1、第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 第1课时 两角和与差的正弦、余弦公式 学 习 目 标1.掌握用两角差的余弦公式推导两角和的余弦公式和两角差与和的正弦公式(重点)2.会利用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数求值、化简和证明(重点)3.熟练两角和与差的正弦、余弦公式地灵活运用，了解公式的正用、逆用和变用等常用方法(难点、易混点)核 心 素 养 1.借助用两角差的余弦公式推导两角和的余弦公式以及两角和与差的正弦公式，培养学生的逻辑推理素养.2.通过用两角和与差的正弦、余弦公式进行化简、求值，提升学生的数学运算和数
2、据分析素养.自 主 预 习 探 新 知 1两角和与差的余弦公式名称简记符号公式使用条件 两角差的余弦公式C()cos()_，R两角和的余弦公式C()cos()_，Rcos cos sin sin cos cos sin sin 2.两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件 两角和的正弦公式S()sin()_，R两角差的正弦公式S()sin()_，R sin cos cos sin sin cos cos sin 思考：sin()sin sin 成立吗？你能举出一例吗？提示 不一定成立，如sin36 sin3sin6.3两角和余弦公式的推导由，cos().()cos()cos cos()si
3、n sin()cos cossin sin 1sin 20cos 10cos 160sin 10()A 32 B.32 C12 D.12D 原式sin 20cos 10cos 20sin 10sin(2010)sin 3012.2cos 57cos 3sin 57sin 3的值为()A0 B.12 C.32 Dcos 54B 原式cos(573)cos 6012.3若cos 35，是第三象限的角，则sin4.210 cos 35，是第三象限的角，sin 1cos245，sin4 22 sin 22 cos 22 45 22 35 210.4.12cos 15 32 sin 15.22 原式si
4、n 30cos 15cos 30sin 15sin 45 22.合 作 探 究 释 疑 难 给角求值问题【例1】(1)cos 70sin 50cos 200sin 40的值为()A 32 B12 C.12 D.32(2)若是第二象限角且sin 513，则cos(60).(3)求值：(tan 10 3)cos 10sin 50.(1)D(2)125 326(1)cos 200cos(18020)cos 20sin 70，sin 40cos 50，原式cos 70sin 50(sin 70)cos 50 sin(5070)sin 120 32.(2)是第二象限角且sin 513，cos 1sin2
5、1213，cos(60)12cos 32 sin 121213 32 513 125 326.(3)解 原式(tan 10tan 60)cos 10sin 50 sin 10cos 10sin 60cos 60cos 10sin 50 sin50cos 10cos 60cos 10sin 50 2.解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式 提醒：在逆用两
6、角和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求跟进训练1化简求值：(1)sin 50sin 20cos 30cos 20；(2)sin(75)cos(45)3cos(15)解(1)原式sin2030sin 20cos 30cos 20 sin 20cos 30cos 20sin 30sin 20cos 30cos 20 cos 20sin 30cos 20sin 3012.(2)设15，则原式sin(60)cos(30)3cos 12sin 32 cos 32 cos 12sin 3cos 0.给值求值问题【例2】(1)已知sin 35，cos 513，且为
7、第一象限角，为第二象限角，求sin()和sin()的值；(2)求值：3sin 12cos 12；(3)已知234，cos()1213，sin()35，求cos 2与cos 2的值思路点拨：(1)采用直接法：先求cos，sin 再求sin，sin(2)采用常值代换：转化逆用公式(3)采用角的代换 确定，范围求sin，cos值构造2，2求cos 2，cos 2值 解(1)为第一象限角且sin 35，cos 45.又为第二象限角且cos 513，sin 1213，sin()sin cos cos sin 35 513 4512133365.sin()sin cos cos sin 35 513 45
8、12136365.(2)3sin 12cos 12 232 sin 1212cos 12 2sin 12cos6cos 12sin6 2sin126 2sin4 2.(3)234，04，32.又cos()1213，sin()35，sin()1cos2 112132 513，cos()1sin2 135245.cos 2cos()()cos()cos()sin()sin()45121335 5133365，cos 2cos()()cos()cos()sin()sin()45121335 5136365.给值求值的方法 1直接法：当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形
9、式.2常值代换：用某些三角函数代替某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其中特别要注意的是“1”的代换，如1sin2cos2，1tan 45，1sin 90等.1，等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数使用.3角的代换：将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式，像这样的代换方法就是角的代换.,常见的有：，跟进训练2若sin34 513，cos4 35，且0434，求sin()的值解 0434，34 34，240，又sin34 513，cos4 35，cos34 1213，sin4 45.sin()cos2 cos34 4 cos34 cos4
10、sin34 sin4 1213 35 51345 5665.给值求角【例3】已知cos 17，sin()5 314，0 2，02，求角的值思路点拨：确定范围求sin，cos 由，求sin 确定值解 因为02，cos 17，所以sin 4 37.又因为02，所以0.因为sin()5 314 sin，所以2，所以cos()1114，所以sin sin()sin()cos cos()sin 5 314 171114 4 37 32.又因为02，所以3.求解给值求角的关键两点 1求出所求角的某种三角函数值；2确定角的范围.一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图象，便可求解.提醒：确定所求角的哪种三
11、角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定.跟进训练3已知cos 55，sin()1010，且，0，2.求：(1)cos(2)的值；(2)的值解(1)因为，0，2，所以2，2，又sin()1010 0，所以02，所以sin 1cos22 55，cos()1sin23 1010，cos(2)cos()cos cos()sin sin()55 3 1010 2 55 1010 210.(2)cos cos()cos cos()sin sin()55 3 1010 2 55 1010 22，又因为0，2，所以4.辅助角公式的应用 探究问题1能否将函数ysin xcos x(xR)化为yAsin(
12、x)的形式|0，2？提示：能ysin xcos x 2sinx4.2如何推导asin xbcos x a2b2sin(x)tan ba 公式？提示：asin xbcos x a2b2aa2b2sin xba2b2cos x，令cos aa2b2，sin ba2b2，则 asin xbcos x a2b2(sin xcos cos xsin)a2b2 sin(x)(其中角所在象限由a，b的符号确定，角的值由tan ba确定，或由sin ba2b2和cos aa2b2共同确定)【例4】(1)sin 12 3cos 12.(2)已知a(3，1)，b(sin x，cos x)，xR，f(x)ab，求函
13、数f(x)的周期，值域，单调递增区间思路点拨：解答此类问题的关键是巧妙构建公式C()、C()、S()、S()的右侧，逆用公式化成一个角的一种三角函数值(1)2 原式212sin 12 32 cos 12.法一：(化正弦)原式 2cos3sin 12sin3cos 12 2sin 12cos3cos 12sin3 2sin123 2sin4 2.法二：(化余弦)原式 2sin6sin 12cos6cos 12 2cos6cos 12sin6sin 12 2cos6 12 2cos4 2.(2)解 f(x)3sin xcos x 2sin x 32 cos x12 2sin xcos6cos xs
14、in6 2sinx6，T2 2，值域2,2 由22kx622k，得递增区间32k，23 2k，kZ.1若将本例(2)中a(3，1)改为a(1，3)，其他条件不变，如何解答？解 f(x)sin x 3cos x232 cos x12sin x 2cosx6，T2，值域为2,2，由2kx62k，得递增区间 76 2k，62k，kZ.2若将本例(2)中a(3，1)改为a(m，m)其中m0，其他条件不变，应如何解答？解 f(x)msin xmcos x 2msinx4，T2，值域为 2m，2m，由22kx422k，得递增区间 34 2k，42k，kZ.辅助角公式及其运用 1公式形式：公式asin bc
15、os sin或asin bcos cos将形如asin bcos a，b不同时为零的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式.2形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角的系数为正，这样更有利于研究函数的性质.提醒：在使用辅助角公式时常因把辅助角求错而致误.课 堂 小 结 提 素 养 1公式的推导和记忆(1)理顺公式间的逻辑关系C()以代换 C()诱导公式 S()以代换 S()(2)注意公式的结构特征和符号规律对于公式C()，C()可记为“同名相乘，符号反”；对于公式S()，S()可记为“异名相乘，符号同”(3)符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式C()，C()，S(
16、)，且公式sin()sin cos cos sin，角，的“地位”不同也要特别注意2应用公式需注意的三点(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式(3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如1sin2cos2，1sin 90，12cos 60，32 sin 60等，再如：0，12，22，32 等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数1下列说法不正确的是()A存在角，使得co
17、s()cos cos sin sin B任意角，都有sin()sin cos cos sin C存在角，使sin()sin cos cos sin D存在角，使sin()sin cos cos sin C A对，当2k时，cos 1，sin 0，等式成立；B对，这是恒等式，对任意，均成立；C错，sin()sin cos cos sin 恒成立；D对，2k时，等式成立2化简 2cos x 6sin x等于()A2 2sin6x B2 2cos6xC2 2sin3xD2 2cos3xD 2cos x 6sin x2 212cos x 32 sin x 2 2cos3cos xsin3sin x 2 2cos3x.3cos cos()sin sin().cos cos cos()sin sin()cos()cos.4已知，均为锐角，sin 55，cos 1010，求.解，均为锐角，sin 55，cos 1010，sin 3 1010，cos 2 55.sin sin，20，sin()sin cos cos sin 55 1010 2 55 3 1010 22，4.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
