1、章末综合测评(六)幂函数、指数函数和对数函数(满分：150分时间：120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若函数f(x)是定义在R上的奇函数，f1，当x0时，f(x)log2(x)m，则实数m()A1 B0C1 D2Cf(x)是定义在R上的奇函数，f1，且x1，1b0，则函数yaxb的图象一定在()A第一、二、三象限 B第一、三、四象限C第二、三、四象限 D第一、二、四象限Ayax的图象在第一、二象限1b0)的图象关于直线yx对称，则f(2)()A1 B1 C DD由yf(x)的图象与g(x)log2x的图象关于直线
2、yx对称，可知f(x)与g(x)互为反函数令log2x2，得x，即f(2)6已知alog2 0.2，b20.2，c0.20.3，则()Aabc BacbCcab DbcaBalog20.20，b20.21，c020.3(0,1)，acb故选B7已知函数yf(x)的定义域为R，f(x1)为偶函数，且对x1x21，满足0若f(3)1，则不等式f(log2x)1的解集为()A B(1,8)C(8，) D(，1)(8，)A因为对x1x21，满足1时，是单调递增函数，又因为f(3)1，所以有f(1)1，当log2x1，即当0x2时，f(log2x)1f(log2x)1x，1，即当x2时，f(log2x)
3、1f(log2x)f(3)log2x3x8，2x8，综上所述：不等式f(log2x)0，且a1，下列函数中一定经过点(2,1)的是()Ayloga(x1)1 Byax2Cy(x1)a Dyax25ax6a1ABCD因为x2时，yloga(21)11，ya221，y(21)a1，y4a10a6a11，所以应该选择ABCD10设函数f(x)ln(1x)ln(1x)，则f(x)是()A奇函数 B偶函数C在(0,1)上是增函数 D在(0,1)上是减函数AC由已知可得，f(x)的定义域为(1,1)，f(x)ln ln，又y1在(0,1)上为增函数，f(x)在(0,1)上是增函数，又f(x)ln(1x)l
4、n(1x)f(x)，f(x)为奇函数故选AC11设函数f的定义域为D，若对于任意xD，存在yD使C(C为常数)成立，则称函数f(x)在D上的“半差值”为C下列四个函数中，满足所在定义域上“半差值”为1的函数是()Ayx31(xR) By2x(xR)Cyln x(x0) Dyx2AC即对任意定义域中的x，存在y，使得f(y)f(x)2；由于A、C值域为R，故满足；对于B，当x0时，函数值为1，此时不存在自变量y，使得函数值为1，故B不满足；对于D，当x0时，不存在自变量y，使得函数值为1，所以D不满足故选AC12已知函数f(x)exex，g(x)exex，则以下结论错误的是()A任意的x1，x2
5、R且x1x2，都有0B任意的x1，x2R且x1x2，都有0故A错误对B，易得反例g(1)e1e1，g(1)e1e1g(1)故0，若函数f(x)log3(ax2x)在3,4上是增函数，则a的取值范围是要使f(x)log3(ax2x)在3,4上单调递增，则yax2x在3,4上单调递增，且yax2x0恒成立，即 解得a15某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染指数量P mg/L，与时间t h间的关系为PP0ekt如果在前5个小时消除了10%的污染物，则10小时后还剩%的污染物81由题意知，前5小时消除了10%，即(110%)P0P0e5k解得kln 09则10小时后还剩PP0e10kP
6、0e2ln 09P0eln 081081 P081%P016设实数a，b是关于x的方程|lg x|c的两个不同实数根，且ab10，则abc的取值范围是(0,1)由题意知，在(0,10)上，函数y|lg x|的图象和直线yc有两个不同交点，所以|lg a|lg b|，又因为ylg x在(0，)上单调递增，且ab10，所以lg alg b，所以lg alg b0，所以ab1,0c0，且a1)过点(2,9)(1)求函数f(x)的解析式；(2)若f(2m1)f(m3)0，a1)得a29，解得a，f(x)(2)f(2m1)f(m3)0，f(2m1)m3，解得m4，实数m的取值范围为(4，)18(本小题满
7、分12分)设函数yf(x)且lg(lg y)lg(3x)lg(3x)(1)求f(x)的解析式及定义域；(2)求f(x)的值域解(1)lg(lg y)lg(3x)lg(3x)，lg(lg y)lg3x(3x)，lg y3x(3x)，y103x(3x)，即f(x)103x(3x)0x3，即函数的定义域为(0,3)(2)令t3x(3x)3，则f(x)10tx(0,3)，t，10t(1,10，函数的值域为(1,1019(本小题满分12分)已知幂函数yf(x)x2，其中mx|2x2，xZ，满足：(1)是区间(0，)上的增函数；(2)对任意的xR，都有f(x)f(x)0求同时满足(1)，(2)的幂函数f(
8、x)的解析式，并求x0,3时f(x)的值域解因为mx|2x2，xZ，所以m1,0,1因为对任意xR，都有f(x)f(x)0，即f(x)f(x)，所以f(x)是奇函数当m1时，f(x)x2只满足条件(1)而不满足条件(2)；当m1时，f(x)x0，条件(1)、(2)都不满足；当m0时，f(x)x3条件(1)、(2)都满足，且在区间0，)上是增函数所以幂函数f(x)的解析式为f(x)x3所以x0,3时，函数f(x)的值域为0,2720(本小题满分12分)(1)已知1x2，求函数f(x)323x19x的值域；(2)已知3logx，求函数f(x)log2 log2 的值域解(1)f(x)323x19x
9、(3x)263x3，令3xt，则yt26t3(t3)212，1x2，t9，当t3，即x1时，y取得最大值12；当t9，即x2时，y取得最小值24，即f(x)的最大值为12，最小值为24，所以函数f(x)的值域为24，12(2)3logx，3，即3，log2x3f(x)log2log2(log2xlog2 2)(log2xlog24)(log2x1)(log2x2)令tlog2x，则t3，f(x)g(t)(t1)(t2)t3，f(x)maxg(3)2，f(x)ming函数f(x)log2log2的值域为21(本小题满分12分)已知a0且满足不等式22a125a2(1)求实数a的取值范围；(2)求
10、不等式loga(3x1)loga(75x)的解集；(3)若函数yloga(2x1)在区间1,3上有最小值为2，求实数a的值解(1)22a125a2，2a15a2，即3a3，a1，即0a1实数a的取值范围是(0,1)(2)由(1)得，0a1，loga(3x1)loga(75x)，即解得x即不等式的解集为(3)0a1，函数yloga(2x1)在区间1,3上为减函数，当x3时，y有最小值为2，即loga52，a25，解得a22(本小题满分12分)如图，已知A(x1，m)，B(x2，m2)，C(x3，m4)(其中m2)是指数函数f(x)2x图象上的三点(1)当m2时，求f(x1x2x3)的值；(2)设
11、Lx2x3x1，求L关于m的函数L(m)；(3)设ABC的面积为S，求S关于m的函数S(m)及其最大值解(1)由题意A(x1，m)，B(x2，m2)，C(x3，m4)(其中m2)是指数函数f(x)2x图象上的三点，2x1m,2x2m2,2x3m4，当m2时，2x12,2x24,2x36，f(x1x2x3)2x1x2x32x12x22x324648(2)x1log2m，x2log2(m2)，x3log2(m4)，Lx2x3x1log2(m2)log2(m4)log2mlog2，即L(m)log2，m2(3)过A，B，C分别作x轴的垂线，垂足为D，E，F，如图所示：ABC的面积为SSADFCSADEBSBEFC(mm4)log2(m4)log2m(mm2)log2(m2)log2m(m2m4)log2(m4)log2(m2)(2m4)log2(2m2)log2(2m6)log2(2m2)log22log2log22log2log2即S(m)log2，要取得最大值，只需y(m)取得最大值，y(m)1，m2，)，m24m取得最小值12，所以当m2时，y(m)取得最大值，S(m)log2取得最大值log2
