1、2020-2021上学期9月份月考高二数学试卷第卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）一、单选题（共60分）1. 等差数列中，公差，则（ ）A. B. C. 1D. 0【答案】D【解析】【分析】直接根据等差数列通项公式计算，即可得答案；【详解】故选：D【点睛】本题考查等差数列通项公式，考查运算求解能力，属于基础题.2. 在中，内角，所对的边分别为，则最短边的长等于（ ）A B. C. D. 【答案】A【解析】分析】利用内角和定理求得，由此得最短边为，再根据正弦定理即可求出答案【详解】解：，最短边为，由正弦定理
2、得，故选：A【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题3. 已知是等差数列，且，则（ ）A. 12B. 16C. 20D. 24【答案】D【解析】【分析】由等差数列的下标和性质可得：，代入已知可得答案【详解】解：由等差数列的性质可得：，因为，所以，故，故选：【点睛】本题考查等差数列的性质，属于基础题4. 正项等比数列中，则的值是A 4B. 8C. 16D. 64【答案】C【解析】分析：设正项等比数列an的公比为q，由a3=2，a4a6=64，利用通项公式解得q2，再利用通项公式即可得出详解：设正项等比数列an的公比为q，a3=2，a4a6=64， 解得q2=4，则=42=16故选C点睛：本
3、题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题解决等差等比数列的小题时，常见的思路是可以化基本量，解方程；利用等差等比数列的性质解决题目；还有就是如果题目中涉及到的项较多时，可以观察项和项之间的脚码间的关系，也可以通过这个发现规律.5. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由诱导公式求出，再用二倍角公式可求得答案.【详解】，则，故选：D.【点睛】本题主要考查诱导公式、二倍角公式，是基础题.6. 已知数列既是等差数列又是等比数列，首项，则它的前2020项的和等于（ ）A. 0B. 1C. 2020D. 2021【答案】C【解析】【分析】设数列
4、的公比为，根据以及解得，所以数列为各项为1的常数数列，由此可得结果.【详解】设数列的公比为，则，又因为数列也是等差数列，所以，即，解得，所以，所以数列的前2020项的和等于2020.故选：C.【点睛】本题考查了等比数列通项公式的基本量的计算，考查了等差数列的前项和，属于基础题.7. 设，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用二倍角公式将展开，即可求的值，利用同角三角函数的基本关系求得及，然后利用二倍角公式求得.【详解】由，得，所以，则，所以，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系式及二倍角公式，意在考查学生的数学运算的学科素养，属中档题.8.
5、中国古代数学著作算法统宗中记载了这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人第二天走了（ ）A. 6里B. 24里C. 48里D. 96里【答案】D【解析】【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由求得首项，再由等比数列的通项公式求得的值，即可得该人第2天走的路程里数，可得答案【详解】解：根据题意，记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，由，得，解可得，则；即此人第二天走的路程里数
6、为96；故选：D【点睛】本题考查等比数列的前项公式的应用，关键是正确分析题意，确定等比数列的数学模型，属于基础题9. 设等差数列an的前n项和为Sn，且an0，若a5=3a3，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将S9，S5转化为用a5，a3表达的算式即可得到结论.【详解】解：依题意，又，故选：D.【点睛】本题考查了等差数列的前n项和，考查了等差中项的性质，考查计算能力，属于基础题.10. 数列的前项和，则等于()A. 171B. 21C. 10D. 161【答案】D【解析】由题意得选D 11. 等比数列的各项均为正数，且，则（ ）A B. C. D. 【答案】B【解析】
7、【分析】根据等比数列下标和性质，求得，再结合对数运算，即可求得结果.【详解】由等比数列的性质可得：，所以.则，故选：B.【点睛】本题考查等比数列的下标和性质，涉及对数运算，属综合基础题.12. 已知函数，有三个不同的零点、，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】作出函数在区间内的图象以及函数的图象，利用对称性可求得的值.【详解】画出函数在内的图象以及的图象如下图所示，令，则，可得或，解得或，令，可得，解得.由图象可知点、关于直线对称，点、关于直线对称，故，所以.故选：A.【点睛】本题考查利用正弦型函数的零点求零点之和，考查了正弦型函数图象对称性的应用，考查
8、数形结合思想的应用，属于中等题.第卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在各题卡的相应位置）13. 已知等比数列中，则_【答案】16【解析】【分析】将等比数列的通项公式代入，中，可得，再求的值。【详解】，故答案为：.【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量运算，考查运算求解能力，求解时注意广义通项公式的应用.14. 计算_.【答案】【解析】【分析】利用诱导公式以及两角差的正弦公式可求得所求代数式的值.【详解】原式.故答案为：.【点睛】本题考查利用诱导公式以及两角差的正弦公式求值，考查计算能力，属于基础题.15. 在数列中，且，则的通项公式为_【答案】【
9、解析】在数列中，上式相加：点睛：本题主要考查了由数列的递推式求数列的通项公式，以及运用了累加法对数列进行求和，属中档题其解题的一般方法，对于形如求数列的通项公式，常用方法就是累加法，即将个等式相加即可得出数列的通项公式16. 已知数列满足，则它的前100项和_.【答案】【解析】【分析】由数列满足，化为，利用等比数列的通项公式，求得，再利用乘公比错位相减法，即可求解.【详解】由题意，数列满足，可化为，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以，所以，则 ，两式相减，可得，所以，所以前100项和.故答案为：.【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题
10、中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答）17. 已知等差数列满足，前3项和.（1）求的通项公式；（2）设等比数列满足，求的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出【详解】（1）设的公差为，则由已知条件得，化简得，解得，故的通项公式，即；（2）由（1）得，设的公比为，则，从而
11、，故的前项和【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18. 已知是等差数列的前n项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）为何值时，取得最大值并求其最大值【答案】（1）；（2）n=4时取得最大值.【解析】【分析】（1）利用公式，进行求解；（2）对进行配方，然后结合由，可以求出的最大值以及此时的值.【详解】（1）由题意可知：，当时，当时，当时，显然成立，数列的通项公式；（2），由，则时，取得最大值28，当为4时，取得最大值，最大值28【点睛】本题考查了已知求，以及二次函数的最值问题，根据的取值范围求最大值是解题的关键.19. 设是公比为整数的
12、等比数列，.（1）求的通项公式；（2）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）利用等比数列的定义求出公比后，再根据可得结果；（2）根据等差数列的首项和公差求出后再根据等差、等比数列的前项和公式，分组求和，即可得到结果.【详解】（1）由题意设等比数列的公比为q，解得，的通项公式.（2）是首项为1，公差为2等差数列，数列的前n项和.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前项和公式，考查了等比数列的通项公式和前项和公式，属于基础题.20. 在中，内角，的对边分别为，的面积为且（1）求角；（2）若，求【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）首
13、先利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出的值（2）进一步利用正弦定理的应用求出结果【详解】解：（1）因为所以 解得，又，故（2）设，则所以【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题21. 的内角的对边分别为，已知（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围【答案】(1) ;(2).【解析】【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得.(2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值
14、域.【详解】(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.(2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又应用正弦定理，由三角形面积公式有：.又因,故，故.故的取值范围是【点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查是锐角三角形这个条件的利用考查的很全面，是一道很好的考题.22. 已知数列满足，（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）记，为数列的前项和，若对任意的正整数n都成立，求实数的最小值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用配凑法，将转化为，由此证得数列是等差数列，并求得数列的通项公式.（2）首先求得的表达式，利用裂项求和法求得，将不等式分离常数，得对任意的正整数都成立，利用基本不等式求得的最大值，进而求得的最小值.【详解】解：（1）证明：，即， 又，数列是以为首项，为公差的等差数列；，.数列的通项公式为；（2）由（1）知， 由对任意的正整数都成立，得对任意的正整数都成立，当且仅当时取等号， ，的最小值为【点睛】本题主要考查根据递推关系证明等差数列，考查裂项求和法，考查利用基本不等式求最值，属于中档题.
