1、第五章 平面向量 第一讲 平面向量的概念及线性运算、平面向量 基本定理及坐标运算 练好题考点自测 1.给出下列命题:向量 a 与 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反;两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件;若非零向量 a 与非零向量 b 的方向相同或相反,则 a+b 与 a,b 两者之一的方向相同;两个有共同起点的相等向量,其终点必相同;若向量 与向量 是共线向量,则点 A,B,C,D 必在同一条直线上;a=0(为实数),则 必为 0.其中叙述正确的命题的序号是()A.B.C.D.2.新课标全国,5 分设 D 为ABC 所在平面内一点,=3 ,则()A.=B.C.D.3.2019
2、 全国卷,3,5 分文已知向量 a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=()A.B.2 C.5 D.50 4.浙江高考,5 分记 maxx,y=,minx,y=,设 a,b 为平面向量,则()A.min|a+b|,|a-b|min|a|,|b|B.min|a+b|,|a-b|min|a|,|b|C.max|a+b|2,|a-b|2|a|2+|b|2 D.max|a+b|2,|a-b|2|a|2+|b|2 5.2018 全国卷,13,5 分文已知向量 a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,).若 c(2a+b),则=.6.新课标全国,5 分设向量 a,b 不平行,向量 a+b 与 a
3、+2b 平行,则实数=.7.2020 江苏,13,5 分如图 5-1-1,在ABC 中,AB=4,AC=3,BAC=90,D 在边 BC 上,延长 AD 到 P,使得 AP=9,若 =m +(m)(m 为常数),则 CD 的长度是 .图 5-1-1 拓展变式 1.2021 合肥市调研检测在ABC 中,D,E,F 分别是边 BC,CA,AB 的中点,AD,BE,CF 交于点 G,则以下结论:;=;=0.正确的是()A.B.C.D.2.如图 5-1-4,在直角梯形 ABCD 中,=2 ,且 =r +s ,则 2r+3s=()A.1 B.2 C.3 D.4 图 5-1-4 3.给定两个长度为 1 的
4、平面向量 和 ,它们的夹角为 .如图 5-1-6 所示,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上运动.若 =x +y ,其中 x,yR,则 x+y 的最大值为 .图 5-1-6 答 案 第五章 平面向量 第一讲 平面向量的概念及线性运算、平面向量 基本定理及坐标运算 1.C 对于,当 a=0 时,不正确;对于,根据平行向量和相等向量的定义可知正确;对于,当 a+b=0 时,a+b 的方向是任意的,它可以与 a,b 的方向都不相同,故不正确;对于,由相等向量的定义可知,正确;对于,若向量 与向量 是共线向量,由共线向量的定义可知,点 A,B,C,D 不一定在同一条直线上,故不正确;对于,当 a=
5、0 时,不论 为何值,a=0,故不正确.故选 C.2.A 由题意得 =,故选 A.3.A 依题意得 a-b=(-1,1),|a-b|=(-,因此选 A.4.D 对于 min|a+b|,|a-b|与 min|a|,|b|的比较,相当于把以|a|与|b|为邻边的平行四边形的对角线长度的较小者与两邻边长度的较小者比较,它们的大小关系不定,因此 A,B 均错.而|a+b|,|a-b|中的较大者与|a|,|b|可构成非锐角三角形的三边,因此有 max|a+b|2,|a-b|2|a|2+|b|2,故选 D.5.由题意得 2a+b=(4,2),因为 c=(1,),且 c(2a+b),所以 12=4,即=.6
6、.由于 a+b 与 a+2b 平行,所以存在唯一实数,使得 a+b=(a+2b),即(-)a+(1-2)b=0.因为向量 a,b不平行,所以-=0,1-2=0,解得=.7.或 0 解法一 以点 A 为坐标原点,的方向为 x 轴的正方向,的方向为 y 轴的正方向建立平面直角坐标系.设 =,0,1,则 D(4,3-3),+=+(1-),又点 P 在 AD 的延长线上,则可设 =,1.又 =m()+=m ,则 =m()+(),=m +(m),则2m +(3-2m)=+(1-),所以 2m=,3-2m=-,所以=3.又 AP=9,则 AD=3,所以(4)2+(3-3)2=9,得=或=0,则|=|=或|
7、=0|=0.解法二 由题意可设 =+(1-)=+(-),其中 1,01,又 =m +(m),所以 ,-,得=,即|,又 PA=9,则|=6,|=3,所以 AD=AC.当 D 与 C 重合时,CD=0,当D不与C重合时,有ACD=CDA,所以CAD=180-2ACD,在ACD中,由正弦定理可得 ,则 CD=(-AD=2cosACDAD=2 3=.综上,CD=或 0.1.C 如图 D 5-1-1,因为点 D,E,F 分别是边 BC,CA,AB 的中点,所以 =,故不正确;()=,故正确;,故正确;由题意知,点 G 为ABC 的重心,所以 ()+()+()=0,即 =0,故正确.综上所述,正确的是,故选 C.图 D 5-1-1 2.C 根据图形,由题意可得 ()=()=()=.因为 =r +s ,所以 r=,s=,所以 2r+3s=1+2=3.3.2 以 O 为坐标原点,的方向为 x 轴正方向建立平面直角坐标系,如图 D 5-1-2 所示,则 A(1,0),B(,).设AOC=,0,则 C(cos,sin).由 =x +y ,得 -,所以 x=cos+sin,y=sin,所以 x+y=cos+sin=2sin(+).又 0,所以当=时,x+y 取得最大值 2.图 D 5-1-2
