1、1.3空间向量及其运算的坐标表示1.3.1空间直角坐标系学 习 目 标核 心 素 养1.了解空间直角坐标系的建立过程2掌握空间直角坐标系中点的坐标的确定(重点)3掌握空间向量的坐标表示(重点、难点)1.通过建立空间直角坐标系，确定点的坐标，提升学生直观想象的核心素养2通过空间向量的坐标表示，培养学生直观想象和数学建模的核心素养.(1)数轴Ox上的点M，用代数的方法怎样表示呢？数轴Ox上的点M，可用与它对应的实数x表示；(2)直角坐标平面上的点M，怎样表示呢？直角坐标平面上的点M，可用一对有序实数(x，y)表示(3)如果我们也能建立一个空间直角坐标系，又该怎样表示空间的点呢？1空间直角坐标系空间
2、直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底i，j，k，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系坐标轴x轴、y轴、z轴坐标原点点O坐标向量i，j，k坐标平面Oxy平面、Oyz平面和Oxz平面右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向，如果中指指向z轴正方向，则称坐标系为右手直角坐标系2.空间向量的坐标表示空间直角坐标系中A点坐标在空间直角坐标系中，i，j，k为坐标向量，对空间任一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z
3、)，使xiyjzk，则(x，y，z)叫做点A在空间直角坐标系中的坐标记作A(x，y，z)，其中x叫点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标在空间直角坐标系中，给定向量a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使axiyjzk，则(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系中的坐标，简记作a(x，y，z)1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)空间直角坐标系中x轴上点的横坐标x0，竖坐标z0.()(2)空间直角坐标系中xOz平面上点的坐标满足z0.()(3)关于坐标平面yOz对称的点的坐标其纵、竖坐标不变，横坐标相反()提示(1)(2)(3)2已知i，j，k是空间直角
4、坐标系Oxyz的坐标向量，并且ijk，则B点的坐标为()A(1,1，1)B(i，j，k)C(1，1，1) D不确定D向量确定时，终点坐标随着起点坐标的变化而变化，本题中起点没固定，所以终点的坐标也不确定3已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，若以，为基底，则_，的坐标是_ (1,1,1)若以，为基底，的坐标为(1,1,1)求空间点的坐标【例1】如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，|AB|4，|AD|3，|AA1|5，N为棱CC1的中点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标；(2)求点N的坐标
5、思路探究将各个点在坐标上的射影求出，即可写出空间各点的坐标解(1)显然D(0,0,0)，因为点A在x轴的正半轴上，且|AD|3，所以A(3,0,0)同理，可得C(0,4,0)，D1(0,0,5)因为点B在坐标平面xOy内，BCCD，BAAD，所以B(3,4,0)同理，可得A1(3,0,5)，C1(0,4,5)，与B的坐标相比，点B1的坐标中只有竖坐标不同，|BB1|AA1|5，则B1(3,4,5)(2)由(1)知C(0,4,0)，C1(0,4,5)，则C1C的中点N为，即N.坐标轴上或坐标平面上点的坐标的特点x轴上(x,0,0)xOy平面上(x，y,0)y轴上(0，y,0)yOz平面上(0，y
6、，z)z轴上(0,0，z)xOz平面上(x,0，z)坐标原点(0,0,0)跟进训练1在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则E，F的坐标分别为_答案E，F求对称点的坐标【例2】在空间直角坐标系中，点P(2,1,4)(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点M(2，1，4)的对称点的坐标思路探究求对称点的坐标，可以过该点向对称平面或对称轴作垂线并延长，使得垂足为所作线段的中点，再根据有关性质即可写出对称点坐标解(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z
7、轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(2，1，4)(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(2,1，4)(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点由中点坐标公式，可得x22(2)6，y2(1)13，z2(4)412，所以P3(6，3，12)1求对称点的坐标可按以下规律写出：“关于谁对称谁不变，其余的符号均相反”在空间直角坐标系中，任一点P(a，b，c)的几种特殊的对称点的坐标如下：对称轴或对称中心对称点坐标P(a，b，c)x轴(a，b，c)y轴(a，b，c)z轴(a，b，c)xOy平面(a，b，c)yO
8、z平面(a，b，c)xOz平面(a，b，c)坐标原点(a，b，c)2.在空间直角坐标系中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点坐标为.跟进训练2点P(3,2，1)关于平面xOz的对称点是_，关于z轴的对称点是_，关于M(1,2,1)的对称点是_(3，2，1)(3，2，1)(5,2,3)点P(3,2，1)关于平面xOz的对称点是(3，2，1)，关于z轴的对称点是(3，2，1)设点P(3,2，1)关于M(1,2,1)的对称点为(x，y，z)则解得故点P(3,2，1)关于点M(1,2,1)的对称点为(5,2,3)空间向量的坐标表示探究问题1在正三棱柱ABCA1B1C1中
9、，已知ABC的边长为1，三棱柱的高为2，如何建立适当的空间直角坐标系？提示分别取BC，B1C1的中点D，D1，以D为原点，分别以，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示2若(a，b，c)，则的坐标是多少？提示(a，b，c)【例3】如图，在直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，CACB1，BCA90，棱AA12，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，的坐标思路探究以点C为原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，然后，把BN，分别用，表示出来，再写出它们的坐标解法一：由题意知CC1AC，CC1BC，ACBC，以点C为原点，
10、分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Cxyz，如图所示，的坐标为(1，1,1)，而，的坐标为(1，1,2)又，的坐标为(1,1，2)法二：建系同法一，则B(0,1,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,2)，N(1,0,1)，(1，1,1)，(1，1,2)，(1,1，2)变条件本例中，若把条件“AA12”改为“AA11”，结果怎样？解建系方式与例题相同，建系，因为，为单位正交基底，.又，(1，1,1)所以(1,1，1)用坐标表示空间向量的步骤跟进训练3.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱BB1，DC的中点，如图所示建立空间直角坐标
11、系(1)写出各顶点的坐标； (2)写出向量，的坐标解(1)由题图知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(0，0,0)，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)，(2)因为E，F分别为棱BB1，DC的中点，由中点坐标公式，得E(2,2,1)，F(0,1,0)所以(2，1，1)，(2，1，2)，(0,2，1)1在空间直角坐标系中，确定点的坐标或求对称点坐标时，要记住规律：“在谁的轴上，谁属于R，其它为零；在谁的平面上，谁属于R，其它为零”“关于谁对称谁不变，其余变成相反数”2空间几何体中，要得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两
12、两垂直的三条线段所在直线为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标1设点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点为P1，则点P1关于z轴的对称点P2的坐标是()A(1,1，1) B(1，1，1)C(1，1,1) D(1，1,1)B由条件知，P1(1,1，1)，P1关于z轴的对称点为(1，1，1)2在长方体ABCDA1B1C1D1中，若3i，2j，5k，则向量在基底i，j，k下的坐标是()A(1,1,1) BC(3,2,5) D(3,2，5)C3i2j5k，向量在基底i，j，k下的坐标是(3,2,5)3已知点A(1,2,2)，B(1，3,1)，则AB的中点M的坐标为_AB的中点坐标为，即.4.已知PA正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且ABAP1，分别以，为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，求，的坐标解设e1，e2，e3，则e2，()e2e3(e3e1e2)e1e3，(0,1,0)
