1、第3课时空间向量与空间角单元过关试卷一、基础过关1若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于150，则直线l与平面所成的角等于()A30 B60C150 D以上均错2直线l1，l2的方向向量分别是v1，v2，若v1与v2所成的角为，直线l1，l2所成的角为，则()A BCcos |cos | Dcos |cos |3已知A，P，平面的一个法向量n，则直线PA与平面所成的角为()A30 B45C60 D1504在正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABBB1，则AB1与C1B所成角的大小为()A60 B90C105 D755.在正四面体ABCD中，点E为BC中点，点F为AD中点，则异面直线AE与CF
2、所成角的余弦值为 ()A. B.C. D.6若两个平面，的法向量分别是n(1,0,1)，(1,1,0)则这两个平面所成的锐二面角的度数是_7二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，则该二面角的大小为_8在空间四边形OABC中，OBOC，AOBAOC，则cos，的值为_二、能力提升9.如图，在三棱锥VABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A、B、V分别在x、y、z轴上，D是线段AB的中点，且ACBC2，VDC.当时，求异面直线AC与VD所成角的余弦值10.如图，已知点P在正方体ABCDABCD的对角线BD
3、上，PDA60.(1)求DP与CC所成角的大小；(2)求DP与平面AADD所成角的大小11.如图，四棱锥FABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC2，BD.CF与平面ABCD垂直，CF2.求二面角BAFD的大小三、探究与拓展12.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EFAB，EFFB，AB2EF，BFC90，BFFC，H为BC的中点(1)求证：FH平面EDB；(2)求证：AC平面EDB；(3)求二面角BDEC的大小答案1B2.D3.C4.B5.C6607.60809解由于ACBC2，D是AB的中点，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0)当
4、时，在RtVCD中，CD，故V(0,0，)所以(2,0,0)，(1,1，)所以cos，.所以异面直线AC与VD所成角的余弦值为.10.解如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系Dxyz.则(1,0,0)，(0,0,1)连接BD，BD.在平面BBDD中，延长DP交BD于H.设(m，m,1) (m0)，由已知，60，由|cos，可得2m.解得m，所以.(1)因为cos，所以，45，即DP与CC所成的角为45.(2)平面AADD的一个法向量是(0,1,0)因为cos，所以，60.可得DP与平面AADD所成的角为30.11.解过点A作AE平面ABCD.以A为坐标原点，、方向分别为x轴、y轴、z
5、轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)于是B，D，F(0,2,2)设平面ABF的法向量n1(x，y，z)，则由得令z1，得所以n1(，1,1)同理，可求得平面ADF的法向量n2(，1,1)由n1n20知，平面ABF与平面ADF垂直，所以二面角BAFD的大小等于.12(1)证明四边形ABCD为正方形，ABBC.又EFAB，EFBC.又EFFB，EF平面BFC.EFFH，ABFH.又BFFC，H为BC的中点，FHBC.FH平面ABC.以H为坐标原点，为x轴正方向，为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系设BH1，则A(1，2,0)，B(1,0,0)，C(1,0,0)，D(1，2,0)，E(0，1,
6、1)，F(0,0,1)设AC与BD的交点为G，连接GE，GH，则G(0，1,0)，(0,0,1)又(0,0,1)，.又GE平面EDB，HF平面EDB，FH平面EBD.(2)证明(2,2,0)，(0,0,1)，0，ACGE.又ACBD，EGBDG，AC平面EDB.(3)解(1，1,1)，(2，2,0)设平面BDE的法向量为n1(1，y1，z1)，则n11y1z10，n122y10，y11，z10，即n1(1，1,0)(0，2,0)，(1，1,1)设平面CDE的法向量为n2(1，y2，z2)，则n20，y20，n20，1y2z20，z21，故n2(1,0，1)cosn1，n2，n1，n260，即二面角BDEC的大小为60.
