1、第2课时函数的最大值、最小值学 习 目 标核 心 素 养1理解函数的最大(小)值的定义及其几何意义(重点)2会求一些简单函数的最大值或最小值(重点、难点)通过学习本节内容，培养学生的直观想象和逻辑推理素养在下图中，我们从图象上看出14时的气温为全天的最高气温，它表示在024时之间，气温于14时达到最大值；从图象上看出，图象在这一点的位置最高从图中可以看出：对于任意的x0,24，都有f(x)与f(14)具有怎样的关系？1函数的最大值一般地，设yf(x)的定义域为A如果存在x0A，使得对于任意的xA，都有f(x)f(x0)，那么称f(x0)为yf(x)的最大值，记为ymaxf(x0)2函数的最小值
2、一般地，设yf(x)的定义域为A如果存在x0A，使得对于任意的xA，都有f(x)f(x0)，那么称f(x0)为yf(x)的最小值，记为yminf(x0)思考：函数的最值与值域是一回事吗？提示不是最值与值域是不同的，值域是一个集合，而最值只是这个集合中的一个元素1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数f(x)x21总成立，故f(x)的最大值为1()(2)若函数f(x)在定义域内存在无数个x使得f(x)M成立，则f(x)的最大值为M()(3)函数f(x)x的最大值为()提示 (1)因为在定义域内找不到x使得x21成立(2)因为“无数”并非“所有”，故不正确(3)“”不是一个具体数答案(1
3、)(2)(3)2函数f(x)在2,2上的图象如图所示，则此函数的最小值是 答案13已知函数f(x)|x|，x1,3，则f(x)的最大值是3根据函数图象(图略)可知，f(x)的最大值为34函数y2x22，xN*的最小值是 答案45函数y在2,6上的最大值与最小值之和等于 函数y在区间2,6上是减函数，当x2时取得最大值，当x6时取得最小值，利用图象求函数的最值【例1】求函数y|x1|x2|(2x4)的最值思路点拨先整理化简函数关系式，写成分段函数的形式，作出图象，再找最高点和最低点即可解原函数y|x1|x2|的图象如图故函数的最小值为3，最大值为7用图象法求最值的一般步骤1函数f(x)的最大值是
4、3作出f(x)的图象如图所示，f(x)max32已知函数f(x)(1)在直角坐标系内画出f(x)的图象；(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域解(1)图象如图所示：(2)由图可知f(x)的单调递增区间为(1,0)，(2,5)，单调递减区间为(0,2)，值域为1,3利用单调性求函数的最值【例2】已知函数f(x)(1)用函数单调性定义证明f(x)在(1，)上是单调减函数；(2)求函数f(x)在区间3,4上的最大值与最小值思路点拨(1)利用单调性的定义证明(2)利用(1)的结论求最值解(1)证明：设x1，x2为区间(1，)上的任意两个实数，且1x1x2，则f(x1)f(x2)，因为1x10，x
5、110，x210，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)故函数f(x)在(1，)上为单调递减函数(2)由上述(1)可知，函数f(x)在3,4上为单调递减函数，所以在x3时，函数f(x)取得最大值；在x4时，函数f(x)取得最小值(变条件)求函数f(x)在4，3上的最值解任取x1，x24，3且x1x2，则f(x1)f(x2)x1，x24，3，x110，x210又x10，f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，f(x)在4，3上单调递减，f(x)maxf(4)，f(x)minf(3)，f(x)在4，3上最大值为，最小值为1当函数图象不好作或无法作出时，往往运用函数单调性求最值2函
6、数的最值与单调性的关系(1)若函数在闭区间a，b上是减函数，则f(x)在a，b上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；(2)若函数在闭区间a，b上是增函数，则f(x)在a，b上的最大值为f(b)，最小值为f(a)；(3)求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值3已知函数f(x)(x2，)，(1)求f(x)的最小值；(2)若f(x)a恒成立，求a的取值范围解(1)任取x1，x22，)，且x1x2，f(x)x2则f(x1)f(x2)(x1x2)x1x2，x1x24,10，f(x1)f(x2)0，即f(x1)a恒成立，只须f(x)mina，即a二次函数求值域探究问题1如图
7、是函数f(x)(x1)21的图象，说明当定义域分别为1,0，和0,3时，f(x)的单调性提示f(x)在1,0上单调递减；在上单调递增；在0,1上单调递减，在(1,3上单调递增2结合图象说明当定义域分别为上述三个区间时，f(x)的最值提示结合图象的单调性，可得x1,0时，f(x)maxf(1)3，f(x)minf(0)0x时，f(x)maxf(3)3，f(x)minfx0,3时，f(x)maxf(3)3，f(x)minf(1)13通过探究2，分析函数f(x)取最值时的x与对称轴的距离有什么关系？提示通过观察图象，可以发现，当对称轴不在区间内部时，两个最值均在端点处取得且离对称轴近的端点对应的函数
8、值较小，较远的端点对应的函数值较大当对称轴在区间内部时，对称轴对应函数的最小值，最大值在离对称轴较远的端点处取得因此，我们求二次函数的最值时应该分析对称轴和区间的关系【例3】求二次函数f(x)x22ax2在2,4上的最小值思路点拨f(x)的对称轴是xa，a是运动变化的，故求最值时，应该讨论a与区间2,4的关系，进而确定单调性和最值解函数图象的对称轴是xa，当a4时，f(x)在2,4上是减函数，f(x)minf(4)188a当2a4时，f(x)minf(a)2a2f(x)min1(变设问)在本例条件下，求f(x)的最大值解函数图象的对称轴是xa，当a3时，f(x)maxf(4)188a，当a3时
9、，f(x)maxf(2)64af(x)max2(变设问)在本例条件下，若f(x)的最小值为2，求a 的值解由本例解析知f(x)min当a4时，若188a2，a2(舍去)a的值为13(变条件，变设问)本例条件变为，若f(x)x22ax2，当x2,4时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围解在2,4内，f(x)a恒成立，即ax22ax2在2,4内恒成立，即af(x)max，x2,4又f(x)max(1)当a3时，a188a，解得a2，此时有2a3(2)当a3时，a64a，解得a，此时有a3综上有实数a的取值范围是2，)求二次函数的最大(小)值有两种类型：一是函数定义域为实数集R，这时只要根据抛物线
10、的开口方向，应用配方法即可求出最大(小)值；二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大(小)值由它的单调性确定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置(在区间内，在区间左侧，在区间右侧)来决定，当开口方向或对称轴位置不确定时，需要进行分类讨论.1函数的最值与值域、单调性之间的联系(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素(2)若函数yf(x)在闭区间a，b上单调，则yf(x)的最值必在区间端点处取得即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)2对二次函数f(x)a(xh)2k(a0)在区间p，q上的最值问题可作
11、如下讨论：(1)对称轴xh在区间p，q的左侧，即当hp时，f(x)maxf(q)，f(x)minf(p)(2)对称轴xh在区间p，q之间，即当phq时，f(x)minf(h)k；当ph时，f(x)maxf(q)，当h时，f(x)maxf(p)f(q)，当q时，f(x)maxf(p)，f(x)minf(q)1函数yx1在区间上的最大值是()A0 B C D1C函数yx1在区间上是减函数，f(x)maxf12已知函数f(x)有最小值，则实数a的最小值为()A2 B4 C6 D8B由题意知，当x0时，函数f(x)x24，当且仅当x2时取等号；当x a，因此要使f(x)有最小值，则必须有a4, 即实数
12、a的最小值为43函数yx22x1在闭区间0,3上的最大值与最小值的和是0yx22x1(x1)22，函数的对称轴为x1，函数在区间0,1上为减函数，在区间1,3上为增函数当x1时，函数取最小值2，当x3时，函数取最大值2，最大值与最小值的和为04已知函数f(x)4x2mx1在(，2)上递减，在2，)上递增，求f(x)在1,2上的值域解f(x)在(，2)上递减，在2，)上递增，函数f(x)4x2mx1的对称轴方程x2，即m16又1,22，)，且f(x)在2，)上递增f(x)在1,2上递增，当x1时，f(x)取得最小值f(1)4m121；当x2时，f(x)取得最大值f(2)162m149f(x)在1,2上的值域为21,49
