）.四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分，即 xP2xM.于是 km3 k292k（k3）m3（k29），解得 k14 7，k24 7.因为 ki0，ki3，i1，2，所以当 l 的斜率为 4 7或 4 7时，四边形 OAPB 为平行四边形课时作业
