1、第四节绝对值不等式1绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立2绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解法：不等式a0a0a0|x|ax|xa或xaxR|x0R(2)|axb|c，|axb|c(c0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c，|xa|xb|c(c0)型不等式的解法利用绝对值不等式的几何意义求解；利用零点分段法求解；构造函数，利用函数的图象求解1(思考辨析)判断下列结论的正误(
2、正确的打“”，错误的打“”)(1)|xa|xb|的几何意义是表示数轴上的点x到点a，b的距离之和()(2)不等式|a|b|ab|等号成立的条件是ab0.()(3)不等式|ab|a|b|等号成立的条件是ab0.()(4)当ab0时，|ab|a|b|成立()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)若关于x的不等式|ax2|3的解集为，则实数a_.3依题意，知a0.又|ax2|33ax23，1ax5.由于|ax2|3的解集为，a0，且，则a3.3(教材改编)若关于x的不等式|a|x1|x2|存在实数解，则实数a的取值范围是_. 【导学号：51062193】(，33，)由于|x1|x2|(x1)(x
3、2)|3，|x1|x2|的最小值为3，要使|a|x1|x2|有解，只需|a|3，a3或a3.4解不等式x|2x3|2.解当x时，原不等式化为3x32，4分解得x.8分当x时，原不等式化为x32，解得x5.12分综上，原不等式的解集是.14分5设a0，|x1|，|y2|，求证：|2xy4|a.证明因为|x1|，|y2|，所以|2xy4|2(x1)(y2)|2|x1|y2|1的解集图641解(1)由题意得f(x)3分故yf(x)的图象如图所示6分(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，当f(x)1时，可得x1或x3；当f(x)1时，可得x或x5.8分故f(x)1的解集为x|1x3，f(x)1的解集
4、为.所以|f(x)|1的解集为.14分规律方法1.本题用零点分段法画出分段函数的图象，结合图象的直观性求出不等式的解集，体现数形结合思想的应用2解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，零点分段法操作程序是：找零点，分区间，分段讨论此外还常利用绝对值的几何意义求解变式训练1(2017吉林实验中学模拟)设函数f(x)|xa|.(1)当a2时，解不等式f(x)4|x1|；(2)若f(x)1的解集为0,2，a(m0，n0)，求证：m2n4.解(1)当a2时，不等式为|x2|x1|4，3分当x2时，不等式可化为x2x14，解得x；当x时，不等式可化为2xx14，不等式的解集为；当x时，不等式可化为2x1x4
5、，解得x.5分综上可得，不等式的解集为.6分(2)证明：因为f(x)1，即|xa|1，解得a1xa1，而f(x)1的解集是0,2所以解得a1，8分所以1(m0，n0)，所以m2n(m2n)2224，12分当且仅当m2，n1时取等号.14分绝对值三角不等式性质的应用对于任意的实数a(a0)和b，不等式|ab|ab|M|a|恒成立，记实数M的最大值是m.(1)求m的值；(2)解不等式|x1|x2|m. 【导学号：51062194】解(1)不等式|ab|ab|M|a|恒成立，即M对于任意的实数a(a0)和b恒成立，只要左边恒小于或等于右边的最小值.2分因为|ab|ab|(ab)(ab)|2|a|，当
6、且仅当(ab)(ab)0时等号成立，|a|b|时，2成立，也就是的最小值是2，即m2.6分(2)|x1|x2|2.法一：利用绝对值的意义得：x.8分法二：当x1时，不等式为(x1)(x2)2，解得x，所以x的取值范围是x1.当1x2时，不等式为(x1)(x2)2，得x的取值范围是1x2.12分当x2时，原不等式为(x1)(x2)2,2x.综上可知，不等式的解集是.14分规律方法1.(1)利用绝对值不等式性质定理要注意等号成立的条件：当ab0时，|ab|a|b|；当ab0时，|ab|a|b|；当(ab)(bc)0时，|ac|ab|bc|.(2)对于求y|xa|xb|或y|xa|xb|型的最值问题
7、利用绝对值三角不等式更方便2第(2)问易出现解集不全或错误对于含绝对值的不等式，不论是分段去绝对值符号还是利用几何意义，都要不重不漏变式训练2对于任意实数a，b，已知|ab|1，|2a1|1，且恒有|4a3b2|m，求实数m的取值范围解因为|ab|1，|2a1|1，所以|3a3b|3，4分所以|4a3b2|3a3b|36，10分则|4a3b2|的最大值为6，所以m|4a3b2|max6，m的取值范围是6，).14分绝对值不等式的综合应用设aR，函数f(x)ax2xa(1x1)，(1)若|a|1，求证：|f(x)|；(2)求a的值，使函数f(x)有最大值.解(1)证明：法一：因为1x1，所以|x
8、|1.2分又因为|a|1，所以|f(x)|a(x21)x|a(x21)|x|x21|x|1|x|2|x|2.5分所以若|a|1，则|f(x)|.6分法二：设g(a)f(x)ax2xa(x21)ax.因为1x1，所以当x1.2分即x210时，|f(x)|g(a)|1.当1x1即x210时，g(a)(x21)ax是单调递减函数因为|a|1，所以1a1，所以g(a)maxg(1)x2x12.g(a)ming(1)x2x12.所以|f(x)|g(a)|.6分(2)当a0时，f(x)x，当1x1时，f(x)的最大值为f(1)1，不满足题设条件，所以a0.9分又f(1)a1a1，f(1)a1a1.故f(1
9、)和f(1)均不是最大值，所以f(x)的最大值应在其对称轴上的顶点位置取得，所以命题等价于解得13分所以a2，即当a2时，函数f(x)有最大值.15分规律方法1.研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法2f(x)a恒成立f(x)maxa恒成立f(x)mina.变式训练3(2017浙江杭州调研)已知二次函数f(x)ax2bxc.(1)若a2，当x1,3时，f(x)的最大值不大于7，求bc的最大值；(2)若当|f(x)|1对任意的x1,1恒成立时，都有|axb|M对任意的x1,1恒成立，求M的最小值解
10、(1)由题意知，f(x)2x2bxc，当x1,3时，f(x)7恒成立，即f(x)max7.2分()当1，即b4时，f(x)maxf(3)183bc7，得3bc11，故bc(3bc)2(b)1183.5分()当1，即b4时，f(x)maxf(1)2bc7，得bc5，故bc(bc)2b2时，1，f(x)其图象如图所示：由图象知f(x)的最小值为fa11，依题意得13，解得a8，符合题意当a2时，f(x)3|x1|，其最小值为0，不符合题意当a1，f(x)得f(x)的最小值为f，因此13，解得a4，符合题意故选D.2(2017金华十校一联)已知f(x)a|x2|，若f(x)x恒成立，则a的取值范围为
11、()Aa1B2a0C0a2Da1A依题意，f(x)易知当a0时，f(x)x不恒成立，故a0.在同一直角坐标系中作出yf(x)与yx的图象如图所示，观察可知f(x)xa1，即a1，故选A.3不等式|x5|x3|10的解集是()A5,7B4,6C(，57，)D(，46，)D|x5|x3|表示数轴上的点到3,5的距离之和，则不等式|x5|x3|10的解集是(，46，)4不等式|x1|x5|2的解集是()A(，4)B(，1)C(1,4)D(1,5)A当x1时，原不等式等价于1x(5x)2，即42，x1.当1x5时，原不等式等价于x1(5x)2，即x4，1x5时，原不等式等价于x1(x5)2，即42，无
12、解综合知x4.5对任意x，yR，|x1|x|y1|y1|的最小值为()A1B2C3D4C|x1|x|1，当且仅当0x1时等号成立；|y1|y1|2，当且仅当1y1时等号成立故|x1|x|y1|y1|3.二、填空题6(2017舟山调研)不等式|2x|x1|a对任意x2,1恒成立，则实数a的取值范围为_5，)令f(x)|2x|x1|，x2,1，则f(x)可知f(x)的最大值为5，所以a5.7(2017宁波质检)已知不等式|x2|x|a的解集不是空集，则实数a的取值范围是_. 【导学号：51062196】2，)|x2|x|x2x|2，a|x2|x|有解，即a(|x2|x|)min，a2.8(2017
13、金华十校联考)若不等式|x1|x3|a对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是_(，0)2当a0时，|x1|x3|的最小值为4，a4.a2.综上可知a(，0)2三、解答题9已知|2x3|1的解集为m，n(1)求mn的值；(2)若|xa|m，求证：|x|a|1.解(1)由不等式|2x3|1可化为12x31，得1x2，3分m1，n2，mn3.6分(2)证明：若|xa|1，则|x|xaa|xa|a|a|1.14分10(2016全国卷)已知函数f(x)|2xa|a.(1)当a2时，求不等式f(x)6的解集；(2)设函数g(x)|2x1|.当xR时，恒有f(x)g(x)3，求实数a的取值范围解(1)当
14、a2时，f(x)|2x2|2.解不等式|2x2|26得1x3.因此f(x)6的解集为x|1x3.4分(2)当xR时，f(x)g(x)|2xa|a|12x|(2xa)(12x)|a|1a|a，6分当x时等号成立，所以当xR时，f(x)g(x)3等价于|1a|a3.8分当a1时，等价于1aa3，无解当a1时，等价于a1a3，解得a2.所以a的取值范围是2，).10分B组能力提升(建议用时：15分钟)1已知定义在0,1上的函数f(x)满足：f(0)f(1)0；对所有x，y0,1，且xy，有|f(x)f(y)|xy|.若对所有x，y0,1，|f(x)f(y)|k恒成立，则k的最小值为()A.B.C.D
15、.B当xy时，|f(x)f(y)|0.当xy时，若|xy|，依题意有|f(x)f(y)|，不妨设xy，依题意有|f(x)f(y)|f(x)f(0)f(1)f(y)|f(x)f(0)|f(1)f(y)|，|f(x)f(y)|.综上所述，对所有x，y0,1，都有|f(x)f(y)|0，bR，函数f(x)4ax32bxab.(1)证明：当0x1时，函数f(x)的最大值为|2ab|a；f(x)|2ab|a0.(2)若1f(x)1对x0,1恒成立，求ab的取值范围解(1)证明：f(x)12ax22b12a.1分当b0时，有f(x)0，此时f(x)在0，)上单调递增当b0时，f(x)12a，此时f(x)在
16、上单调递减，在上单调递增所以当0x1时，f(x)maxmaxf(0)，f(1)maxab,3ab|2ab|a.3分由于0x1，故当b2a时，f(x)|2ab|af(x)3ab4ax32bx2a4ax34ax2a2a(2x32x1)当b2a时，f(x)|2ab|af(x)ab4ax32b(1x)2a4ax34a(1x)2a2a(2x32x1)设g(x)2x32x1,0x1，则g(x)6x226，于是g(x)，g(x)随x的变化情况如下表：x01g(x)0g(x)1减极小值增1所以，g(x)ming10.所以当0x1时，2x32x10.7分故f(x)|2ab|a2a(2x32x1)0.8分(2)由知，当0x1，f(x)max|2ab|a，所以|2ab|a1.若|2ab|a1，则由知f(x)(|2ab|a)1.所以1f(x)1对任意0x1恒成立的充要条件是即或12分在直角坐标系aOb中，(*)所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，其中不包括线段BC.作一组平行直线abt(tR)，得1ab3，所以ab的取值范围是(1,3.15分
