1、7.2.2 复数的乘、除运算 掌握复数乘除法运算一、学习目标（1分钟）思考：设a,b,c,dR，则(ab)(cd)怎样展开？(ab)(cd)acadbcbd问题：复数z1abi,z2cdi,其中a,b,c,dR,则z1z2(abi)(cdi),按照上述运算法则将其展开,z1z2等于什么？z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=ac+adi+bci-bd=(ac-bd)+(ad+bc)i二、问题导学（5分钟）我们规定，复数乘法法则如下：设z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数，那么它们的乘积为：(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=ac+a
2、di+bci-bd=(ac-bd)+(ad+bc)i.即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i注意：两个复数的积是一个确定的复数.两个多项式相乘i2-1把实部与虚部分别合并三、点拨精讲(25分钟)对任意复数对于任意z1，z2，z3C，有交换律：z1z2=z2z1 结合律：(z1z2)z3=z1(z2z3)分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 复数乘法运算律 拓展:复数的乘方运算12,z z zm n对复数和正整数有mnz z m nz()m nzmnz12()nzz12nnzz典例分析 例1 计算(1-2i)(3+4i)(-2+i).解：(1-2i)(3+4i)(
3、-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i典例分析 例2 计算(1)(2+3i)(2-3i);(2)(1+i)2.解：(1)(2+3i)(2-3i)=22-(3i)=4-(-9)=13(2)(1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i 22(1)2(1)2iiii()()zzabi abi22=-()abi22=+ab共轭复数的性质 ,zabizz拓展：若则 的特点.2z2z2222zabizzzzab则例3.M=,Mnm minNi已知集合其中 为虚数单位，则中的元素个数为多少？01i 解：nN1ii2-1i 3ii 41i 5ii6-1i 7ii 81i M=1i-i，1，
4、M.即中有四个元素41ni*ni虚数单位（nN）的周期性4+1ini4+2-1ni4+3-ini拓展 巩固练习 1.计算：(1)(7-6i)(-3i);(2)(3+4i)(-2-3i);(3)(1+2i)(3-4i)(-2-i);(4)(5)(1-i)2;(6)i(2-i)(1-2i).i);23i)(23(-18-21i6-17i-20-15i-5-2i5 复数的混合运算也是先乘方，再乘除，最后加减，有括号应先处理括号里面的(i)(iiii)i(i0)iiii()().xyxyababcdcdcdab cdabcd 我们把满足的复数叫做复数除以复数的作商，记或思考：类比实数的除法是乘法的逆运
5、算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算.试探求复数除法的法则.复数除法 2222(i)(i)(ii0).acbdbcadcdabdcccdd()()abicdi复数除法的法则:2222(i)(i)i (i0).acbdbcadabcdcdcdcd进行复数除法运算的方法：(i)(i)iiabdccadb先把写成的形式；复数除法的法则 icd再把分子与分母都乘以分共轭复数母的；.化简后就可得到上面的结果根式除法:分子分母都乘以分母的“有理化因式”,从而使分母“有理化”.复数除法:分子分母都乘以分母的“实数化因式”(共轭复数),从而使分母“实数化”.类比 1234ii先写成分式的形式然后分母实数化,分
6、子分母同时乘以分母的共轭复数结果化简成代数形式典例分析 例3 计算(1+2i)(3-4i).(1 2)(34)ii解：(12)(34)(34)(34)iiii22386434ii51025i 1255 i 77342525134343425iiiiiiii解1):()()()()巩固练习 ii7(1)34；ii11(3).3232ii21(2)()1；2.计算：22222112211112iiiiiii（）()()()()()()11323243 3232323213()()()()iiiiiii（）注:复数的四则混合运算类似于分式的运算进行通分、化简等.例3 在复数范围内解下列方程：.,)(
7、;)(04002021222acbaRcbacbxaxx，且其中典例分析 22(1)因为(2i)=(-2i)解:=-2，xx2所以方程+2=0的根为2i.例3 在复数范围内解下列方程：.,)(;)(04002021222acbaRcbacbxaxx，且其中典例分析 1（2）将方程的二次项系数化为 得：20bcxxaa配方得：2224(+)24bbacxaa2-14a2+24bxiaa 2=4a2-24bxiaa22-24bxiaa（b-4ac）原方程的根为解：在复数范围内，实系数一元二次方程20(0)axbxca2=4bac根的判别式0=0方程有两个不等的实数根方程有两个相等的实数根0 方程有
8、两个不等的虚根且两个根互为共轭复数2bxa 2bixa 总结 4.已知方程x2-2x+2=0有两虚根为x1,x2,求x14+x24的值.121,1,xi xi 解：易得44442212(1)(1)(2)(2)8.xxiiii 注:在复数范围内方程的根与系数的关系仍适用.3.在复数范围内解下列方程:巩固练习 0.16(2)90;1(1)22xxx4(1)3xi-13(2)2ix四、课堂小结(2分钟)1.复数的乘法 1 2(i)(i)()()i.z zabcdacbdadbc2.复数乘法的运算律1 22 1(1)z zz z；1 23123(2)()()z z zz z z；1231 21 3(3)().z zzz zz z122222ii.izabacbdbcadzcdcdcd3.复数的除法（i2换成1，实部和虚部分别合并）（实质：分母实数化）五、当堂检测（12分钟）3.已知复数z148i，z269i，求复数(z1z2)i的实部与虚部；2.若，则复数()A2i B2i C2i D2iiiz21zD 1复数i(2 i)()A12iB12i C12i D12i A 实部是1，虚部是2.4方程7x210的根为_
