1、2015-2016学年湖北省荆州中学高三（上）第一次质检数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合A=x|x24x+30，B=x|y=，则( )AAB=BABCBADA=B2下列函数是奇函数的是( )Af（x）=x|x|Bf（x）=lgxCf（x）=2x+2xDf（x）=x313已知a，bR，i是虚数单位，若（a+i）（1+i）=bi，则a+bi=( )A1+2iB1+2iC12iD1+i4下列说法正确的是( )A若aR，则“1”是“a1”的必要不充分条件B“pq为真命题”是“pq为真命题”的必要不充分条件
2、C若命题p：“xR，sinx+cosx”，则p是真命题D命题“x0R，使得x02+2x0+30”的否定是“xR，x2+2x+30”5在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在该正方形内切圆的四分之一圆（如图阴影部分）中的概率是( )ABCD6执行如图所示的程序框图，输出S的值为( )A0B1CD7函数y=ax+13（a0，a1）过定点A，若点A在直线mx+ny=2（m0，n0）上，则+的最小值为( )A3B2CD8对于函数f（x），若存在常数a0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2ax），则称f（x）为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是( )Af（x）=Bf（x）=x2Cf（x
3、）=tanxDf（x）=cos（x+1）9我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，其音量的大小可由如下公式计算：=10lg（其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度），则70dB的声音强度I1是60dB的声音强度I2的( )A倍B10倍C10倍Dln倍10已知点A为抛物线C：x2=4y上的动点（不含原点），过点A的切线交x轴于点B，设抛物线C的焦点为F，则ABF( )A一定是直角B一定是锐角C一定是钝角D上述三种情况都可能11已知点A（0，1），曲线C：y=alnx恒过定点B，P为曲线C上的动点且的最小值为2，则a=(
4、 )A2B1C2D112已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0x1时，f（x）=x2，当x0时，f（x+1）=f（x）+f（1），若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有11个不同的公共点，则实数k的取值范围为( )A（22，24）B（+2，+）C（2+2，2+4）D（24，46）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上.）13若f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，其定义域是，则f（x）的最大值为_14若如图为某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去一部分后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，则其正视图的面积为_，三棱锥DBCE的体积为_15已知F1，F2是椭圆
5、和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1PF2=，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率e2，则=_16定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间上存在x0（ax0b），满足，则称函数y=f（x）是上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点如y=x2是上的平均值函数， 0就是它的均值点现有函数f（x）=x3+mx是区间上的平均值函数，则实数m的取值范围是_三、解答题：（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17设命题p：函数f（x）=lg（x24x+a2）的定义域为R；命题q：m，不等式a25a3恒成立如果命题“pq”为真命题，且“pq”为假命题，求实数a的取值
6、范围18已知f（x）=|x+l|+|x2|，g（x）=|x+1|xa|+a（aR）（）解不等式f（x）5；（）若不等式f（x）g（x）恒成立，求a的取值范围19学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数y与听课时间x（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当x（0，12时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点A（10，80），过点B（12，78）；当x时，图象是线段BC，其中C（40，50）根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳（1）试求y=f（x）的函数关系式；（2）教师在什么时段内安排内核心内容，能使得学生学习效果最佳
7、？请说明理由20如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2AB，F是CD的中点（1）求证：平面CBE平面CDE；（2）求直线EF与平面CBE所成角的正弦值21已知椭圆C：（ab0）的右焦点F（1，0），右顶点A，且|AF|=1（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动直线l：y=kx+m与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x=4交于点Q，问：是否存在一个定点M（t，0），使得若存在，求出点M坐标；若不存在，说明理由22已知函数f（x）=，其中aR（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；（2）求f（x）的单调区间；（3）若f（x）在A0B1CD考
8、点：程序框图专题：图表型；算法和程序框图分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n=7时n大于5退出循环，输出S的值为0解答：解：模拟执行程序框图，可得S=0，n=1S=，n=3，n不大于5S=，n=5，n不大于5S=0，n=7，n大于5退出循环，输出S的值为0，故选：A点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的S，n的值是解题的关键，属于基础题7函数y=ax+13（a0，a1）过定点A，若点A在直线mx+ny=2（m0，n0）上，则+的最小值为( )A3B2CD考点：基本不等式专题：不等式的解法及应用分析：函数y=ax+13（a0，a1）过定点A（
9、1，2），可得m+2n=2再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出解答：解：函数y=ax+13（a0，a1）过定点A（1，2），点A在直线mx+ny=2（m0，n0）上，m2n=2，即m+2n=2则+=故选：C点评：本题考查了指数函数的性质、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8对于函数f（x），若存在常数a0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2ax），则称f（x）为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是( )Af（x）=Bf（x）=x2Cf（x）=tanxDf（x）=cos（x+1）考点：抽象函数及其应用专题：函数的性质及应用分析：由题意判断f（x）
10、为准偶函数的对称轴，然后判断选项即可解答：解：对于函数f（x），若存在常数a0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2ax），则称f（x）为准偶函数，函数的对称轴是x=a，a0，选项A函数没有对称轴；选项B、函数的对称轴是x=0，选项C，函数没有对称轴函数f（x）=cos（x+1），有对称轴，且x=0不是对称轴，选项D正确故选：D点评：本题考查函数的对称性的应用，新定义的理解，基本知识的考查9我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，其音量的大小可由如下公式计算：=10lg（其中I0是人耳能听到的声音的最低声波
11、强度），则70dB的声音强度I1是60dB的声音强度I2的( )A倍B10倍C10倍Dln倍考点：对数函数图象与性质的综合应用；有理数指数幂的化简求值专题：计算题；函数的性质及应用分析：由题设中的定义，将音量值代入=10lg，计算出声音强度I1与声音强度I2的值，再计算出即可求出倍数解答：解：由题意，令70=lg，解得，I1=I01070，令60=lg，解得，I2=I01060，所以=10故选：C点评：本题考查对数的计算与对数性质在实际中的应用，熟练掌握对数运算性质是解答的关键10已知点A为抛物线C：x2=4y上的动点（不含原点），过点A的切线交x轴于点B，设抛物线C的焦点为F，则ABF( )
12、A一定是直角B一定是锐角C一定是钝角D上述三种情况都可能考点：抛物线的简单性质专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求导数，确定过A的切线方程，可得B的坐标，求出=（x0，），=（x0，1），可得=0，即可得出结论解答：解：由x2=4y可得y=x2，y=x，设A（x0，），则过A的切线方程为y=x0（xx0），令y=0，可得x=x0，B（x0，0），F（0，1），=（x0，），=（x0，1），=0，ABF=90，故选：A点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题11已知点A（0，1），曲线C：y=alnx恒过定点B，P为曲线C上的动
13、点且的最小值为2，则a=( )A2B1C2D1考点：平面向量数量积的运算专题：平面向量及应用分析：运用对数函数的图象特点可得B（1，0），设P（x，alnx），运用向量的数量积的坐标表示，可得f（x）=xalnx+1，x（0，+）再由导数，求得极值点即为最值点，对a讨论通过单调性即可判断解答：解：曲线C：y=alnx恒过点B，则令x=1，可得y=0，即B（1，0），又点A（0，1），设P（x，alnx），则=f（x）=xalnx+1，由于f（x）=xalnx+1在（0，+）上有最小值2，且f（1）=2，故x=1是f（x）的极值点，即最小值点f（x）=1=，a0，f（x）0恒成立，f（x）在（0
14、，+）上是增函数，所以没有最小值；故不符合题意；当a0，x（0，a）时，f（x）0，函数f（x）在（0，a）是减函数，在（a，+）是增函数，有最小值为f（a）=2，即aalna+1=2，解得a=1；故选D点评：本题考查了利用导数求函数的最值；关键是将数量积表示为关于x的函数，通过求导，判断单调性，得到最值求参数a12已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0x1时，f（x）=x2，当x0时，f（x+1）=f（x）+f（1），若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有11个不同的公共点，则实数k的取值范围为( )A（22，24）B（+2，+）C（2+2，2+4）D（24，46）考点：函数奇偶性的性质
15、专题：综合题；函数的性质及应用分析：本题通过奇函数特征得到函数图象经过原点，且关于原点对称，利用f（x+1）=f（x）+f（1）得到函数类似周期性特征，从而可以画出函数的草图，得到k的取值范围解答：解：当0x1时，f（x）=x2，f（1）=1当x0时，f（x+1）=f（x）+f（1），f（x+1）=f（x）+1，当x，nN*时，f（x+1）=f（x1）+1=f（x2）+2=f（xn）+n=（xn）2+n，函数f（x）是定义在R上的奇函数，函数图象经过原点，且关于原点对称直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有11个不同的公共点，当x0时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有5个不同的公共点
16、，由x0时f（x）的图象可知：直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切位置在x时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有9个不同的公共点，直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切位置在x时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有11个不同的公共点，直线y=kx与函数y=f（x）的图象位置情况介于上述两种情况之间x，由得：x2（k+4）x+6=0，令=0，得：k=24x，由得：x2（k+6）x+12=0，令=0，得：k=46k的取值范围为（24，46）故选：D点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数的零点与方程根的关系，考查函数的对称性、周期性、奇偶性的综合应用，考查转化思想与作图能力，
17、属于难题二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上.）13若f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，其定义域是，则f（x）的最大值为考点：函数奇偶性的性质专题：计算题；函数的性质及应用分析：据偶函数中不含奇次项，偶函数的定义域关于原点对称，列出方程组，求出f（x）的解析式，即可求得求出二次函数的最大值解答：解：f（x）=ax2+bx+3a+b为偶函数，b=0，1a=2a，解得b=0，a=，f（x）=x2+1，定义域为，当x=时，有最大值故答案为：点评：解决函数的奇偶性时，一定要注意定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件14若如图为某直三棱柱（侧棱与底面垂直）
18、被削去一部分后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，则其正视图的面积为4，三棱锥DBCE的体积为考点：棱柱、棱锥、棱台的体积专题：综合题；空间位置关系与距离分析：由题意可知，正视图为直角三角形，直角边长为2，4，可得正视图的面积；证明AB平面ACDE，求出四棱锥BACDE的体积、三棱锥EACB的体积，即可求出三棱锥DBCE的体积解答：解：由题意可知，正视图为直角三角形，直角边长为2，4，故正视图的面积为=4；四棱锥BACDE中，AE平面ABC，AEAB，又ABAC，且AE和AC相交，AB平面ACDE，又AC=AB=AE=2，CD=4，则四棱锥BACDE的体积V=4，又三棱锥EACB的体积为=，三
19、棱锥DBCE的体积为4=故答案为：4；点评：本题考查正视图的面积，考查考查几何体的体积，考查学生分析解决问题的能力，难度中等15已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1PF2=，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率e2，则=4考点：椭圆的简单性质；双曲线的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：如图所示，设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，（ai，bi0，a1b1，i=1，2），=c2，c0设|PF1|=m，|PF2|=n可得m+n=2a1，nm=2a2，由于F1PF2=，在PF1F2中，由余弦定理可得：（2c）2=，化简整理即可得出解答：解：如图所示，设椭圆与双
20、曲线的标准方程分别为：，（ai，bi0，a1b1，i=1，2），=c2，c0设|PF1|=m，|PF2|=n则m+n=2a1，nm=2a2，解得m=a1a2，n=a1+a2，由F1PF2=，在PF1F2中，由余弦定理可得：（2c）2=，4c2=+（a1a2）（a1+a2），化为+，化为=4故答案为：4点评：本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间上存在x0（ax0b），满足，则称函数y=f（x）是上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点如y=x2是上的平均值函数，0就是它的均值点现有函数f（x）
21、=x3+mx是区间上的平均值函数，则实数m的取值范围是3m考点：函数与方程的综合运用；函数的值专题：综合题；函数的性质及应用分析：函数f（x）=x3+mx是区间上的平均值函数，故有x3+mx=在（1，1）内有实数根，求出方程的根，让其在（1，1）内，即可求出实数m的取值范围解答：解：函数f（x）=x3+mx是区间上的平均值函数，故有x3+mx=在（1，1）内有实数根由x3+mx=x3+mxm1=0，解得x2+m+1+x=0或x=1又1（1，1）x2+m+1+x=0的解为：，必为均值点，即3mm所求实数m的取值范围是3m故答案为：3m点评：本题主要是在新定义下考查方程根的问题在做关于新定义的题目
22、时，一定要先认真的研究定义理解定义，再按定义解答三、解答题：（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17设命题p：函数f（x）=lg（x24x+a2）的定义域为R；命题q：m，不等式a25a3恒成立如果命题“pq”为真命题，且“pq”为假命题，求实数a的取值范围考点：复合命题的真假专题：规律型分析：根据对数函数的定义域分析求解命题P为真命题时的条件；通过求，（m）的最大值，求出命题q为真命题时的条件，再根据复合命题真值表求解即可解答：解：命题P：=164a20a2或a2，命题q：m，对m，不等式恒成立，只须满足 a25a33，a6或a1故命题q为真命题时，a6或a1
23、，命题“pq”为真命题，且“pq”为假命题，根据复合命题真值表，命题P与q一真一假（1）若P真q假，则2a6（2）若P假q真，则2a1，综合（1）（2）得实数a的取值范围为2a1或2a6点评：本题借助考查复合命题的真假判定，考查不等式的恒成立问题与对数函数的性质18已知f（x）=|x+l|+|x2|，g（x）=|x+1|xa|+a（aR）（）解不等式f（x）5；（）若不等式f（x）g（x）恒成立，求a的取值范围考点：绝对值不等式的解法专题：不等式的解法及应用分析：（）f（x）=|x+l|+|x2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而2 对应点到1和2对应点的距离之和正好等于5，3对
24、应点到1和2对应点的距离之和正好等于5，从而得到不等式f（x）5的解集（）由题意可得|x2|+|xa|a 恒成立，而|x2|+|xa|的最小值为|2a|=|a2|，故有|a2|a，由此求得a的范围解答：解：（）f（x）=|x+l|+|x2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而2 对应点到1和2对应点的距离之和正好等于5，3对应点到1和2对应点的距离之和正好等于5，故不等式f（x）5的解集为（）若不等式f（x）g（x）恒成立，即|x2|+|xa|a 恒成立而|x2|+|xa|的最小值为|2a|=|a2|，|a2|a，（2a）2a2，解得a1，故a的范围（，1点评：本题主要考查绝对值不
25、等式的解法，体现了等价转化数学思想，属于中档题19学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数y与听课时间x（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当x（0，12时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点A（10，80），过点B（12，78）；当x时，图象是线段BC，其中C（40，50）根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳（1）试求y=f（x）的函数关系式；（2）教师在什么时段内安排内核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由考点：函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义专题：函数的性质及应用分析：（1）当x（0
26、，12时，设f（x）=a（x10）2+80，把点（12，78）代入能求出解析式；当x时，设y=kx+b，把点B（12，78）、C（40，50）代入能求出解析式（2）由（1）的解析式，结合题设条件，列出不等式组，能求出老师就在什么时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳解答：解：（1）当x（0，12时，设f（x）=a（x10）2+80过点（12，78）代入得，则当x时，设y=kx+b，过点B（12，78）、C（40，50）得 ，即y=x+90则的函数关系式为（2）由题意得，或得4x12或12x28，4x28则老师就在x（4，28）时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳点评：本题考查解析式的
27、求法，考查不等式组的解法，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用20如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2AB，F是CD的中点（1）求证：平面CBE平面CDE；（2）求直线EF与平面CBE所成角的正弦值考点：直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定专题：空间角分析：（1）由面面垂直的性质定理证明线面垂直，证得线线垂直，再证明面面垂直（2）过F作FNCE交CE于N，则FN平面CBE，连接EF，则NEF就是直线EF与平面CBE所成的角，找到角再利用线面关系求得，或者利用直角坐标系求解解答：（1）证明：因为DE平面ACD，DE平面CDE，所以平面CDE
28、平面ACD在底面ACD中，AFCD，由面面垂直的性质定理知，AF平面CDE取CE的中点M，连接BM、FM，由已知可得FM=AB且FMAB，则四边形FMBA为平行四边形，从而BMAF所以BM平面CDE又BM平面BCE，则平面CBE平面CDE（2）法一：过F作FNCE交CE于N，则FN平面CBE，连接EF，则NEF就是直线EF与平面CBE所成的角设AB=1，则，在RtEFN中，故直线EF与平面CBE所成角的正弦值为法二：以F为坐标原点，FD、FA、FM所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示F（0，0，0），E（1，0，2），C（1，0，0），平面CBE的一个法向量为则 =故直线EF与
29、平面CBE所成角的正弦值为点评：本题主要考查了面面垂直的性质定理和线面教的求法，属于中档题型，高考常考21已知椭圆C：（ab0）的右焦点F（1，0），右顶点A，且|AF|=1（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动直线l：y=kx+m与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x=4交于点Q，问：是否存在一个定点M（t，0），使得若存在，求出点M坐标；若不存在，说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）根据椭圆的右焦点F（1，0），右顶点A，且|AF|=1，求出椭圆的几何量，即可求椭圆C的标准方程；（2）直线l：y=kx+m，代入椭圆方程，求出P的坐标，求出
30、向量的坐标，利用，即可得出结论解答：解：（1）由c=1，ac=1，a=2，椭圆C的标准方程为得：（3+4k2）x2+8kmx+4m212=0，=64k2m24（3+4k2）（4m212）=0，即m2=3+4k2，即PM（t，0）又Q（4，4k+m），=（4t）+=恒成立，故，即t=1存在点M（1，0）适合题意点评：本题考查圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题22已知函数f（x）=，其中aR（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；（2）求f（x）的单调区间；（3）若f（x）在（，点评：本题主要考查了函数的导数的几何意义的应用，导数在函数的单调区间及函数的最值求解中的应用，属于中档试题
